Номер 5.8, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.8, страница 38.

№5.8 (с. 38)
Условие. №5.8 (с. 38)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 38, номер 5.8, Условие

5.8. Докажите, что:

1) $ \bar{\bar{A}} = A $
2) $ A \wedge A = A $
3) $ A \vee A = A $
4) $ A \vee B = B \vee A $
5) $ A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C $
6) $ A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C) $
7) $ A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C) $
8) $ \overline{A \vee B} = \bar{A} \wedge \bar{B} $
9) $ \overline{A \wedge B} = \bar{A} \vee \bar{B} $
10) $ (A \Rightarrow B) = (\bar{B} \Rightarrow \bar{A}) $
11) $ A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\bar{A} \wedge \bar{B}) $

Решение. №5.8 (с. 38)

Для доказательства данных тождеств будем использовать таблицы истинности. В таблицах истинности 1 обозначает "истина", а 0 - "ложь".

1) $\overline{\overline{A}} = A$

Составим таблицу истинности для выражения $\overline{\overline{A}}$.

$A$ $\overline{A}$ $\overline{\overline{A}}$
0 1 0
1 0 1

Столбцы для $A$ и $\overline{\overline{A}}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\overline{\overline{A}} = A$ доказано.

2) $A \wedge A = A$

Составим таблицу истинности для выражения $A \wedge A$.

$A$ $A \wedge A$
0 0
1 1

Столбцы для $A$ и $A \wedge A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \wedge A = A$ доказано.

3) $A \vee A = A$

Составим таблицу истинности для выражения $A \vee A$.

$A$ $A \vee A$
0 0
1 1

Столбцы для $A$ и $A \vee A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee A = A$ доказано.

4) $A \vee B = B \vee A$

Составим таблицу истинности для выражений $A \vee B$ и $B \vee A$.

$A$ $B$ $A \vee B$ $B \vee A$
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1

Столбцы для $A \vee B$ и $B \vee A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee B = B \vee A$ доказано.

5) $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$ $B$ $C$ $B \vee C$ $A \vee (B \vee C)$ $A \vee B$ $(A \vee B) \vee C$
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

Столбцы для $A \vee (B \vee C)$ и $(A \vee B) \vee C$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C$ доказано.

6) $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$ $B$ $C$ $B \vee C$ $A \wedge (B \vee C)$ $A \wedge B$ $A \wedge C$ $(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1

Столбцы для $A \wedge (B \vee C)$ и $(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ доказано.

7) $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$ $B$ $C$ $B \wedge C$ $A \vee (B \wedge C)$ $A \vee B$ $A \vee C$ $(A \vee B) \wedge (A \vee C)$
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

Столбцы для $A \vee (B \wedge C)$ и $(A \vee B) \wedge (A \vee C)$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ доказано.

8) $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$ $B$ $A \vee B$ $\overline{A \vee B}$ $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{A} \wedge \overline{B}$
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0

Столбцы для $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$ доказано.

9) $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$

Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.

$A$ $B$ $A \wedge B$ $\overline{A \wedge B}$ $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{A} \vee \overline{B}$
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0

Столбцы для $\overline{A \wedge B}$ и $\overline{A} \vee \overline{B}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$ доказано.

10) $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$

Докажем тождество, используя определение импликации $X \Rightarrow Y = \overline{X} \vee Y$ и ранее доказанные свойства.

Преобразуем правую часть: $\overline{B} \Rightarrow \overline{A} = \overline{\overline{B}} \vee \overline{A}$.

По закону двойного отрицания (пункт 1), $\overline{\overline{B}} = B$. Таким образом, $\overline{\overline{B}} \vee \overline{A} = B \vee \overline{A}$.

По закону коммутативности (пункт 4), $B \vee \overline{A} = \overline{A} \vee B$.

Выражение $\overline{A} \vee B$ является определением импликации $A \Rightarrow B$.

Таким образом, $(\overline{B} \Rightarrow \overline{A}) = (\overline{A} \vee B) = (A \Rightarrow B)$, что и требовалось доказать.

Также составим таблицу истинности:

$A$ $B$ $A \Rightarrow B$ $\overline{B}$ $\overline{A}$ $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1

Столбцы для $A \Rightarrow B$ и $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ совпадают.

Ответ: Тождество $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ доказано.

11) $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$

Составим таблицу истинности. Эквиваленция $A \Leftrightarrow B$ истинна тогда и только тогда, когда значения $A$ и $B$ совпадают.

$A$ $B$ $A \Leftrightarrow B$ $A \wedge B$ $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{A} \wedge \overline{B}$ $(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0 0 1

Столбцы для $A \Leftrightarrow B$ и $(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 5.8 расположенного на странице 38 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.8 (с. 38), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.