Номер 5.5, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.5, страница 37.

Условие.

5.5. Составьте таблицу истинности для логического выражения:

1) $\overline{A} \lor B$;

2) $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$;

3) $(B \land C) \Rightarrow \overline{A}$;

4) $(\overline{A} \lor \overline{B}) \land (B \lor C)$.

5.6. Электрическая цепь машины токами M и N составляла по с

Решение.

1) $\overline{A} \vee B$

Для построения таблицы истинности для выражения $\overline{A} \vee B$ нам понадобятся столбцы для переменных $A$ и $B$, промежуточный столбец для операции отрицания $\overline{A}$ и итоговый столбец для всего выражения. Так как у нас две переменные, в таблице будет $2^2 = 4$ строки с комбинациями их значений.

Примем 0 за "ложь" и 1 за "истина".

Порядок действий:

1. Вычисляем значение $\overline{A}$ (логическое НЕ) для каждого значения $A$.
2. Вычисляем значение дизъюнкции (логического "ИЛИ") $\overline{A} \vee B$. Дизъюнкция истинна (1), если хотя бы один из операндов истинен.

Ответ:

$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{A} \vee B$
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	0	1

2) $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$

Для выражения $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ также используются две переменные $A$ и $B$. Таблица будет состоять из 4 строк.

Порядок действий:

1. Вычисляем значения $\overline{A}$ и $\overline{B}$.
2. Вычисляем значение импликации (логического следствия) $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$. Импликация $X \Rightarrow Y$ ложна (0) только в том случае, когда посылка $X$ истинна (1), а следствие $Y$ ложно (0).

Стоит отметить, что выражение $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ эквивалентно выражению $\overline{\overline{B}} \vee \overline{A}$, что равносильно $B \vee \overline{A}$, или $\overline{A} \vee B$. Это то же самое выражение, что и в пункте 1, поэтому их таблицы истинности совпадают.

Ответ:

$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$
0	0	1	1	1
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	1	0	0	1

3) $(B \wedge C) \Rightarrow \overline{A}$

Данное выражение содержит три переменные: $A$, $B$ и $C$. Следовательно, таблица истинности будет содержать $2^3 = 8$ строк.

Порядок действий:

1. Вычисляем значение конъюнкции (логического "И") $B \wedge C$. Конъюнкция истинна (1) только тогда, когда оба операнда истинны.
2. Вычисляем значение отрицания $\overline{A}$.
3. Вычисляем значение импликации $(B \wedge C) \Rightarrow \overline{A}$.

Ответ:

$A$	$B$	$C$	$B \wedge C$	$\overline{A}$	$(B \wedge C) \Rightarrow \overline{A}$
0	0	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	0	0	1
1	1	1	1	0	0

4) $(\overline{A} \vee \overline{B}) \wedge (B \vee C)$

Это выражение также зависит от трех переменных: $A$, $B$ и $C$, поэтому таблица истинности будет состоять из 8 строк.

Порядок действий:

1. Вычисляем значения отрицаний $\overline{A}$ и $\overline{B}$.
2. Вычисляем значение дизъюнкции $\overline{A} \vee \overline{B}$.
3. Вычисляем значение дизъюнкции $B \vee C$.
4. Вычисляем значение конъюнкции $(\overline{A} \vee \overline{B}) \wedge (B \vee C)$, которая является результатом всего выражения.

Ответ:

$A$	$B$	$C$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A} \vee \overline{B}$	$B \vee C$	$(\overline{A} \vee \overline{B}) \wedge (B \vee C)$
0	0	0	1	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	1	0