Номер 4.2, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.2, страница 28.

Условие.

4.2. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида $4n+1 (n \in N)$.

Решение.

Для установления взаимно однозначного соответствия между двумя множествами необходимо построить биективную функцию (биекцию), которая каждому элементу одного множества ставит в соответствие ровно один элемент другого множества, и наоборот.

Обозначим множество натуральных чисел как $A = \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ..., k, ...\}$.

Обозначим множество чисел вида $4n + 1$ (где $n \in \mathbb{N}$) как $B$. Найдем несколько первых элементов этого множества:

• при $n=1$: $4(1) + 1 = 5$
• при $n=2$: $4(2) + 1 = 9$
• при $n=3$: $4(3) + 1 = 13$
• при $n=4$: $4(4) + 1 = 17$

Таким образом, множество $B = \{5, 9, 13, 17, ..., 4n+1, ...\}$.

Рассмотрим функцию $f: A \to B$, которая сопоставляет каждому натуральному числу $k \in A$ число из множества $B$ по следующему правилу: $f(k) = 4k + 1$.

Чтобы доказать, что эта функция устанавливает взаимно однозначное соответствие, нужно показать, что она является биекцией, то есть инъективной и сюръективной.

1. Инъективность (взаимная однозначность в одну сторону)

Функция инъективна, если разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений. То есть, если $f(k_1) = f(k_2)$, то должно следовать, что $k_1 = k_2$.

Пусть $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$ и $f(k_1) = f(k_2)$.
$4k_1 + 1 = 4k_2 + 1$
$4k_1 = 4k_2$
$k_1 = k_2$
Условие выполняется, следовательно, функция $f$ инъективна. Каждому числу из множества $B$ соответствует не более одного числа из множества $\mathbb{N}$.

2. Сюръективность (отображение "на")

Функция сюръективна, если для любого элемента $y$ из области значений $B$ найдется такой элемент $k$ из области определения $A$, что $f(k) = y$.

Возьмем произвольный элемент $y \in B$. По определению множества $B$, он может быть представлен в виде $y = 4n + 1$ для некоторого натурального числа $n \in \mathbb{N}$.

Нам нужно найти такое $k \in \mathbb{N}$, для которого $f(k) = y$.

$4k + 1 = y$
$4k = y - 1$
$k = \frac{y - 1}{4}$

Подставим вместо $y$ его представление через $n$:

$k = \frac{(4n + 1) - 1}{4} = \frac{4n}{4} = n$

Поскольку $y$ было образовано с помощью натурального числа $n$, то и соответствующий ему прообраз $k$ равен этому же натуральному числу $n$. Так как $n \in \mathbb{N}$, то и $k \in \mathbb{N}$.

Это означает, что для любого элемента $y \in B$ мы нашли его прообраз $k \in A$. Следовательно, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(k) = 4k + 1$ является одновременно инъективной и сюръективной, она является биекцией. Это и устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством чисел вида $4n+1$ ($n \in \mathbb{N}$).

Ответ: Взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством чисел вида $4n+1$ ($n \in \mathbb{N}$) устанавливается функцией $f(k) = 4k+1$, где $k \in \mathbb{N}$.