Номер 4.6, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.6, страница 28.

Условие.

4.6. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством чисел вида $2^n$ ($n \in N$) и множеством десятичных дробей вида 0,1; 0,01; 0,001; ...

Решение.

Для установления взаимно однозначного соответствия между двумя множествами необходимо определить правило, по которому каждому элементу одного множества сопоставляется ровно один элемент другого множества, и наоборот.

Рассмотрим данные множества.
Первое множество, назовем его $A$, состоит из чисел вида $2^n$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т. е. $n = 1, 2, 3, \dots$).$A = \{2^1, 2^2, 2^3, \dots\} = \{2, 4, 8, \dots\}$.

Второе множество, назовем его $B$, состоит из десятичных дробей 0,1; 0,01; 0,001; ... . Эти дроби можно представить в виде степеней числа 10 с отрицательным целым показателем:$0,1 = 10^{-1}$
$0,01 = 10^{-2}$
$0,001 = 10^{-3}$
Следовательно, множество $B$ можно записать как $B = \{10^{-n} | n \in \mathbb{N}\}$.

Оба множества, $A$ и $B$, являются счетными, так как их элементы можно пронумеровать с помощью натуральных чисел $n$. Это число $n$ можно использовать для установления соответствия.

Установим следующее правило соответствия: каждому числу $2^n$ из множества $A$ сопоставим число $10^{-n}$ из множества $B$.

Данное соответствие является взаимно однозначным, поскольку:

1. 1. Каждому числу из множества $A$, имеющему вид $2^n$ для некоторого уникального $n \in \mathbb{N}$, соответствует единственное число $10^{-n}$ из множества $B$.
2. 2. Каждому числу из множества $B$, имеющему вид $10^{-n}$ для некоторого уникального $n \in \mathbb{N}$, соответствует единственное число $2^n$ из множества $A$.

Таким образом, правило $2^n \leftrightarrow 10^{-n}$ задает взаимно однозначное соответствие.

Примеры соответствия для первых нескольких значений $n$:
- Для $n=1$: $2^1 = 2 \leftrightarrow 10^{-1} = 0,1$
- Для $n=2$: $2^2 = 4 \leftrightarrow 10^{-2} = 0,01$
- Для $n=3$: $2^3 = 8 \leftrightarrow 10^{-3} = 0,001$
и так далее.

Ответ: Взаимно однозначное соответствие можно установить, сопоставив каждому числу $2^n$ (где $n \in \mathbb{N}$) число $10^{-n}$.