Страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

27.1 Является ли квадратным уравнение:

а) $x^2 + 3x + 1 = 0;$

б) $5x^3 - x^2 + 4 = 0;$

в) $2x^2 + 3x - 7 = 0;$

г) $x^3 - x - 6 = 0?$

Преобразуйте уравнение к виду $ax^2 + bx + c = 0$ и укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член:

а)

Уравнение $x^2 + 3x + 1 = 0$ является квадратным.
Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где старший коэффициент $a \neq 0$. В данном уравнении наивысшая степень переменной $x$ равна 2, что соответствует определению. Уравнение уже представлено в стандартном виде.
Старший коэффициент: $a = 1$.
Второй коэффициент: $b = 3$.
Свободный член: $c = 1$.

Ответ: Да, является. Старший коэффициент: 1, второй коэффициент: 3, свободный член: 1.

б)

Уравнение $5x^3 - x^2 + 4 = 0$ не является квадратным.
В квадратном уравнении наивысшая степень переменной должна быть равна 2. В данном уравнении наивысшая степень равна 3, следовательно, это кубическое уравнение.

Ответ: Нет, не является.

в)

Уравнение $2x^2 + 3x - 7 = 0$ является квадратным.
Наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Уравнение представлено в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.
Старший коэффициент: $a = 2$.
Второй коэффициент: $b = 3$.
Свободный член: $c = -7$.

Ответ: Да, является. Старший коэффициент: 2, второй коэффициент: 3, свободный член: -7.

г)

Уравнение $x^3 - x - 6 = 0$ не является квадратным.
Наивысшая степень переменной $x$ в этом уравнении равна 3. Это кубическое уравнение.

Ответ: Нет, не является.

27.2 a) $4x^2 + 5x - 1 = 0;$

б) $15x^2 = 0;$

в) $-x^2 - x = 0;$

г) $8 - 9x^2 = 0.$

а) $4x^2 + 5x - 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Определим его коэффициенты: $a = 4$, $b = 5$, $c = -1$.

Для решения данного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 25 + 16 = 41$.

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + \sqrt{41}}{8}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - \sqrt{41}}{8}$

Ответ: $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{8}$, $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{8}$.

б) $15x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 15.

$x^2 = \frac{0}{15}$

$x^2 = 0$

Извлекая корень, получаем единственный корень.

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

в) $-x^2 - x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для удобства умножим обе части уравнения на -1.

$x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x = 0$

или

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

г) $8 - 9x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем член, содержащий $x^2$, в правую часть уравнения.

$8 = 9x^2$

Разделим обе части на 9, чтобы выразить $x^2$.

$x^2 = \frac{8}{9}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что существует два корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{\frac{8}{9}}$

Упростим выражение:

$x = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $x_2 = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

27.3 a) $7x^2 + 12x - 5 = 0;$

б) $-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{14} = 0;$

в) $\frac{2}{5}x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{5}{12} = 0;$

г) $-4x^2 - 7x + 16 = 0.$

а) Дано квадратное уравнение $7x^2 + 12x - 5 = 0$. Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=7$, $b=12$, $c=-5$. Для решения используем формулу корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:
$\Delta = 12^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 144 + 140 = 284$.
Так как $\Delta > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{284} = \sqrt{4 \cdot 71} = 2\sqrt{71}$.
$x_{1,2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{71}}{2 \cdot 7} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{71}}{14} = \frac{2(-6 \pm \sqrt{71})}{14} = \frac{-6 \pm \sqrt{71}}{7}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-6 + \sqrt{71}}{7}, x_2 = \frac{-6 - \sqrt{71}}{7}$.

б) Дано уравнение $-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{14} = 0$. Это неполное квадратное уравнение, для его решения выразим $x^2$:
$-\frac{1}{3}x^2 = -\frac{3}{14}$.
Умножим обе части уравнения на -3:
$x^2 = \frac{3}{14} \cdot 3 = \frac{9}{14}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{14}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{14}} = \pm\frac{3}{\sqrt{14}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$:
$x = \pm\frac{3\sqrt{14}}{14}$.
Ответ: $x = \pm\frac{3\sqrt{14}}{14}$.

в) Дано уравнение $\frac{2}{5}x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{5}{12} = 0$. Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 5, 7 и 12, которое равно 420.
$420 \cdot \left(\frac{2}{5}x^2\right) - 420 \cdot \left(\frac{1}{7}x\right) - 420 \cdot \left(\frac{5}{12}\right) = 0$.
$(84 \cdot 2)x^2 - 60x - (35 \cdot 5) = 0$.
$168x^2 - 60x - 175 = 0$.
Решаем полученное уравнение с целыми коэффициентами ($a=168, b=-60, c=-175$) через дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 168 \cdot (-175) = 3600 + 117600 = 121200$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{121200} = \sqrt{100 \cdot 4 \cdot 303} = 20\sqrt{303}$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{60 \pm 20\sqrt{303}}{2 \cdot 168} = \frac{60 \pm 20\sqrt{303}}{336}$.
Сократим дробь на 4:
$x_{1,2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{303}}{84}$.
Ответ: $x_1 = \frac{15 + 5\sqrt{303}}{84}, x_2 = \frac{15 - 5\sqrt{303}}{84}$.

г) Дано уравнение $-4x^2 - 7x + 16 = 0$. Умножим уравнение на -1 для удобства:
$4x^2 + 7x - 16 = 0$.
Это полное квадратное уравнение, где $a=4$, $b=7$, $c=-16$. Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:
$\Delta = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-16) = 49 + 256 = 305$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{305}$ не упрощается, так как $305 = 5 \cdot 61$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{305}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm \sqrt{305}}{8}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{305}}{8}, x_2 = \frac{-7 - \sqrt{305}}{8}$.

27.4 а) $(3x + 1)(2x - 3) + 4(x - 2) = 5(4 - 3x);$

б) $12 - 6(x + 3) - 7x = (x - 2)(x + 3);$

в) $(2x + 10)(x - 1) + 5(x - 2) = 2(7 + x);$

г) $1 + 3(2x - 4) + (2x - 1)(3 - 2x) = 8.$

а) $(3x + 1)(2x - 3) + 4(x - 2) = 5(4 - 3x)$

1. Раскроем скобки в каждой части уравнения:
$(3x \cdot 2x - 3x \cdot 3 + 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3) + (4 \cdot x - 4 \cdot 2) = 5 \cdot 4 - 5 \cdot 3x$
$(6x^2 - 9x + 2x - 3) + (4x - 8) = 20 - 15x$

2. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые в левой части:
$6x^2 - 7x - 3 + 4x - 8 = 20 - 15x$
$6x^2 - 3x - 11 = 20 - 15x$

3. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 3x - 11 - 20 + 15x = 0$
$6x^2 + 12x - 31 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней. Сначала найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-31) = 144 + 744 = 888$
$\sqrt{D} = \sqrt{888} = \sqrt{4 \cdot 222} = 2\sqrt{222}$

5. Найдем корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{222}}{2 \cdot 6} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{222}}{12} = \frac{2(-6 \pm \sqrt{222})}{12} = \frac{-6 \pm \sqrt{222}}{6}$

Ответ: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{222}}{6}$.

б) $12 - 6(x + 3) - 7x = (x - 2)(x + 3)$

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$12 - 6x - 18 - 7x = x^2 + 3x - 2x - 6$

2. Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$-13x - 6 = x^2 + x - 6$

3. Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$0 = x^2 + x - 6 + 13x + 6$
$x^2 + 14x = 0$

4. Решим неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 14) = 0$

5. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 14 = 0$, откуда $x_2 = -14$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -14$.

в) $(2x + 10)(x - 1) + 5(x - 2) = 2(7 + x)$

1. Раскроем скобки:
$(2x^2 - 2x + 10x - 10) + (5x - 10) = 14 + 2x$

2. Упростим левую часть уравнения:
$2x^2 + 8x - 10 + 5x - 10 = 14 + 2x$
$2x^2 + 13x - 20 = 14 + 2x$

3. Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + 13x - 20 - 14 - 2x = 0$
$2x^2 + 11x - 34 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-34) = 121 + 272 = 393$

5. Найдем корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{393}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{393}}{4}$

Ответ: $x = \frac{-11 \pm \sqrt{393}}{4}$.

г) $1 + 3(2x - 4) + (2x - 1)(3 - 2x) = 8$

1. Раскроем скобки:
$1 + (6x - 12) + (2x \cdot 3 - 2x \cdot 2x - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2x) = 8$
$1 + 6x - 12 + (6x - 4x^2 - 3 + 2x) = 8$

2. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:
$1 + 6x - 12 - 4x^2 + 8x - 3 = 8$
$-4x^2 + 14x - 14 = 8$

3. Перенесем 8 в левую часть:
$-4x^2 + 14x - 14 - 8 = 0$
$-4x^2 + 14x - 22 = 0$

4. Для удобства разделим все уравнение на -2:
$2x^2 - 7x + 11 = 0$

5. Вычислим дискриминант, чтобы определить наличие действительных корней:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 49 - 88 = -39$

6. Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

27.5 a) $2(x + 6)(x - 6) + 3(x + 6) = x^2 - 5x;$

б) $25 - x^2 + 2(x - 5) = 4(x - 5).$

а) Решим уравнение $2(x + 6)(x - 6) + 3(x + 6) = x^2 - 5x$.

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению $(x+6)(x-6)$. Получаем $x^2-36$.

Подставляем результат в исходное уравнение: $2(x^2 - 36) + 3(x + 6) = x^2 - 5x$.

Раскрываем скобки: $2x^2 - 72 + 3x + 18 = x^2 - 5x$.

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения: $2x^2 + 3x - 54 = x^2 - 5x$.

Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - x^2 + 3x + 5x - 54 = 0$

$x^2 + 8x - 54 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=8, c=-54$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 64 + 216 = 280$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{280}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 70}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{70}}{2} = -4 \pm \sqrt{70}$.

Ответ: $-4 - \sqrt{70}; -4 + \sqrt{70}$.

б) Решим уравнение $25 - x^2 + 2(x - 5) = 4(x - 5)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть: $25 - x^2 + 2(x - 5) - 4(x - 5) = 0$.

Упростим выражение: $25 - x^2 - 2(x - 5) = 0$.

Представим $25 - x^2$ как разность квадратов $(5-x)(5+x)$: $(5 - x)(5 + x) - 2(x - 5) = 0$.

Заметим, что $(5-x) = -(x-5)$. Подставим это в уравнение: $-(x - 5)(5 + x) - 2(x - 5) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x-5)$ за скобки: $(x - 5) \cdot [-(5 + x) - 2] = 0$.

Упростим выражение во второй скобке: $(x - 5) \cdot (-5 - x - 2) = 0$, что дает $(x - 5)(-x - 7) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два линейных уравнения:

$x - 5 = 0$ или $-x - 7 = 0$.

Решая их, находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -7$.

Ответ: -7; 5.