Номер 1.5, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.5, страница 8.

Условие.

1.5. Задайте с помощью перечисления элементов множество:

1) $A = \{x | x \in \mathbf{N}, x^2 - 1 = 0\}$;

2) $B = \{x | x \in \mathbf{Z}, |x| < 3\}$;

3) $C = \{x | x \in \mathbf{N}, x \le 15, x = 7k, k \in \mathbf{Z}\}$.

Решение.

1) $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x^2 - 1 = 0\}$

Множество A состоит из натуральных чисел ($x \in \mathbb{N}$), которые удовлетворяют уравнению $x^2 - 1 = 0$. Множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.

Сначала решим уравнение:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$.

Теперь из найденных корней $\{1, -1\}$ выберем те, которые являются натуральными числами. Этому условию удовлетворяет только число 1.

Ответ: $A = \{1\}$.

2) $B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, |x| < 3\}$

Множество B состоит из целых чисел ($x \in \mathbb{Z}$), модуль которых строго меньше 3. Множество целых чисел $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.

Неравенство $|x| < 3$ означает, что расстояние от числа $x$ до нуля на числовой прямой меньше 3. Это равносильно двойному неравенству:
$-3 < x < 3$.

Выберем все целые числа, которые находятся в интервале от -3 до 3, не включая концы: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: $B = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

3) $C = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \le 15, x = 7k, k \in \mathbb{Z}\}$

Множество C состоит из натуральных чисел ($x \in \mathbb{N}$), которые не превышают 15 ($x \le 15$) и являются кратными числу 7 ($x = 7k$, где $k$ — целое число).

Нам нужно найти все числа, кратные 7, которые являются натуральными и не больше 15.

• Если $k=1$, то $x = 7 \cdot 1 = 7$. $7$ — натуральное число и $7 \le 15$. Подходит.
• Если $k=2$, то $x = 7 \cdot 2 = 14$. $14$ — натуральное число и $14 \le 15$. Подходит.
• Если $k=3$, то $x = 7 \cdot 3 = 21$. $21 > 15$. Не подходит.
• При $k \le 0$ значения $x$ не будут натуральными числами ($0, -7, \dots$).

Следовательно, множество C состоит из двух элементов.

Ответ: $C = \{7, 14\}$.