Номер 1.4, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.4, страница 8.

Условие.

1.4. Дана функция $f(x) = x^2 + 1$. Поставьте вместо звёздочки знак $\in$ или $\notin$ так, чтобы получилось верное утверждение:

1) $3 * D(f);$

2) $0 * D(f);$

3) $\frac{1}{2} * E(f);$

4) $1,01 * E(f).$

Решение.

Для решения задачи сначала найдем область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ для функции $f(x) = x^2 + 1$.

1. Область определения $D(f)$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Данная функция $f(x) = x^2 + 1$ является многочленом (квадратичной функцией), который определен для любых действительных чисел. Ограничений на значения $x$ нет.

Следовательно, $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f) = R$ (множество всех действительных чисел).

2. Область значений $E(f)$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$.

Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.

Тогда выражение $x^2 + 1$ будет всегда больше или равно 1: $x^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $f(x) \ge 1$.

Минимальное значение функции достигается при $x=0$ и равно $f(0) = 0^2 + 1 = 1$.

Следовательно, область значений функции $E(f) = [1; +\infty)$.

Теперь подставим знаки в утверждения.

1) 3 * D(f);

Нужно определить, принадлежит ли число 3 области определения $D(f)$. Так как $D(f)$ — это множество всех действительных чисел, а 3 является действительным числом, то 3 принадлежит $D(f)$.

Ответ: $3 \in D(f)$

2) 0 * D(f);

Нужно определить, принадлежит ли число 0 области определения $D(f)$. Так как $D(f)$ — это множество всех действительных чисел, а 0 является действительным числом, то 0 принадлежит $D(f)$.

Ответ: $0 \in D(f)$

3) $\frac{1}{2}$ * E(f);

Нужно определить, принадлежит ли число $\frac{1}{2}$ области значений $E(f)$. Мы нашли, что $E(f) = [1; +\infty)$, то есть функция принимает значения, которые больше или равны 1. Поскольку $\frac{1}{2} = 0,5$, а $0,5 < 1$, то число $\frac{1}{2}$ не принадлежит области значений функции.

Ответ: $\frac{1}{2} \notin E(f)$

4) 1,01 * E(f).

Нужно определить, принадлежит ли число 1,01 области значений $E(f)$. Область значений $E(f) = [1; +\infty)$. Поскольку $1,01 \ge 1$, то число 1,01 принадлежит области значений функции.

Ответ: $1,01 \in E(f)$