Номер 4.16, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.16, страница 29.

Условие.

4.16. На плоскости задано некоторое множество непересекающихся окружностей, радиусы которых равны 1. Докажите, что это множество конечно или счётно.

Решение.

Пусть $S$ — данное множество непересекающихся окружностей на плоскости. Пусть $C_i$ — произвольная окружность из этого множества. По условию, радиус каждой такой окружности равен 1.

Каждой окружности $C_i \in S$ сопоставим открытый круг $D_i$, для которого $C_i$ является границей. Так как радиус каждой окружности равен 1, площадь каждого такого круга положительна и равна $\pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi$.

Условие, что окружности не пересекаются, означает, что соответствующие им открытые круги попарно не пересекаются. То есть для любых двух различных кругов $D_i$ и $D_j$ из нашего семейства выполняется условие $D_i \cap D_j = \emptyset$.

Рассмотрим на плоскости множество точек, обе координаты которых рациональны. Обозначим это множество как $\mathbb{Q}^2$. Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является счётным. Декартово произведение двух счётных множеств также является счётным, следовательно, множество $\mathbb{Q}^2$ счётно.

Ключевым свойством множества $\mathbb{Q}^2$ является то, что оно всюду плотно в плоскости $\mathbb{R}^2$. Это означает, что любой непустой открытый круг на плоскости содержит хотя бы одну точку с рациональными координатами.

Поскольку каждый круг $D_i$ является непустым открытым множеством, внутри каждого из них найдётся по крайней мере одна точка из $\mathbb{Q}^2$. Выберем для каждого круга $D_i$ ровно одну такую точку и обозначим её $q_i$. Таким образом, мы получаем соответствие: каждой окружности $C_i$ из множества $S$ мы сопоставляем точку $q_i \in D_i \cap \mathbb{Q}^2$.

Покажем, что это соответствие является инъективным, то есть разным окружностям соответствуют разные точки. Пусть у нас есть две различные окружности, $C_i$ и $C_j$, из множества $S$. Им соответствуют открытые круги $D_i$ и $D_j$, которые не пересекаются ($D_i \cap D_j = \emptyset$). Точка $q_i$ была выбрана внутри круга $D_i$, а точка $q_j$ — внутри круга $D_j$. Так как $q_i \in D_i$ и $D_i \cap D_j = \emptyset$, точка $q_i$ не может принадлежать $D_j$. Следовательно, $q_i \neq q_j$.

Таким образом, мы установили инъективное отображение из множества окружностей $S$ в счётное множество точек с рациональными координатами $\mathbb{Q}^2$. Это означает, что мощность множества $S$ не превосходит мощности множества $\mathbb{Q}^2$. Поскольку множество $\mathbb{Q}^2$ счётно, то и множество $S$ может быть либо конечным, либо счётным.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано. Множество непересекающихся окружностей радиуса 1 на плоскости является конечным или счётным.