Номер 1.20, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.20, страница 10.

Условие.

1.20. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера соотношение между множествами:

1) $A$ — множество всех неотрицательных рациональных чисел;

$B = \{0\}$;

$N$ — множество натуральных чисел;

2) $Z$ — множество целых чисел;

$A$ — множество натуральных чисел, кратных 6;

$B$ — множество натуральных чисел, кратных 3.

Решение.

1) Для заданных множеств $A$ — множество всех неотрицательных рациональных чисел, $B = \{0\}$, и $N$ — множество натуральных чисел, проанализируем соотношения между ними.

Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Множество $B$ состоит из одного элемента — числа 0.

Множество $A$ включает все неотрицательные рациональные числа, то есть $A = \mathbb{Q}_{\ge 0}$.

Рассмотрим отношения между множествами:

Любое натуральное число $n \in N$ является положительным, и его можно представить как рациональную дробь $n/1$. Следовательно, любое натуральное число является неотрицательным рациональным числом. Это означает, что множество $N$ является подмножеством множества $A$: $N \subset A$.

Число 0, которое является единственным элементом множества $B$, также является неотрицательным рациональным числом ($0 = 0/1$). Таким образом, множество $B$ также является подмножеством множества $A$: $B \subset A$.

Множество $N$ содержит только положительные целые числа, а множество $B$ — только ноль. Эти множества не имеют общих элементов, то есть их пересечение пусто: $N \cap B = \emptyset$.

Таким образом, $N$ и $B$ — это два непересекающихся подмножества множества $A$. Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая это соотношение, показана ниже.

Ответ: Множества $N$ и $B$ являются непересекающимися собственными подмножествами множества $A$.

---

2) Для заданных множеств $Z$ — множество целых чисел, $A$ — множество натуральных чисел, кратных 6, и $B$ — множество натуральных чисел, кратных 3, проанализируем соотношения между ними.

Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.

Множество $A$ состоит из натуральных чисел, которые делятся на 6: $A = \{6, 12, 18, 24, ...\}$.

Множество $B$ состоит из натуральных чисел, которые делятся на 3: $B = \{3, 6, 9, 12, ...\}$.

Рассмотрим отношения между множествами:

Любое число, кратное 6, можно представить в виде $6k$ для некоторого натурального $k$. Так как $6k = 3 \cdot (2k)$, то это число также кратно 3. Следовательно, каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. Это означает, что $A$ является подмножеством $B$: $A \subset B$. Это строгое включение, поскольку существуют элементы в $B$, которых нет в $A$ (например, $3 \in B$, но $3 \notin A$).

Множества $A$ и $B$ состоят из натуральных чисел. Любое натуральное число является целым числом. Следовательно, множество $B$ (а значит и $A$) является подмножеством множества целых чисел $Z$: $B \subset Z$.

В итоге мы имеем цепочку вложений: $A \subset B \subset Z$. Диаграмма Эйлера будет представлять собой три вложенные друг в друга области.

Ответ: Множество $A$ является собственным подмножеством множества $B$, которое, в свою очередь, является собственным подмножеством множества $Z$.