Номер 4.10, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.10, страница 28.

Условие.

4.10. Рассмотрим множество отрезков, которые принадлежат координатной прямой, попарно не пересекаются и длина каждого из них не меньше 1. Докажите, что это множество является или конечным, или счётным.

Решение.

Пусть $S$ — данное множество попарно непересекающихся отрезков на координатной прямой. По условию, для любого отрезка $I \in S$ его длина, обозначим ее $L(I)$, не меньше 1, то есть $L(I) \ge 1$.

Рассмотрим произвольный отрезок $I = [a, b]$ из множества $S$. Его длина $b - a \ge 1$. Докажем, что каждый такой отрезок содержит по крайней мере одно целое число. Пусть $k = \lfloor a \rfloor + 1$. По определению функции «пол» (целая часть), $\lfloor a \rfloor$ является наибольшим целым числом, не превосходящим $a$. Таким образом, выполняются неравенства:$\lfloor a \rfloor \le a < \lfloor a \rfloor + 1$. Из второго неравенства следует, что $a < k$. Теперь покажем, что $k \le b$. Из $\lfloor a \rfloor \le a$ следует, что $\lfloor a \rfloor + 1 \le a + 1$, то есть $k \le a + 1$. Поскольку длина отрезка $b - a \ge 1$, мы имеем $b \ge a + 1$. Следовательно, $k \le a + 1 \le b$, что означает $k \le b$. Таким образом, мы показали, что $a < k \le b$, а это значит, что целое число $k$ принадлежит отрезку $[a, b]$ (и даже полуинтервалу $(a, b]$). Итак, каждый отрезок из множества $S$ содержит хотя бы одно целое число.

Теперь мы можем построить инъективное отображение (вложение) из множества отрезков $S$ в множество целых чисел $\mathbb{Z}$. Для каждого отрезка $I \in S$ выберем одно из целых чисел, которое ему принадлежит. Чтобы выбор был однозначным, для каждого отрезка $I$ выберем наименьшее целое число, содержащееся в нём. Обозначим это число как $k_I$. Такое число существует, так как множество целых чисел в отрезке непусто и ограничено снизу. Зададим отображение $f: S \to \mathbb{Z}$ по правилу $f(I) = k_I$.

Докажем, что это отображение инъективно. То есть, если $I_1$ и $I_2$ — два различных отрезка из $S$, то $f(I_1) \neq f(I_2)$. Пусть $I_1, I_2 \in S$ и $I_1 \neq I_2$. По условию, отрезки попарно не пересекаются, значит $I_1 \cap I_2 = \emptyset$. Пусть $k_1 = f(I_1)$ и $k_2 = f(I_2)$. По построению, $k_1 \in I_1$ и $k_2 \in I_2$. Если бы оказалось, что $k_1 = k_2$, то это означало бы, что это целое число принадлежит как отрезку $I_1$, так и отрезку $I_2$. Следовательно, $k_1 \in (I_1 \cap I_2)$, что противоречит тому, что пересечение отрезков пусто. Таким образом, для различных отрезков $I_1$ и $I_2$ соответствующие им наименьшие целые числа $k_1$ и $k_2$ также различны.

Мы построили инъективное отображение из множества $S$ в множество целых чисел $\mathbb{Z}$. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ является счётным. Существование инъективного отображения из множества $S$ в счётное множество $\mathbb{Z}$ означает, что мощность множества $S$ не превосходит мощности множества $\mathbb{Z}$. Следовательно, множество $S$ является не более чем счётным, то есть конечным или счётным (счётно-бесконечным). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.