Номер 1.21, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.21, страница 10.

Условие.

1.21. Запишите с помощью символа $\subset$ соотношение между множествами:

$A = \{x \mid x=2n, n \in N\}$;

$C = \{x \mid x=10n, n \in N\}$;

$B = \{x \mid x=50n, n \in N\}$;

$D = \{x \mid x=5n, n \in N\}$.

Решение.

Для того чтобы записать соотношение между множествами с помощью символа $ \subset $, необходимо проанализировать определение каждого множества.

Заданные множества:

• $ A = \{x | x = 2n, n \in \mathbb{N}\} $ — это множество всех натуральных чисел, кратных 2 (т.е. всех четных натуральных чисел).
• $ B = \{x | x = 50n, n \in \mathbb{N}\} $ — это множество всех натуральных чисел, кратных 50.
• $ C = \{x | x = 10n, n \in \mathbb{N}\} $ — это множество всех натуральных чисел, кратных 10.
• $ D = \{x | x = 5n, n \in \mathbb{N}\} $ — это множество всех натуральных чисел, кратных 5.

Соотношение $ X \subset Y $ (читается как "$ X $ является подмножеством $ Y $") означает, что каждый элемент множества $ X $ также является элементом множества $ Y $. В данном случае, это означает, что если число кратно некоторому числу $ k_X $, то оно должно быть кратно и числу $ k_Y $. Это будет верно, если $ k_X $ делится нацело на $ k_Y $.

Проверим это условие для каждой пары множеств:

• Соотношение между B и C: Число 50 (определяющее множество B) кратно 10 (определяющему множество C), так как $ 50 = 10 \cdot 5 $. Это означает, что любое число, кратное 50, также кратно 10. Следовательно, каждый элемент множества $ B $ принадлежит множеству $ C $.
  Таким образом, $ B \subset C $.
• Соотношение между C и D: Число 10 кратно 5, так как $ 10 = 5 \cdot 2 $. Это означает, что любое число, кратное 10, также кратно 5. Следовательно, $ C \subset D $.
• Соотношение между C и A: Число 10 кратно 2, так как $ 10 = 2 \cdot 5 $. Это означает, что любое число, кратное 10, также кратно 2. Следовательно, $ C \subset A $.
• Соотношение между B и A: Число 50 кратно 2, так как $ 50 = 2 \cdot 25 $. Это означает, что любое число, кратное 50, также кратно 2. Следовательно, $ B \subset A $. (Это также следует из транзитивности: $ B \subset C $ и $ C \subset A \implies B \subset A $).
• Соотношение между B и D: Число 50 кратно 5, так как $ 50 = 5 \cdot 10 $. Это означает, что любое число, кратное 50, также кратно 5. Следовательно, $ B \subset D $. (Это также следует из транзитивности: $ B \subset C $ и $ C \subset D \implies B \subset D $).

Другие соотношения вложения отсутствуют. Например, 5 не кратно 10, поэтому $ D $ не является подмножеством $ C $ (контрпример: $ 5 \in D $, но $ 5 \notin C $). Аналогично, 2 не кратно 5, поэтому $ A $ не является подмножеством $ D $ (контрпример: $ 2 \in A $, но $ 2 \notin D $).

Ответ: $ B \subset C $, $ C \subset D $, $ C \subset A $, $ B \subset D $, $ B \subset A $.