Номер 6.2, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.2, страница 51.

Условие.

6.2. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 6 = 10$ и $2x - 1 = 7$;

2) $x^2 = x$ и $x = 1$;

3) $x^2 + 1 = 0$ и $\frac{3}{x - 1} = 0$;

4) $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$;

5) $\frac{x - 2}{x - 2} = 0$ и $2x^2 + 3 = 0$;

6) $x^2 + 4x + 4 = 0$ и $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$;

7) $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ и $x + 3 = 0$;

8) $\frac{x + 1}{x + 1} = 0$ и $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 0$?

Решение.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) $x + 6 = 10$ и $2x - 1 = 7$

Решим первое уравнение:
$x + 6 = 10$
$x = 10 - 6$
$x = 4$
Множество решений первого уравнения: $\{4\}$.

Решим второе уравнение:
$2x - 1 = 7$
$2x = 8$
$x = 4$
Множество решений второго уравнения: $\{4\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

2) $x^2 = x$ и $x = 1$

Решим первое уравнение:
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
Множество решений первого уравнения: $\{0, 1\}$.

Второе уравнение $x = 1$ уже решено. Его корень $x=1$.
Множество решений второго уравнения: $\{1\}$.

Множества решений не совпадают ($\{0, 1\} \neq \{1\}$). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.

3) $x^2 + 1 = 0$ и $\frac{3}{x - 1} = 0$

Решим первое уравнение:
$x^2 = -1$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Множество решений пустое: $\emptyset$.

Решим второе уравнение:
$\frac{3}{x - 1} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель равен 3, что не равно 0. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество решений пустое: $\emptyset$.

Множества решений обоих уравнений пусты, то есть совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

4) $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$

Рассмотрим первое уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. На этой области уравнение тождественно верно ($1=1$). Таким образом, решением являются все действительные числа, кроме $x = -1$.

Рассмотрим второе уравнение. ОДЗ определяется условием $x^2 + 1 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю. На всей числовой прямой уравнение тождественно верно ($1=1$). Таким образом, решением являются все действительные числа.

Множества решений не совпадают, так как для первого уравнения $x \neq -1$, а для второго $x$ — любое действительное число. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.

5) $\frac{x - 2}{x - 2} = 0$ и $2x^2 + 3 = 0$

Рассмотрим первое уравнение. ОДЗ: $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. На этой области уравнение принимает вид $1 = 0$, что является ложным равенством. Следовательно, уравнение не имеет корней. Множество решений пустое: $\emptyset$.

Рассмотрим второе уравнение:
$2x^2 + 3 = 0$
$2x^2 = -3$
$x^2 = -1.5$
Уравнение не имеет действительных корней. Множество решений пустое: $\emptyset$.

Множества решений обоих уравнений пусты, то есть совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

6) $x^2 + 4x + 4 = 0$ и $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$

Решим первое уравнение:
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0$
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Множество решений первого уравнения: $\{-2\}$.

Решим второе уравнение. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
Корень $x = -2$ удовлетворяет условию $x \neq 1$.
Множество решений второго уравнения: $\{-2\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

7) $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ и $x + 3 = 0$

Решим первое уравнение. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
Исключаем корень $x=3$ из-за ОДЗ. Остается единственный корень $x = -3$.
Множество решений первого уравнения: $\{-3\}$.

Решим второе уравнение:
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Множество решений второго уравнения: $\{-3\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

8) $\frac{x + 1}{x + 1} = 0$ и $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 0$

Рассмотрим первое уравнение. ОДЗ: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. На этой области уравнение принимает вид $1 = 0$, что является ложным равенством. Уравнение не имеет корней. Множество решений пустое: $\emptyset$.

Рассмотрим второе уравнение. ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $(x-1)(x+1) \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -1$. На этой области уравнение принимает вид $1 = 0$, что является ложным равенством. Уравнение не имеет корней. Множество решений пустое: $\emptyset$.

Множества решений обоих уравнений пусты, то есть совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.