Номер 4.4, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.4, страница 28.

Условие.

4.4. Докажите, что множество чисел вида $2^n$ ($n \in \mathbb{N}$) счётно.

Решение.

Чтобы доказать, что множество счётно, необходимо установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между этим множеством и множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.

Обозначим данное в задаче множество как $M$. Тогда $M = \{2^n \mid n \in \mathbb{N}\} = \{2^1, 2^2, 2^3, \dots\}$.

Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N} \to M$, которая каждому натуральному числу $n$ ставит в соответствие элемент $2^n$ из множества $M$. Формально, $f(n) = 2^n$.

Докажем, что эта функция является биекцией, то есть она инъективна и сюръективна.

Инъективность. Функция инъективна, если разным аргументам соответствуют разные значения. Пусть $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ и $n_1 \ne n_2$. Поскольку показательная функция $y=2^x$ является строго возрастающей, то из $n_1 \ne n_2$ следует, что $2^{n_1} \ne 2^{n_2}$. Это означает, что $f(n_1) \ne f(n_2)$. Таким образом, функция $f$ инъективна.

Сюръективность. Функция сюръективна, если для любого элемента из области значений существует соответствующий ему аргумент. Возьмём произвольный элемент $y \in M$. По определению множества $M$, этот элемент можно представить в виде $y = 2^k$ для некоторого натурального числа $k \in \mathbb{N}$. Нам нужно найти такое $n \in \mathbb{N}$, для которого $f(n) = y$. Выберем $n=k$. Так как $k$ является натуральным числом, то $n \in \mathbb{N}$, и $f(n) = f(k) = 2^k = y$. Следовательно, для любого элемента из $M$ мы нашли прообраз в $\mathbb{N}$, и функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(n) = 2^n$ является и инъективной, и сюръективной, она устанавливает биекцию между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством $M$. По определению, если между множеством и множеством натуральных чисел можно установить биекцию, то такое множество является счётным.

Ответ: Множество чисел вида $2^n$ ($n \in \mathbb{N}$) является счётным, что и требовалось доказать.