Номер 4.7, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.7, страница 28.

Условие.

4.7. Докажите, что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.

Решение.

Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию). Чтобы доказать, что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны, необходимо показать, что между ними существует биекция.

Пусть дан квадрат со стороной $a$, где $a > 0$.

1. Множество точек на стороне квадрата представляет собой отрезок прямой длиной $a$. Каждую точку на этом отрезке можно однозначно охарактеризовать её расстоянием от одного из концов. Таким образом, это множество точек можно сопоставить с числовым отрезком $[0, a]$.

2. По теореме Пифагора, длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Множество точек на диагонали, аналогично, можно сопоставить с числовым отрезком $[0, a\sqrt{2}]$.

Задача сводится к доказательству равномощности двух отрезков: $[0, a]$ и $[0, a\sqrt{2}]$. Для этого построим биективную функцию $f$, которая отображает один отрезок на другой.

Рассмотрим линейную функцию $f: [0, a] \to [0, a\sqrt{2}]$, заданную формулой $f(x) = \sqrt{2}x$. Эта функция интуитивно "растягивает" отрезок $[0, a]$ в $\sqrt{2}$ раз, превращая его в отрезок $[0, a\sqrt{2}]$.

Докажем, что эта функция является биекцией.

Инъективность (взаимная однозначность):
Предположим, что для двух точек $x_1, x_2 \in [0, a]$ выполняется равенство $f(x_1) = f(x_2)$. Это означает, что $\sqrt{2}x_1 = \sqrt{2}x_2$. Поскольку $\sqrt{2} \neq 0$, мы можем разделить обе части равенства на $\sqrt{2}$, получив $x_1 = x_2$. Это доказывает, что разным точкам из первого отрезка соответствуют разные точки из второго. Следовательно, функция инъективна.

Сюръективность (отображение "на"):
Возьмём произвольную точку $y$ из отрезка $[0, a\sqrt{2}]$. Нам нужно найти такую точку $x$ в отрезке $[0, a]$, что $f(x) = y$. Решим уравнение $y = \sqrt{2}x$ относительно $x$. Получим $x = \frac{y}{\sqrt{2}}$. Теперь проверим, принадлежит ли найденный $x$ отрезку $[0, a]$. Так как $0 \le y \le a\sqrt{2}$, разделив все части этого неравенства на $\sqrt{2}$, получим $0 \le \frac{y}{\sqrt{2}} \le a$. Следовательно, $0 \le x \le a$, что означает $x \in [0, a]$. Таким образом, для любой точки из второго отрезка нашлась соответствующая ей точка в первом отрезке. Следовательно, функция сюръективна.

Поскольку функция $f(x) = \sqrt{2}x$ является одновременно инъективной и сюръективной, она является биекцией. Существование биекции между множеством точек стороны квадрата и множеством точек его диагонали доказывает, что эти множества равномощны.

Ответ: Множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны, так как между ними можно установить биекцию. Если сторона квадрата равна $a$, то множество точек стороны можно сопоставить с отрезком $[0, a]$, а множество точек диагонали — с отрезком $[0, a\sqrt{2}]$. Функция $f(x) = \sqrt{2}x$ является биекцией между этими отрезками, что и доказывает их равномощность.