Номер 4.9, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.9, страница 28.

Условие.

4.9. Докажите, что любое подмножество счётного множества или конечно, или счётно.

Решение.

Пусть $A$ — счётное множество, а $B$ — его подмножество ($B \subseteq A$).

Поскольку множество $A$ счётно, это означает, что существует биекция между ним и множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$. Следовательно, все элементы множества $A$ можно занумеровать и представить в виде последовательности различных элементов: $A = \{a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots\}$.

Рассмотрим два возможных случая для подмножества $B$:

B — конечное множество.
В этом случае утверждение, что $B$ является конечным или счётным, очевидно, выполняется, так как одна из альтернатив (конечность) уже верна.

B — бесконечное множество.
В этом случае нам необходимо доказать, что $B$ является счётным. Для этого нужно построить биективное отображение (взаимно-однозначное соответствие) из множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ в множество $B$.
Построим такую нумерацию для элементов $B$. Поскольку $B$ — бесконечное подмножество $A$, а элементы $A$ образуют последовательность, мы можем последовательно выбирать элементы для нумерации $B$.
Назначим первому элементу $b_1$ тот элемент из $B$, который имеет наименьший номер в последовательности $\{a_n\}$. То есть, $b_1 = a_{n_1}$, где $n_1$ — это наименьший индекс, для которого $a_{n_1} \in B$. Такой элемент существует, так как $B$ непусто.
Затем назначим второму элементу $b_2$ тот элемент из $B$, который имеет наименьший номер $n_2$ в последовательности $\{a_n\}$ при условии $n_2 > n_1$. Такой элемент существует, так как $B$ бесконечно.
Продолжая этот процесс, на $k$-м шаге мы выбираем элемент $b_k = a_{n_k}$, где $n_k$ — это наименьший индекс, такой что $n_k > n_{k-1}$ и $a_{n_k} \in B$. Этот процесс можно продолжать бесконечно, так как множество $B$ бесконечно.

Таким образом мы строим отображение $f: \mathbb{N} \to B$, заданное правилом $f(k) = b_k$. Докажем, что это отображение является биекцией.
Инъективность: Если $k \neq j$, пусть $k < j$, то по построению $n_k < n_j$. Так как все элементы в последовательности $\{a_n\}$ различны, то $a_{n_k} \neq a_{n_j}$, а значит $b_k \neq b_j$. Следовательно, разным натуральным числам соответствуют разные элементы из $B$.
Сюръективность: Возьмем произвольный элемент $b \in B$. Так как $b \in A$, то $b = a_m$ для некоторого номера $m \in \mathbb{N}$. В отрезке последовательности $a_1, a_2, \dots, a_m$ содержится конечное число элементов множества $B$. Пусть их $k$ штук. По нашему правилу построения, все эти $k$ элементов будут выбраны на шагах с 1-го по $k$-й. Один из них и будет элементом $b$. Значит, каждый элемент $B$ получит свой номер, и отображение сюръективно.

Поскольку мы построили биекцию между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством $B$, по определению множество $B$ является счётным.

Итак, любое подмножество счётного множества является либо конечным (первый случай), либо счётным (второй случай). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.