Номер 4.3, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.3, страница 28.

Условие.

4.3. Докажите, что множества чётных и нечётных чисел равномощны.

Решение.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, необходимо установить между ними биективное соответствие (биекцию). Биекция — это отображение, которое является одновременно инъективным и сюръективным.

Пусть $E$ — множество всех чётных целых чисел, а $O$ — множество всех нечётных целых чисел.

$E = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n = 2k, k \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \}$

$O = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n = 2k+1, k \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots \}$

Рассмотрим функцию $f: E \to O$, заданную правилом $f(x) = x + 1$.

Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность (взаимная однозначность).
   Функция является инъективной, если для любых двух различных элементов из области определения их образы также различны. То есть, если $f(x_1) = f(x_2)$, то $x_1 = x_2$.
   Пусть $x_1, x_2 \in E$ и $f(x_1) = f(x_2)$.
   Тогда $x_1 + 1 = x_2 + 1$.
   Вычитая 1 из обеих частей равенства, получаем $x_1 = x_2$.
   Следовательно, функция $f$ инъективна.

2. Сюръективность (отображение «на»).
   Функция является сюръективной, если для любого элемента $y$ из области значений найдётся такой элемент $x$ из области определения, что $f(x) = y$.
   Возьмём произвольный элемент $y \in O$. По определению нечётного числа, $y$ можно представить в виде $y = 2k + 1$ для некоторого целого числа $k$.
   Нам нужно найти такое $x \in E$, что $f(x) = y$.
   $x + 1 = y$
   $x = y - 1$
   Подставим представление $y$:
   $x = (2k + 1) - 1 = 2k$.
   Число вида $2k$ по определению является чётным, следовательно, $x \in E$.
   Таким образом, для любого нечётного числа $y$ мы нашли соответствующее ему чётное число $x = y - 1$.
   Следовательно, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(x) = x+1$ является одновременно инъективной и сюръективной, она устанавливает биективное соответствие между множеством чётных и множеством нечётных чисел. Это означает, что данные множества имеют одинаковую мощность, то есть равномощны.

Ответ: Множества чётных и нечётных чисел равномощны, так как между ними существует биекция, например, $f(x) = x+1$, где $x$ — чётное число.