Страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

25.10 Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен $14 \text{ дм}$, а площадь равна $12 \text{ дм}^2$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ в дециметрах.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а площадь $S$ — по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи, периметр равен 14 дм, а площадь — 12 дм². Мы можем составить систему уравнений:
$\begin{cases} 2(a + b) = 14 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:
$a + b = 7$

Теперь наша система уравнений выглядит так:
$\begin{cases} a + b = 7 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Эту систему можно решить, составив квадратное уравнение, корнями которого являются искомые стороны $a$ и $b$. Согласно обратной теореме Виета, если сумма двух чисел равна 7, а их произведение равно 12, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корни уравнения — это 3 и 4. Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 дм и 4 дм.

Проведем проверку:
Периметр: $P = 2(3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ дм.
Площадь: $S = 3 \cdot 4 = 12$ дм².
Полученные значения соответствуют условиям задачи.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 дм и 4 дм.

25.11 Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5 см, а один из его катетов на 1 см больше другого.

Обозначим длину одного катета прямоугольного треугольника через $x$ см. По условию задачи, другой катет на 1 см больше, значит, его длина составляет $(x + 1)$ см. Длина гипотенузы известна и равна 5 см.

Для нахождения катетов воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в эту формулу известные нам величины:
$x^2 + (x + 1)^2 = 5^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = 25$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0$
$2x^2 + 2x - 24 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 + x - 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для вычисления корней через дискриминант.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку $x$ представляет собой длину стороны треугольника, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, длина одного катета равна $x = 3$ см.
Длина второго катета равна $(x + 1) = 3 + 1 = 4$ см.

Ответ: длины катетов равны 3 см и 4 см.

25.12 Решите квадратное уравнение несколькими способами:

а) $x^2 - 6x + 8 = 0;$

б) $x^2 + 2x - 8 = 0;$

в) $x^2 - 2x - 8 = 0;$

г) $x^2 + 6x + 8 = 0.$

а) $x^2 - 6x + 8 = 0$

Способ 1: Решение через дискриминант.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=-6$, $c=8$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Способ 2: Решение по теореме Виета.

Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В данном уравнении $p = -6$ и $q = 8$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -(-6) = 6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбираем целые числа, произведение которых равно 8. Это пары (1, 8), (2, 4), (-1, -8), (-2, -4). Проверяем их сумму. Условию $x_1 + x_2 = 6$ удовлетворяет пара чисел 2 и 4. Таким образом, корни уравнения: $x_1=2$, $x_2=4$.

Ответ: 2; 4.

б) $x^2 + 2x - 8 = 0$

Способ 1: Решение через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=-8$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Способ 2: Решение по теореме Виета.

В данном уравнении $p = 2$ и $q = -8$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбираем целые числа, произведение которых равно -8. Это пары (1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4). Условию $x_1 + x_2 = -2$ удовлетворяет пара чисел 2 и -4. Таким образом, корни уравнения: $x_1=2$, $x_2=-4$.

Ответ: -4; 2.

в) $x^2 - 2x - 8 = 0$

Способ 1: Решение через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2$, $c=-8$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Способ 2: Решение по теореме Виета.

В данном уравнении $p = -2$ и $q = -8$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -(-2) = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбираем пары целых чисел, произведение которых равно -8. Условию $x_1 + x_2 = 2$ удовлетворяет пара чисел 4 и -2. Таким образом, корни уравнения: $x_1=4$, $x_2=-2$.

Ответ: -2; 4.

г) $x^2 + 6x + 8 = 0$

Способ 1: Решение через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=6$, $c=8$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Способ 2: Решение по теореме Виета.

В данном уравнении $p = 6$ и $q = 8$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбираем пары целых чисел, произведение которых равно 8. Условию $x_1 + x_2 = -6$ удовлетворяет пара чисел -2 и -4. Таким образом, корни уравнения: $x_1=-2$, $x_2=-4$.

Ответ: -4; -2.

Выясните, сколько корней имеет уравнение:

25.13 а) $2x^2 - 3x + 1 = 0;$

б) $x^2 + 6x + 9 = 0;$

в) $2x^2 - 5x + 2 = 0;$

г) $2x^2 - 3x + 2 = 0.$

Чтобы выяснить, сколько корней имеет квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, нужно вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Знак дискриминанта определяет количество действительных корней уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два одинаковых корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) Для уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Так как $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Ответ: 2 корня.

б) для уравнения $x^2 + 6x + 9 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 6$, $c = 9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.
Ответ: 1 корень.

в) Для уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Так как $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Ответ: 2 корня.

г) Для уравнения $2x^2 - 3x + 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -3$, $c = 2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D = -7 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: 0 корней.

25.14 a) $-2x^2 - 7x + 3 = 0;$

б) $-x^2 + 4x - 4 = 0;$

в) $2x^2 + 5x + 5 = 0;$

г) $2x^2 - 5x - 3 = 0.$

а) Для решения квадратного уравнения $-2x^2 - 7x + 3 = 0$ сначала умножим обе части на $-1$, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным. Получим эквивалентное уравнение: $2x^2 + 7x - 3 = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=2$, $b=7$, $c=-3$. Вычислим дискриминант (D) по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{73}}{4}$. Таким образом, получаем два корня: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{73}}{4}$ и $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{4}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{73}}{4}$, $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{73}}{4}$.

б) Рассмотрим уравнение $-x^2 + 4x - 4 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$: $x^2 - 4x + 4 = 0$. Левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(x-2)^2$. Получаем уравнение $(x-2)^2 = 0$. Отсюда следует, что $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. В качестве альтернативы можно использовать дискриминант для уравнения $x^2 - 4x + 4 = 0$, где $a=1$, $b=-4$, $c=4$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$. Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который вычисляется по формуле $x = \frac{-b}{2a}$: $x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $x=2$.

в) Решим уравнение $2x^2 + 5x + 5 = 0$. Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=5$, $c=5$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 25 - 40 = -15$. Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

г) Решим уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$. Вычислим каждый корень отдельно: $x_1 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$. $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Ответ: $x_1 = -0.5$, $x_2 = 3$.

25.15 При каком значении p уравнение $x^2 - 2x + 1 = p$ имеет один корень?

Чтобы определить, при каком значении параметра p данное уравнение имеет один корень, можно воспользоваться двумя основными методами.

Способ 1: Через дискриминант

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант (D) равен нулю.Сначала преобразуем исходное уравнение к стандартному виду, перенеся p в левую часть:

$x^2 - 2x + 1 = p$

$x^2 - 2x + (1 - p) = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -2$, $c = 1 - p$.

Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - p)$

$D = 4 - 4(1 - p)$

$D = 4 - 4 + 4p$

$D = 4p$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение p, при котором уравнение имеет один корень:

$4p = 0$

$p = 0$

Способ 2: Через выделение полного квадрата

Рассмотрим левую часть уравнения $x^2 - 2x + 1$. Это выражение представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x - 1)^2 = p$

Проанализируем полученное уравнение:

— Если $p > 0$, то уравнение имеет два различных корня: $x - 1 = \sqrt{p}$ и $x - 1 = -\sqrt{p}$, то есть $x = 1 \pm \sqrt{p}$.

— Если $p < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

— Если $p = 0$, то уравнение принимает вид $(x - 1)^2 = 0$. В этом случае есть только один корень $x = 1$.

Оба способа показывают, что уравнение имеет один корень только при $p = 0$.

Ответ: $p=0$

25.16 При каких значениях $p$ уравнение $x^2 + 2x + 3 = p$ не имеет корней?

Для того чтобы найти значения параметра $p$, при которых данное уравнение не имеет корней, мы должны привести его к стандартному виду квадратного уравнения и проанализировать его дискриминант.

Исходное уравнение: $x^2 + 2x + 3 = p$

Перенесем $p$ в левую часть, чтобы получить уравнение в виде $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 2x + (3 - p) = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 2$, $c = 3 - p$.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант ($D$) отрицателен, то есть $D < 0$. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши коэффициенты в формулу дискриминанта: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - p)$ $D = 4 - 4(3 - p)$ $D = 4 - 12 + 4p$ $D = 4p - 8$

Теперь решим неравенство $D < 0$: $4p - 8 < 0$

Прибавим 8 к обеим частям неравенства: $4p < 8$

Разделим обе части на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства не меняется): $p < 2$

Следовательно, уравнение не имеет корней при всех значениях $p$, которые меньше 2.

Альтернативный способ решения:

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 2x + 3$. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Уравнение $x^2 + 2x + 3 = p$ будет иметь решения в точках пересечения этой параболы с горизонтальной прямой $y = p$. Уравнение не будет иметь корней, если прямая $y=p$ будет расположена ниже вершины параболы, то есть ниже минимального значения функции.

Найдем наименьшее значение функции, которое достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Ордината вершины (минимальное значение функции) находится подстановкой $x_0$ в уравнение параболы: $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

Таким образом, минимальное значение левой части уравнения равно 2. Чтобы уравнение не имело решений, значение $p$ должно быть строго меньше этого минимального значения. $p < 2$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $p < 2$

25.17 При каких значениях p уравнение $x^2 - 4x + 4 = p$ имеет два корня?

Чтобы найти значения параметра $p$, при которых данное уравнение имеет два корня, необходимо проанализировать его как квадратное уравнение. Существует два основных способа решения этой задачи: аналитический (через дискриминант) и графический.

Способ 1: Аналитический (с использованием дискриминанта)

1. Приведем уравнение $x^2 - 4x + 4 = p$ к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. для этого перенесем $p$ в левую часть:

$x^2 - 4x + (4 - p) = 0$

2. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

3. Вычислим дискриминант для нашего уравнения. Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -4$, $c = 4 - p$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставляем наши коэффициенты:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - p) = 16 - 4(4 - p) = 16 - 16 + 4p = 4p$

4. Теперь решим неравенство $D > 0$:

$4p > 0$

Разделив обе части на 4, получаем:

$p > 0$

Таким образом, уравнение имеет два различных корня при всех значениях $p$, больших нуля.

Способ 2: Графический

1. Рассмотрим исходное уравнение $x^2 - 4x + 4 = p$ как равенство двух функций: $y = x^2 - 4x + 4$ и $y = p$. Количество решений (корней) уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

2. Проанализируем функцию $y = x^2 - 4x + 4$. Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$

Таким образом, первая функция — это $y = (x - 2)^2$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(2; 0)$.

3. Вторая функция $y = p$ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (оси Ox) и проходящую через точку $(0; p)$ на оси ординат (оси Oy).

4. Определим количество точек пересечения графиков в зависимости от значения $p$:

• Если $p < 0$, прямая $y=p$ находится ниже оси Ox и не имеет общих точек с параболой, вершина которой лежит на оси Ox. В этом случае уравнение не имеет действительных корней.
• Если $p = 0$, прямая $y=p$ совпадает с осью Ox и касается параболы в ее вершине $(2; 0)$. В этом случае есть одна точка пересечения, и уравнение имеет один корень ($x=2$).
• Если $p > 0$, прямая $y=p$ находится выше оси Ox и пересекает параболу в двух различных точках. В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Оба способа приводят к одному и тому же результату: уравнение имеет два корня при $p > 0$.

Ответ: при $p > 0$.

25.18 При каких значениях $p$ уравнение $x^2 + 4x - 6 = p$ имеет хотя бы один корень?

Для того чтобы найти значения параметра $p$, при которых данное уравнение имеет хотя бы один корень, преобразуем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Исходное уравнение:

$x^2 + 4x - 6 = p$

Перенесем $p$ в левую часть:

$x^2 + 4x - 6 - p = 0$

Сгруппируем свободный член, чтобы уравнение имело вид $x^2 + 4x - (6 + p) = 0$.

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень (один или два), если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \geq 0$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$a = 1$, $b = 4$, $c = -(6 + p)$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(6 + p))$

$D = 16 + 4(6 + p)$

$D = 16 + 24 + 4p$

$D = 40 + 4p$

Теперь решим неравенство $D \geq 0$ относительно $p$:

$40 + 4p \geq 0$

$4p \geq -40$

$p \geq \frac{-40}{4}$

$p \geq -10$

Таким образом, уравнение имеет хотя бы один корень при всех значениях $p$, которые больше или равны -10.

Этот же результат можно получить, проанализировав функцию $f(x) = x^2 + 4x - 6$. Уравнение $f(x) = p$ имеет решение тогда, когда значение $p$ принадлежит области значений функции $f(x)$. Графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение находится в вершине. Выделим полный квадрат, чтобы найти координаты вершины:

$f(x) = x^2 + 4x - 6 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 6 = (x+2)^2 - 10$

Минимальное значение функции достигается при $x = -2$ и равно $-10$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-10; +\infty)$. Уравнение будет иметь хотя бы один корень, если $p$ принадлежит этой области, то есть $p \geq -10$.

Ответ: $p \geq -10$.

25.19 При каких значениях p уравнение $x^2 + 6x + 8 = p$:

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $p$ уравнение имеет определенное количество корней, необходимо привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и исследовать знак его дискриминанта $D$.

Исходное уравнение: $x^2 + 6x + 8 = p$.

Перенесем $p$ в левую часть уравнения:

$x^2 + 6x + 8 - p = 0$.

Теперь это квадратное уравнение стандартного вида, где коэффициенты равны:

$a = 1$, $b = 6$, $c = 8 - p$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - p) = 36 - 4(8 - p) = 36 - 32 + 4p = 4 + 4p$.

Количество корней уравнения зависит от знака дискриминанта. Рассмотрим каждый из требуемых случаев.

а) не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант строго меньше нуля ($D < 0$).

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4 + 4p < 0$

$4p < -4$

$p < -1$

Ответ: при $p < -1$.

б) имеет один корень

Уравнение имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$).

Составим и решим соответствующее уравнение:

$4 + 4p = 0$

$4p = -4$

$p = -1$

Ответ: при $p = -1$.

в) имеет два корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4 + 4p > 0$

$4p > -4$

$p > -1$

Ответ: при $p > -1$.

25.20 Длина забора, огораживающего участок прямоугольной формы, равна $20 \text{ м}$. Найдите длину и ширину участка, если известно, что его площадь составляет $24 \text{ м}^2$.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений, основанную на формулах периметра и площади прямоугольника.

Пусть $l$ — длина прямоугольного участка в метрах, а $w$ — его ширина в метрах.

Длина забора — это периметр прямоугольника ($P$). Формула для периметра: $P = 2(l + w)$.
Согласно условию, $P = 20$ м. Подставим это значение в формулу:
$2(l + w) = 20$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы его упростить:
$l + w = 10$

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = l \cdot w$.
Согласно условию, $S = 24$ м². Подставим это значение:
$l \cdot w = 24$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$l + w = 10$
$l \cdot w = 24$

Эту систему можно решить методом подстановки. Выразим переменную $l$ из первого уравнения:
$l = 10 - w$

Теперь подставим полученное выражение для $l$ во второе уравнение системы:
$(10 - w) \cdot w = 24$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения ($ax^2 + bx + c = 0$):
$10w - w^2 = 24$
$0 = w^2 - 10w + 24$
$w^2 - 10w + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать через дискриминант или по теореме Виета.
По теореме Виета: ищем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $w$ с противоположным знаком (т.е. 10), а произведение равно свободному члену (т.е. 24). Этими числами являются 4 и 6, поскольку $4 + 6 = 10$ и $4 \cdot 6 = 24$.
Через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$
$w_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2}{2}$
$w_1 = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$w_2 = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для сторон участка: 4 м и 6 м. Если ширина равна 4 м, то длина $l = 10 - 4 = 6$ м. Если ширина равна 6 м, то длина $l = 10 - 6 = 4$ м. В обоих случаях мы получаем одни и те же размеры.

Ответ: длина участка равна 6 м, а ширина — 4 м.

25.21 Площадь прямоугольного треугольника равна $6\text{ см}^2$. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см больше другого.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $a$ см. Согласно условию задачи, другой катет на 4 см больше, следовательно, его длина равна $(a + 4)$ см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставим известные значения в формулу. Площадь $S = 6$ см², один катет равен $a$, а второй — $(a + 4)$:

$6 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a + 4)$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2:

$12 = a \cdot (a + 4)$

Раскроем скобки:

$12 = a^2 + 4a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$a^2 + 4a - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку длина катета не может быть отрицательной величиной, корень $a_2 = -6$ не является решением задачи. Следовательно, длина одного катета равна 2 см.

Теперь найдем длину второго катета, который на 4 см больше первого:

$a + 4 = 2 + 4 = 6$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 2 см и 6 см. Проверим: площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$ см², что соответствует условию.

Ответ: катеты равны 2 см и 6 см.

25.22 Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 м больше другого и на 1 м меньше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника.

Пусть один из катетов, о котором говорится в условии задачи, равен $x$ м.
Согласно условию, этот катет на 1 м больше другого. Следовательно, длина другого катета составляет $(x - 1)$ м.
Также этот катет на 1 м меньше гипотенузы. Следовательно, длина гипотенузы составляет $(x + 1)$ м.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами $x-1$, $x$ и $x+1$. Поскольку длина любой стороны треугольника должна быть положительным числом, должно выполняться условие $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Составим уравнение на основе этого соотношения:
$(x - 1)^2 + x^2 = (x + 1)^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$(x^2 - 2x + 1) + x^2 = x^2 + 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2x^2 - x^2 - 2x - 2x + 1 - 1 = 0$
$x^2 - 4x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 4) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 1$, так как при этом значении один из катетов будет иметь отрицательную длину $(0 - 1 = -1)$, что невозможно.
Следовательно, единственным верным решением является $x = 4$.

Теперь найдем длины всех сторон треугольника, подставив значение $x = 4$:
Первый катет: $x = 4$ м.
Второй катет: $x - 1 = 4 - 1 = 3$ м.
Гипотенуза: $x + 1 = 4 + 1 = 5$ м.

Ответ: стороны треугольника равны 3 м, 4 м и 5 м.