Номер 5.8, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.8, страница 38.
№5.8 (с. 38)
Условие. №5.8 (с. 38)
скриншот условия
 
                                5.8. Докажите, что:
1) $ \bar{\bar{A}} = A $ 
 2) $ A \wedge A = A $ 
 3) $ A \vee A = A $ 
 4) $ A \vee B = B \vee A $ 
 5) $ A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C $ 
 6) $ A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C) $ 
 7) $ A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C) $ 
 8) $ \overline{A \vee B} = \bar{A} \wedge \bar{B} $ 
 9) $ \overline{A \wedge B} = \bar{A} \vee \bar{B} $ 
 10) $ (A \Rightarrow B) = (\bar{B} \Rightarrow \bar{A}) $ 
 11) $ A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\bar{A} \wedge \bar{B}) $
Решение. №5.8 (с. 38)
Для доказательства данных тождеств будем использовать таблицы истинности. В таблицах истинности 1 обозначает "истина", а 0 - "ложь".
1) $\overline{\overline{A}} = A$
Составим таблицу истинности для выражения $\overline{\overline{A}}$.
| $A$ | $\overline{A}$ | $\overline{\overline{A}}$ | 
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 
| 1 | 0 | 1 | 
Столбцы для $A$ и $\overline{\overline{A}}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $\overline{\overline{A}} = A$ доказано.
2) $A \wedge A = A$
Составим таблицу истинности для выражения $A \wedge A$.
| $A$ | $A \wedge A$ | 
|---|---|
| 0 | 0 | 
| 1 | 1 | 
Столбцы для $A$ и $A \wedge A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $A \wedge A = A$ доказано.
3) $A \vee A = A$
Составим таблицу истинности для выражения $A \vee A$.
| $A$ | $A \vee A$ | 
|---|---|
| 0 | 0 | 
| 1 | 1 | 
Столбцы для $A$ и $A \vee A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $A \vee A = A$ доказано.
4) $A \vee B = B \vee A$
Составим таблицу истинности для выражений $A \vee B$ и $B \vee A$.
| $A$ | $B$ | $A \vee B$ | $B \vee A$ | 
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 0 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 0 | 1 | 1 | 
| 1 | 1 | 1 | 1 | 
Столбцы для $A \vee B$ и $B \vee A$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $A \vee B = B \vee A$ доказано.
5) $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C$
Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.
| $A$ | $B$ | $C$ | $B \vee C$ | $A \vee (B \vee C)$ | $A \vee B$ | $(A \vee B) \vee C$ | 
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
Столбцы для $A \vee (B \vee C)$ и $(A \vee B) \vee C$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C$ доказано.
6) $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$
Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.
| $A$ | $B$ | $C$ | $B \vee C$ | $A \wedge (B \vee C)$ | $A \wedge B$ | $A \wedge C$ | $(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ | 
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
Столбцы для $A \wedge (B \vee C)$ и $(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ доказано.
7) $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$
Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.
| $A$ | $B$ | $C$ | $B \wedge C$ | $A \vee (B \wedge C)$ | $A \vee B$ | $A \vee C$ | $(A \vee B) \wedge (A \vee C)$ | 
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
Столбцы для $A \vee (B \wedge C)$ и $(A \vee B) \wedge (A \vee C)$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ доказано.
8) $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$
Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.
| $A$ | $B$ | $A \vee B$ | $\overline{A \vee B}$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{A} \wedge \overline{B}$ | 
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
Столбцы для $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$ доказано.
9) $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$
Составим таблицу истинности для левой и правой частей равенства.
| $A$ | $B$ | $A \wedge B$ | $\overline{A \wedge B}$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{A} \vee \overline{B}$ | 
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 
Столбцы для $\overline{A \wedge B}$ и $\overline{A} \vee \overline{B}$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$ доказано.
10) $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$
Докажем тождество, используя определение импликации $X \Rightarrow Y = \overline{X} \vee Y$ и ранее доказанные свойства.
Преобразуем правую часть: $\overline{B} \Rightarrow \overline{A} = \overline{\overline{B}} \vee \overline{A}$.
По закону двойного отрицания (пункт 1), $\overline{\overline{B}} = B$. Таким образом, $\overline{\overline{B}} \vee \overline{A} = B \vee \overline{A}$.
По закону коммутативности (пункт 4), $B \vee \overline{A} = \overline{A} \vee B$.
Выражение $\overline{A} \vee B$ является определением импликации $A \Rightarrow B$.
Таким образом, $(\overline{B} \Rightarrow \overline{A}) = (\overline{A} \vee B) = (A \Rightarrow B)$, что и требовалось доказать.
Также составим таблицу истинности:
| $A$ | $B$ | $A \Rightarrow B$ | $\overline{B}$ | $\overline{A}$ | $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ | 
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 
Столбцы для $A \Rightarrow B$ и $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ совпадают.
Ответ: Тождество $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ доказано.
11) $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$
Составим таблицу истинности. Эквиваленция $A \Leftrightarrow B$ истинна тогда и только тогда, когда значения $A$ и $B$ совпадают.
| $A$ | $B$ | $A \Leftrightarrow B$ | $A \wedge B$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{A} \wedge \overline{B}$ | $(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ | 
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 
Столбцы для $A \Leftrightarrow B$ и $(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ совпадают, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 5.8 расположенного на странице 38 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.8 (с. 38), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    