Номер 5.8, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.8, страница 38.

Условие.

5.8. Докажите, что:

1) $ \bar{\bar{A}} = A $
2) $ A \wedge A = A $
3) $ A \vee A = A $
4) $ A \vee B = B \vee A $
5) $ A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C $
6) $ A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C) $
7) $ A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C) $
8) $ \overline{A \vee B} = \bar{A} \wedge \bar{B} $
9) $ \overline{A \wedge B} = \bar{A} \vee \bar{B} $
10) $ (A \Rightarrow B) = (\bar{B} \Rightarrow \bar{A}) $
11) $ A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\bar{A} \wedge \bar{B}) $

Решение.

Для доказательства данных тождеств будем использовать таблицы истинности. В таблицах истинности 1 обозначает "истина", а 0 - "ложь".

1) $\overline{\overline{A}} = A$

Составим таблицу истинности для выражения $\overline{\overline{A}}$.

$A$	$\overline{A}$	$\overline{\overline{A}}$
0	1	0
1	0	1

Столбцы для $A$ и $\overline{\overline{A}}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\overline{\overline{A}} = A$ доказано.

2) $A \wedge A = A$

Составим таблицу истинности для выражения $A \wedge A$.

$A$	$A \wedge A$
0	0
1	1

Столбцы для $A$ и $A \wedge A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \wedge A = A$ доказано.

3) $A \vee A = A$

Составим таблицу истинности для выражения $A \vee A$.

$A$	$A \vee A$
0	0
1	1

Столбцы для $A$ и $A \vee A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee A = A$ доказано.

4) $A \vee B = B \vee A$

Составим таблицу истинности для выражений $A \vee B$ и $B \vee A$.

$A$	$B$	$A \vee B$	$B \vee A$
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	1

Столбцы для $A \vee B$ и $B \vee A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee B = B \vee A$ доказано.

5) $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$	$B$	$C$	$B \vee C$	$A \vee (B \vee C)$	$A \vee B$	$(A \vee B) \vee C$
0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	0	1
0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

Столбцы для $A \vee (B \vee C)$ и $(A \vee B) \vee C$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C$ доказано.

6) $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$	$B$	$C$	$B \vee C$	$A \wedge (B \vee C)$	$A \wedge B$	$A \wedge C$	$(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Столбцы для $A \wedge (B \vee C)$ и $(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ доказано.

7) $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$	$B$	$C$	$B \wedge C$	$A \vee (B \wedge C)$	$A \vee B$	$A \vee C$	$(A \vee B) \wedge (A \vee C)$
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Столбцы для $A \vee (B \wedge C)$ и $(A \vee B) \wedge (A \vee C)$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ доказано.

8) $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$	$B$	$A \vee B$	$\overline{A \vee B}$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A} \wedge \overline{B}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Столбцы для $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$ доказано.

9) $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$	$B$	$A \wedge B$	$\overline{A \wedge B}$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A} \vee \overline{B}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Столбцы для $\overline{A \wedge B}$ и $\overline{A} \vee \overline{B}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$ доказано.

10) $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$

Докажем тождество, используя определение импликации $X \Rightarrow Y = \overline{X} \vee Y$ и ранее доказанные свойства.

Преобразуем правую часть: $\overline{B} \Rightarrow \overline{A} = \overline{\overline{B}} \vee \overline{A}$.

По закону двойного отрицания (пункт 1), $\overline{\overline{B}} = B$. Таким образом, $\overline{\overline{B}} \vee \overline{A} = B \vee \overline{A}$.

По закону коммутативности (пункт 4), $B \vee \overline{A} = \overline{A} \vee B$.

Выражение $\overline{A} \vee B$ является определением импликации $A \Rightarrow B$.

Таким образом, $(\overline{B} \Rightarrow \overline{A}) = (\overline{A} \vee B) = (A \Rightarrow B)$, что и требовалось доказать.

Также составим таблицу истинности:

$A$	$B$	$A \Rightarrow B$	$\overline{B}$	$\overline{A}$	$\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	1

Столбцы для $A \Rightarrow B$ и $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ совпадают.

Ответ: Тождество $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ доказано.

11) $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$

Составим таблицу истинности. Эквиваленция $A \Leftrightarrow B$ истинна тогда и только тогда, когда значения $A$ и $B$ совпадают.

$A$	$B$	$A \Leftrightarrow B$	$A \wedge B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A} \wedge \overline{B}$	$(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$
0	0	1	0	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	1	0	0
1	1	1	1	0	0	0	1

Столбцы для $A \Leftrightarrow B$ и $(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ доказано.