Номер 5.3, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.3, страница 37.

Условие.

5.3. Даны два высказывания: $A = \{2 = 3\}$, $B = \{2 \text{ — простое число}\}$.

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \land B$;

2) $A \lor B$;

3) $A \Rightarrow B$;

4) $A \Leftrightarrow B$;

5) $\bar{A}$;

6) $\bar{B}$.

Решение.

Для начала определим истинность исходных высказываний A и B.

Высказывание A: "{2 = 3}". Это равенство неверно, следовательно, высказывание A является ложным. Обозначим ложь как 0. $A=0$.

Высказывание B: "{2 — простое число}". Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Число 2 удовлетворяет этому определению (делится только на 1 и 2). Следовательно, высказывание B является истинным. Обозначим истину как 1. $B=1$.

Теперь определим истинность или ложность составных высказываний.

1) $A \land B$;
Конъюнкция (логическое "И") $A \land B$ истинна только тогда, когда оба высказывания A и B истинны. В нашем случае A ложно ($A=0$), а B истинно ($B=1$). Так как одно из высказываний ложно, их конъюнкция будет ложной. $0 \land 1 = 0$.
Ответ: Ложно.

2) $A \lor B$;
Дизъюнкция (логическое "ИЛИ") $A \lor B$ истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. В нашем случае высказывание B истинно ($B=1$). Следовательно, дизъюнкция истинна. $0 \lor 1 = 1$.
Ответ: Истинно.

3) $A \Rightarrow B$;
Импликация (логическое следование) $A \Rightarrow B$ ложна только в одном случае: когда из истинной посылки (A) следует ложное заключение (B). В нашем случае посылка A ложна ($A=0$). Из лжи может следовать что угодно, поэтому импликация истинна. $0 \Rightarrow 1 = 1$.
Ответ: Истинно.

4) $A \Leftrightarrow B$;
Эквиваленция (равнозначность) $A \Leftrightarrow B$ истинна тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны). У нас A ложно ($A=0$), а B истинно ($B=1$), их значения истинности различны. Следовательно, эквиваленция ложна. $0 \Leftrightarrow 1 = 0$.
Ответ: Ложно.

5) $\overline{A}$;
Отрицание $\overline{A}$ (не А) меняет значение истинности высказывания на противоположное. Поскольку высказывание A ложно ($A=0$), его отрицание $\overline{A}$ будет истинным. $\overline{0} = 1$.
Ответ: Истинно.

6) $\overline{B}$.
Поскольку высказывание B истинно ($B=1$), его отрицание $\overline{B}$ будет ложным. $\overline{1} = 0$.
Ответ: Ложно.