Номер 4.11, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.11, страница 28.

Условие.

4.11. Докажите, что множество точек прямой и множество точек окружности с выколотой точкой равномощны.

Решение.

Для доказательства того, что два множества равномощны, необходимо установить между ними взаимно-однозначное соответствие, то есть биекцию. Мы можем сделать это с помощью геометрического построения, известного как стереографическая проекция.

Рассмотрим окружность и прямую, расположенные на плоскости. Для удобства поместим их в декартову систему координат.

• Пусть окружность $C$ имеет центр в точке $(0, 1)$ и радиус $1$. Ее уравнение: $x^2 + (y-1)^2 = 1$.
• Пусть прямая $L$ совпадает с осью абсцисс. Ее уравнение: $y = 0$.
• В качестве "выколотой" точки на окружности выберем точку $N(0, 2)$, которая является самой верхней точкой окружности.

Теперь построим отображение $f$ из множества точек окружности без точки $N$ (обозначим $C \setminus \{N\}$) в множество точек прямой $L$.

Для любой точки $P$, принадлежащей окружности $C$ и отличной от $N$, проведем луч, начинающийся в точке $N$ и проходящий через точку $P$. Поскольку точка $P$ не совпадает с $N$ и не лежит на касательной к окружности в точке $N$ (которая параллельна прямой $L$), этот луч пересечет прямую $L$ в единственной точке $P'$.

Это отображение $f: P \mapsto P'$ и есть искомая биекция:

1. Инъективность (взаимная однозначность "в одну сторону"): Двум разным точкам $P_1$ и $P_2$ на окружности будут соответствовать два разных луча $NP_1$ и $NP_2$, которые пересекут прямую $L$ в двух разных точках $P'_1$ и $P'_2$. Таким образом, разным точкам на окружности соответствуют разные точки на прямой.
2. Сюръективность (взаимная однозначность "в другую сторону"): Для любой точки $P'$ на прямой $L$ мы можем провести луч из $P'$ в $N$. Этот луч пересечет окружность (помимо точки $N$) ровно в одной точке $P$. Эта точка $P$ и будет прообразом для $P'$. Таким образом, у каждой точки на прямой есть свой прообраз на окружности (кроме выколотой точки $N$).

Поскольку мы построили биективное (взаимно-однозначное) отображение между множеством точек окружности с выколотой точкой и множеством точек прямой, эти два множества равномощны.

Ответ: Существование биекции, построенной с помощью стереографической проекции, доказывает, что множество точек прямой и множество точек окружности с выколотой точкой равномощны.