Номер 4.12, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.12, страница 28.

Условие.

4.12. На координатной прямой отметили точки $O(0)$, $A(1)$, $B(5)$. Докажите, что:

1) множество точек отрезка $OA$ равномощно множеству точек отрезка $OB$;

2) множество точек отрезка $OA$ с выколотой точкой $O$ равномощно множеству точек луча $AB$.

Решение.

Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию). Чтобы доказать равномощность указанных множеств точек, мы построим такие соответствия.

1) Множество точек отрезка $OA$ соответствует числовому отрезку $[0, 1]$. Множество точек отрезка $OB$ соответствует числовому отрезку $[0, 5]$.
Чтобы доказать, что эти множества равномощны, нужно построить функцию $f: [0, 1] \to [0, 5]$, которая является биекцией.
Рассмотрим линейную функцию $f(x) = 5x$.
1. Область определения и область значений. Функция определена для всех $x \in [0, 1]$. Если $0 \le x \le 1$, то, умножая на 5, получаем $0 \le 5x \le 5$. Таким образом, область значений функции — это отрезок $[0, 5]$. Функция отображает отрезок $[0, 1]$ на отрезок $[0, 5]$.
2. Инъективность (взаимная однозначность). Предположим, что $f(x_1) = f(x_2)$ для некоторых $x_1, x_2 \in [0, 1]$. Тогда $5x_1 = 5x_2$, откуда следует, что $x_1 = x_2$. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, то есть функция инъективна.
3. Сюръективность (отображение "на"). Возьмем произвольное значение $y$ из отрезка $[0, 5]$. Нам нужно показать, что существует такое $x$ из отрезка $[0, 1]$, что $f(x) = y$. Решим уравнение $5x = y$ относительно $x$. Получим $x = y/5$. Поскольку $0 \le y \le 5$, то, разделив на 5, получим $0 \le y/5 \le 1$, то есть $0 \le x \le 1$. Это значит, что для любого $y$ из $[0, 5]$ нашелся соответствующий $x$ из $[0, 1]$. Функция сюръективна.
Так как функция $f(x) = 5x$ является биекцией между множествами $[0, 1]$ и $[0, 5]$, то эти множества равномощны.
Ответ: Множество точек отрезка $OA$ равномощно множеству точек отрезка $OB$, так как между ними существует биективное отображение $f(x) = 5x$.

2) Множество точек отрезка $OA$ с выколотой точкой $O$ соответствует числовому полуинтервалу $(0, 1]$. Множество точек луча $AB$ соответствует числовому лучу $[1, \infty)$.
Чтобы доказать, что эти множества равномощны, нужно построить функцию $g: (0, 1] \to [1, \infty)$, которая является биекцией.
Рассмотрим функцию $g(x) = 1/x$.
1. Область определения и область значений. Функция определена для всех $x \in (0, 1]$. Если $x$ принадлежит этому полуинтервалу, то $0 < x \le 1$. Взяв обратные величины, получим $1/x \ge 1/1$, то есть $1/x \ge 1$. Когда $x$ стремится к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $1/x$ стремится к $+\infty$. Таким образом, область значений функции — это луч $[1, \infty)$. Функция отображает полуинтервал $(0, 1]$ на луч $[1, \infty)$.
2. Инъективность. Предположим, что $g(x_1) = g(x_2)$ для некоторых $x_1, x_2 \in (0, 1]$. Тогда $1/x_1 = 1/x_2$, откуда следует, что $x_1 = x_2$. Функция инъективна.
3. Сюръективность. Возьмем произвольное значение $y$ из луча $[1, \infty)$. Нам нужно показать, что существует такое $x$ из полуинтервала $(0, 1]$, что $g(x) = y$. Решим уравнение $1/x = y$ относительно $x$. Получим $x = 1/y$. Поскольку $y \in [1, \infty)$, то $y \ge 1$. Взяв обратные величины, получим $0 < 1/y \le 1$, то есть $x \in (0, 1]$. Это значит, что для любого $y$ из $[1, \infty)$ нашелся соответствующий $x$ из $(0, 1]$. Функция сюръективна.
Так как функция $g(x) = 1/x$ является биекцией между множествами $(0, 1]$ и $[1, \infty)$, то эти множества равномощны.
Ответ: Множество точек отрезка $OA$ с выколотой точкой $O$ равномощно множеству точек луча $AB$, так как между ними существует биективное отображение $g(x) = 1/x$.