Номер 4.5, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.5, страница 28.

Условие.

4.5. Докажите, что множество чисел вида $\frac{1}{n} (n \in N)$ счётно.

Решение.

Чтобы доказать, что множество чисел вида $\frac{1}{n}$ ($n \in \mathbb{N}$) является счётным, необходимо установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между этим множеством и множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Обозначим данное множество как $A = \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \}$. Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N} \to A$, которая каждому натуральному числу $n$ ставит в соответствие число $\frac{1}{n}$, то есть $f(n) = \frac{1}{n}$. Докажем, что эта функция является биекцией.

Сначала проверим инъективность (взаимную однозначность). Если предположить, что для двух натуральных чисел $n_1$ и $n_2$ выполняется равенство $f(n_1) = f(n_2)$, то это означает, что $\frac{1}{n_1} = \frac{1}{n_2}$. Отсюда немедленно следует, что $n_1 = n_2$. Таким образом, разным элементам из $\mathbb{N}$ соответствуют разные элементы из $A$, и функция является инъективной.

Теперь проверим сюръективность (отображение «на»). Возьмём произвольный элемент $y$ из множества $A$. По определению множества $A$, элемент $y$ можно представить в виде $y = \frac{1}{k}$ для некоторого натурального числа $k$. Это означает, что для любого элемента $y \in A$ существует прообраз $k \in \mathbb{N}$, такой, что $f(k) = y$. Следовательно, функция является сюръективной.

Поскольку функция $f$ является одновременно инъективной и сюръективной, она является биекцией. Наличие биекции между множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ и множеством $A$ по определению означает, что множество $A$ является счётным.

Ответ: Множество чисел вида $\frac{1}{n}$ ($n \in \mathbb{N}$) является счётным, так как функция $f(n) = \frac{1}{n}$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между ним и множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$.