Страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Какое уравнение называют квадратным?

1. Какое уравнение называют квадратным?

Квадратным уравнением, или уравнением второй степени, называют уравнение, которое можно представить в общем виде как:
$ax^2 + bx + c = 0$

В этом уравнении $x$ — это переменная, а $a$, $b$ и $c$ — это числовые коэффициенты.
Коэффициент $a$ называют первым или старшим коэффициентом.
Коэффициент $b$ называют вторым коэффициентом.
Коэффициент $c$ называют свободным членом.

Ключевым и обязательным условием для квадратного уравнения является то, что старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если это условие не выполняется и $a = 0$, то член $ax^2$ исчезает, и уравнение становится линейным ($bx + c = 0$), а не квадратным.

Например, уравнение $2x^2 - 5x + 3 = 0$ является квадратным, так как оно имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$ и коэффициент $a=2$ не равен нулю.

Ответ: Квадратным уравнением называют уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$, $c$ — числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$.

2. Что такое приведённое квадратное уравнение?

Что такое приведённое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Приведённым квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, у которого старший коэффициент $a$ равен 1. Стандартный вид приведённого квадратного уравнения: $x^2 + px + q = 0$. Коэффициенты в этой форме часто обозначают буквами $p$ и $q$, чтобы отличить их от коэффициентов $b$ и $c$ в общем виде.

Любое квадратное уравнение, в котором $a \neq 1$, можно сделать приведённым. Для этого необходимо разделить все его члены на старший коэффициент $a$. Так как $a \neq 0$, эта операция всегда возможна и приводит к равносильному уравнению: $\frac{ax^2 + bx + c}{a} = \frac{0}{a} \implies x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. В полученном приведённом уравнении $p = \frac{b}{a}$ и $q = \frac{c}{a}$.

Пример. Дано уравнение $4x^2 - 20x + 16 = 0$. Оно не является приведённым, так как $a=4$. Чтобы привести его, разделим обе части уравнения на 4: $x^2 - 5x + 4 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение, где $p=-5$ и $q=4$.

Приведённая форма особенно удобна для применения теоремы Виета, которая устанавливает прямую связь между корнями уравнения ($x_1$ и $x_2$) и его коэффициентами $p$ и $q$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Ответ: Приведённое квадратное уравнение — это квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, то есть уравнение, в котором коэффициент при $x^2$ равен единице.

3. Что такое неприведённое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать в общем виде как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ является переменной, $a$, $b$, и $c$ — числовыми коэффициентами, причём главный (или старший) коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

В зависимости от значения старшего коэффициента $a$, квадратные уравнения делятся на два вида: приведённые и неприведённые.

Неприведённое квадратное уравнение — это такое квадратное уравнение, в котором старший коэффициент $a$ (число, стоящее перед $x^2$) не равен единице. То есть, для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ выполняется условие $a \neq 1$ (и, по определению, $a \neq 0$).

Примеры неприведённых квадратных уравнений:

• $2x^2 + 5x - 3 = 0$ (здесь $a=2$)
• $-x^2 + 8x + 1 = 0$ (здесь $a=-1$)
• $\frac{1}{3}x^2 - 7 = 0$ (здесь $a=\frac{1}{3}$)

Для сравнения, уравнение, в котором старший коэффициент $a$ равен 1, называется приведённым. Его общий вид: $x^2 + px + q = 0$. Например, $x^2 - 6x + 8 = 0$ — это приведённое квадратное уравнение.

Любое неприведённое квадратное уравнение можно сделать приведённым, если разделить все его члены на старший коэффициент $a$. Это преобразование не изменяет корней уравнения. Например, уравнение $4x^2 - 20x + 16 = 0$ можно разделить на 4 и получить равносильное ему приведённое уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Ответ: Неприведённое квадратное уравнение — это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, у которого коэффициент $a$ при $x^2$ не равен ни нулю, ни единице.

4. Преобразуйте уравнение $3x^2 - 5x + 4 = 0$ к виду приведённого квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором коэффициент при старшей степени неизвестного (при $x^2$) равен единице. Общий вид приведённого квадратного уравнения: $x^2 + px + q = 0$.

Исходное уравнение: $3x^2 - 5x + 4 = 0$.

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ равен 3. Чтобы преобразовать данное уравнение к приведённому виду, необходимо разделить обе части уравнения на этот коэффициент.

Разделим каждый член уравнения на 3:

$\frac{3x^2}{3} - \frac{5x}{3} + \frac{4}{3} = \frac{0}{3}$

После выполнения деления и упрощения получим:

$x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{4}{3} = 0$

Это и есть искомое уравнение в приведённом виде.

Ответ: $x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{4}{3} = 0$

квадратного уравнения.

5. Преобразуйте уравнение $1.2x^2 + 0.4x - 5 = 0$ к уравнению с целыми коэффициентами.

Для того чтобы преобразовать уравнение $1,2x^2 + 0,4x - 5 = 0$ в уравнение с целыми коэффициентами, необходимо избавиться от десятичных дробей. Этого можно достичь, умножив обе части уравнения на подходящее число.

Сначала представим коэффициенты с десятичными дробями в виде обыкновенных дробей:

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение:

$\frac{6}{5}x^2 + \frac{2}{5}x - 5 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателей, нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей. В данном случае знаменатель у обоих дробных коэффициентов равен 5, поэтому умножим все уравнение на 5:

$5 \cdot \left(\frac{6}{5}x^2 + \frac{2}{5}x - 5\right) = 5 \cdot 0$

Применим распределительный закон умножения:

$(5 \cdot \frac{6}{5})x^2 + (5 \cdot \frac{2}{5})x - (5 \cdot 5) = 0$

$6x^2 + 2x - 25 = 0$

В полученном уравнении все коэффициенты (6, 2, -25) являются целыми числами. Таким образом, мы выполнили требуемое преобразование.

Ответ: $6x^2 + 2x - 25 = 0$

6. Что такое полное квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ является переменной, $a$, $b$, $c$ — числовыми коэффициентами, причем старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

Полным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, то есть все его коэффициенты отличны от нуля: $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

Если хотя бы один из коэффициентов $b$ (коэффициент при $x$) или $c$ (свободный член) равен нулю, то уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Примеры:

• $2x^2 - 5x + 3 = 0$ — это полное квадратное уравнение, так как $a=2$, $b=-5$, $c=3$. Все коэффициенты не равны нулю.
• $-x^2 + 6x - 9 = 0$ — это также полное квадратное уравнение ($a=-1$, $b=6$, $c=-9$).
• $4x^2 - 16 = 0$ — это неполное квадратное уравнение, так как коэффициент $b=0$.
• $3x^2 + 12x = 0$ — это неполное квадратное уравнение, так как свободный член $c=0$.

Ответ: Полное квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором все три коэффициента ($a, b, c$) не равны нулю.

7. Что такое неполное квадратное уравнение?

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не может быть равен нулю ($a \neq 0$).

Если все три коэффициента ($a, b$ и $c$) отличны от нуля, то уравнение называется полным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, помимо старшего, равен нулю. То есть, либо второй коэффициент $b=0$, либо свободный член $c=0$, либо они оба равны нулю.

Рассмотрим три вида неполных квадратных уравнений и способы их решения.

Вид 1. Уравнение вида $ax^2 + c = 0$ (когда $b=0$)

В этом уравнении отсутствует слагаемое с $x$ в первой степени.
Пример: $3x^2 - 75 = 0$.
Для решения переносим свободный член $c$ в правую часть уравнения и делим на коэффициент $a$:
$ax^2 = -c$
$x^2 = -\frac{c}{a}$
Дальнейшее решение зависит от знака полученного выражения $-\frac{c}{a}$:
- Если $-\frac{c}{a} > 0$ (то есть коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки), уравнение имеет два корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
- Если $-\frac{c}{a} < 0$ (то есть коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки), уравнение не имеет действительных корней.

Вид 2. Уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ (когда $c=0$)

В этом уравнении отсутствует свободный член.
Пример: $2x^2 + 8x = 0$.
Для решения выносим общий множитель $x$ за скобки:
$x(ax + b) = 0$
Произведение равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение всегда имеет два корня:
$x_1 = 0$
или
$ax + b = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{b}{a}$
Один из корней такого уравнения всегда равен нулю.

Вид 3. Уравнение вида $ax^2 = 0$ (когда $b=0$ и $c=0$)

Это простейший вид неполного квадратного уравнения.
Пример: $-5x^2 = 0$.
Так как по определению $a \neq 0$, то равенство возможно только при условии, что $x^2=0$.
Следовательно, такое уравнение всегда имеет один корень (или говорят "два одинаковых корня"): $x=0$.

Ответ: Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором старший коэффициент $a \neq 0$, а хотя бы один из коэффициентов $b$ (второй коэффициент) или $c$ (свободный член) равен нулю.

8. Что называют корнем квадратного уравнения?

Корнем уравнения с одной переменной называют значение этой переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Это определение в полной мере относится и к квадратным уравнениям.

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a, b, c$ — это числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Следовательно, корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ называется такое число $x_0$, которое при подстановке на место переменной $x$ обращает уравнение в верное равенство, то есть $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$.

Пример:

Рассмотрим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

• Проверим, является ли число $2$ корнем этого уравнения. Для этого подставим $x=2$ в левую часть уравнения:
  $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.
  Мы получили $0=0$ — это верное числовое равенство. Значит, $x=2$ является корнем данного уравнения.
• Проверим число $1$:
  $1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2$.
  Мы получили $2=0$ — это неверное равенство. Следовательно, $x=1$ не является корнем этого уравнения.

Найти корни уравнения — значит решить его. Квадратное уравнение может иметь два различных корня, один корень (в этом случае говорят о двух совпадающих корнях) или не иметь действительных корней. Количество корней зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Ответ: Корнем квадратного уравнения называют значение переменной, которое при подстановке в уравнение превращает его в верное числовое равенство.

9. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$, и $c$ — числовые коэффициенты, причем по определению $a \neq 0$.

Количество действительных (вещественных) корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта. Дискриминант обозначается буквой $D$ и вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В зависимости от значения дискриминанта возможны три ситуации:

Случай 1: Дискриминант положителен ($D > 0$)

Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Формулы для их нахождения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Здесь $a=1, b=-5, c=6$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, у уравнения два корня:
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Случай 2: Дискриминант равен нулю ($D = 0$)

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет один действительный корень (иногда говорят, что уравнение имеет два одинаковых корня, или корень кратности 2). Формула для его нахождения:

$x = -\frac{b}{2a}$

Пример: $x^2 - 6x + 9 = 0$.
Здесь $a=1, b=-6, c=9$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$.
Так как $D=0$, у уравнения один корень:
$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Случай 3: Дискриминант отрицателен ($D < 0$)

Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит потому, что извлечение квадратного корня из отрицательного числа не является определенной операцией в множестве действительных чисел.

Пример: $x^2 + x + 1 = 0$.
Здесь $a=1, b=1, c=1$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, отвечая на вопрос, квадратное уравнение может иметь ноль, один или два действительных корня.

Ответ: Квадратное уравнение может иметь два различных действительных корня, один действительный корень или не иметь действительных корней (ноль корней).

24.3 Составьте квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$, у которого:

а) $a = 2, b = -1, c = 4;$

б) $a = -1, b = 7, c = 0;$

в) $a = 9, b = -3, c = -1;$

г) $a = 1, b = 0, c = 5.$

а) Чтобы составить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$, необходимо подставить заданные значения коэффициентов $a=2$, $b=-1$, $c=4$ в эту общую формулу.

Подставляем значения:

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 2 \cdot x^2 + (-1) \cdot x + 4$

Упрощаем выражение, учитывая знаки:

$2x^2 - x + 4$

Ответ: $2x^2 - x + 4$.

б) Подставим заданные значения коэффициентов $a=-1$, $b=7$, $c=0$ в общую формулу $ax^2 + bx + c$.

Подставляем значения:

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = (-1) \cdot x^2 + 7 \cdot x + 0$

Упрощаем выражение. Коэффициент $-1$ перед $x^2$ записывается как просто знак минус, а слагаемое, равное нулю, не пишется:

$-x^2 + 7x$

Ответ: $-x^2 + 7x$.

в) Подставим заданные значения коэффициентов $a=9$, $b=-3$, $c=-1$ в общую формулу $ax^2 + bx + c$.

Подставляем значения:

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 9 \cdot x^2 + (-3) \cdot x + (-1)$

Упрощаем выражение, раскрывая скобки:

$9x^2 - 3x - 1$

Ответ: $9x^2 - 3x - 1$.

г) Подставим заданные значения коэффициентов $a=1$, $b=0$, $c=5$ в общую формулу $ax^2 + bx + c$.

Подставляем значения:

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 5$

Упрощаем выражение. Коэффициент $1$ перед $x^2$ обычно не пишется. Слагаемое $0 \cdot x$ равно нулю и также не пишется:

$x^2 + 5$

Ответ: $x^2 + 5$.

24.4 Не выполняя построения, ответьте на вопрос, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы:

а) $y = 3x^2 - 7x + 1;$

б) $y = -5x^2 + 2x + 0,5;$

в) $y = -7x^2 + x - 2;$

г) $y = 6x^2 + 9x + 1.$

Направление ветвей параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, определяется знаком старшего коэффициента $a$ (коэффициента при $x^2$). Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

а) В уравнении параболы $y = 3x^2 - 7x + 1$ старший коэффициент $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вверх.

б) В уравнении параболы $y = -5x^2 + 2x + 0,5$ старший коэффициент $a = -5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вниз.

в) В уравнении параболы $y = -7x^2 + x - 2$ старший коэффициент $a = -7$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вниз.

г) В уравнении параболы $y = 6x^2 + 9x + 1$ старший коэффициент $a = 6$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вверх.

24.5 Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы:

а) $y = 2x^2 - x + 1$;

б) $y = -5x^2 + 2x - 2$;

в) $y = 7x^2 + 12x + 4$;

г) $y = -x^2 + 2x + 1$.

Осью симметрии параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, является вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы. Уравнение этой прямой имеет вид $x = x_0$, где $x_0$ — абсцисса вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

а) Для параболы $y = 2x^2 - x + 1$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -1$, $c = 1$.
Найдем абсциссу вершины, которая и определит уравнение оси симметрии:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.
Уравнение оси симметрии: $x = \frac{1}{4}$.
Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

б) Для параболы $y = -5x^2 + 2x - 2$ коэффициенты равны: $a = -5$, $b = 2$, $c = -2$.
Найдем абсциссу вершины:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-5)} = -\frac{2}{-10} = \frac{1}{5}$.
Уравнение оси симметрии: $x = \frac{1}{5}$.
Ответ: $x = \frac{1}{5}$.

в) Для параболы $y = 7x^2 + 12x + 4$ коэффициенты равны: $a = 7$, $b = 12$, $c = 4$.
Найдем абсциссу вершины:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot 7} = -\frac{12}{14} = -\frac{6}{7}$.
Уравнение оси симметрии: $x = -\frac{6}{7}$.
Ответ: $x = -\frac{6}{7}$.

г) Для параболы $y = -x^2 + 2x + 1$ коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 2$, $c = 1$.
Найдем абсциссу вершины:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.
Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

24.6 Найдите координаты вершины параболы:

а) $y = 4x^2 + 8x - 1;$

б) $y = -3x^2 - 6x + 2;$

в) $y = -x^2 + x - 1;$

г) $y = 5x^2 - 10x + 4.$

Для нахождения координат вершины параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, используются следующие формулы. Координата $x_0$ (абсцисса) вершины вычисляется как $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Затем, для нахождения координаты $y_0$ (ординаты) вершины, полученное значение $x_0$ подставляется обратно в исходное уравнение параболы: $y_0 = y(x_0)$.

а) $y = 4x^2 + 8x - 1$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = 8$, $c = -1$.

Сначала найдем абсциссу вершины параболы $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 4} = -\frac{8}{8} = -1$

Теперь подставим значение $x_0 = -1$ в уравнение, чтобы найти ординату $y_0$:

$y_0 = 4(-1)^2 + 8(-1) - 1 = 4(1) - 8 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1; -5)$.

Ответ: $(-1; -5)$.

б) $y = -3x^2 - 6x + 2$

Здесь коэффициенты: $a = -3$, $b = -6$, $c = 2$.

Находим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$

Подставляем $x_0 = -1$ в уравнение для нахождения ординаты $y_0$:

$y_0 = -3(-1)^2 - 6(-1) + 2 = -3(1) + 6 + 2 = -3 + 6 + 2 = 5$

Координаты вершины параболы: $(-1; 5)$.

Ответ: $(-1; 5)$.

в) $y = -x^2 + x - 1$

Коэффициенты уравнения: $a = -1$, $b = 1$, $c = -1$.

Находим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

Подставляем $x_0 = \frac{1}{2}$ в уравнение для нахождения ординаты $y_0$:

$y_0 = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = \frac{-1+2-4}{4} = -\frac{3}{4}$

Координаты вершины параболы: $(\frac{1}{2}; -\frac{3}{4})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{3}{4})$.

г) $y = 5x^2 - 10x + 4$

Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = -10$, $c = 4$.

Находим абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Подставляем $x_0 = 1$ в уравнение для нахождения ординаты $y_0$:

$y_0 = 5(1)^2 - 10(1) + 4 = 5(1) - 10 + 4 = 5 - 10 + 4 = -1$

Координаты вершины параболы: $(1; -1)$.

Ответ: $(1; -1)$.

Постройте график функции:

24.7 а) $y = x^2 + 4x + 5;$

б) $y = -x^2 + 2x - 3;$

в) $y = -x^2 + 2x + 2;$

г) $y = x^2 - 4x + 1.$

а) $y = x^2 + 4x + 5$

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$

$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью OY (при $x = 0$):

$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 5)$.

С осью OX (при $y = 0$):

$x^2 + 4x + 5 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.

4. Найдем несколько дополнительных точек. Используем симметрию относительно оси $x = -2$.

Точка $(0, 5)$ симметрична точке с абсциссой $x = -2 - 2 = -4$. Ордината та же: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$. Получаем точку $(-4, 5)$.

Возьмем $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$. Получаем точку $(-1, 2)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = -2 - 1 = -3$ и ту же ординату. Проверим: $y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. Получаем точку $(-3, 2)$.

5. Для построения графика отмечаем вершину $(-2, 1)$ и точки $(0, 5)$, $(-4, 5)$, $(-1, 2)$, $(-3, 2)$. Соединяем их плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, 5)$.

б) $y = -x^2 + 2x - 3$

1. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$

$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$

Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью OY (при $x = 0$):

$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -3)$.

С осью OX (при $y = 0$):

$-x^2 + 2x - 3 = 0 \implies x^2 - 2x + 3 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.

4. Найдем дополнительные точки, используя ось симметрии $x = 1$.

Точке $(0, -3)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1 + 1 = 2$ и ординатой $y = -3$. Получаем точку $(2, -3)$.

Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6$. Точка $(-1, -6)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1 + (1 - (-1)) = 3$. Проверим: $y(3) = -(3)^2 + 2(3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6$. Точка $(3, -6)$.

5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, -2)$ и точки $(0, -3)$, $(2, -3)$, $(-1, -6)$, $(3, -6)$ и соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, -2)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола не пересекает ось OX и пересекает ось OY в точке $(0, -3)$.

в) $y = -x^2 + 2x + 2$

1. График функции — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$

$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$

Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью OY (при $x = 0$):

$y(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.

С осью OX (при $y = 0$):

$-x^2 + 2x + 2 = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Точки пересечения с осью OX: $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(-0.73, 0)$ и $(2.73, 0)$).

4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x=1$.

Точке $(0, 2)$ симметрична точка с абсциссой $x = 1+1=2$ и ординатой $y=2$. Точка $(2, 2)$.

Возьмем $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1+(1-(-1))=3$. $y(3) = -(3)^2 + 2(3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$. Точка $(3, -1)$.

5. Для построения графика отмечаем вершину $(1, 3)$, точки пересечения с осями $(0, 2)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(2, 2)$, $(-1, -1)$, $(3, -1)$. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 3)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 2)$ и ось OX в точках $(1 - \sqrt{3}, 0)$ и $(1 + \sqrt{3}, 0)$.

г) $y = x^2 - 4x + 1$

1. График функции — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$

Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью OY (при $x = 0$):

$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.

С осью OX (при $y = 0$):

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Точки пересечения с осью OX: $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$. (Приблизительно $(0.27, 0)$ и $(3.73, 0)$).

4. Найдем дополнительные точки. Ось симметрии $x = 2$.

Точке $(0, 1)$ симметрична точка с абсциссой $x = 2+2=4$ и ординатой $y=1$. Точка $(4, 1)$.

Возьмем $x = 1$: $y(1) = 1^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$. Точка $(1, -2)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 2+(2-1)=3$. $y(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$. Точка $(3, -2)$.

5. Для построения графика отмечаем вершину $(2, -3)$, точки пересечения с осями $(0, 1)$, $(2-\sqrt{3}, 0)$, $(2+\sqrt{3}, 0)$ и дополнительные точки $(4, 1)$, $(1, -2)$, $(3, -2)$. Соединяем их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -3)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 1)$ и ось OX в точках $(2 - \sqrt{3}, 0)$ и $(2 + \sqrt{3}, 0)$.

24.8 а) $y = x^2 + 6x;$

б) $y = -x^2 + 2x;$

в) $y = x^2 - 6x;$

г) $y = -x^2 - 4x.$

а)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 6x$. Это парабола, график которой задается уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты равны $a=1$, $b=6$, $c=0$.

1. Направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

$y_0 = y(x_0) = (-3)^2 + 6(-3) = 9 - 18 = -9$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-3, -9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^2 + 6 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения с осью OY — $(0, 0)$.

Для нахождения точек пересечения с осью OX, подставим $y=0$ и решим уравнение:

$x^2 + 6x = 0$

$x(x+6) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$. Точки пересечения с осью OX — $(0, 0)$ и $(-6, 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(-3, -9)$. График пересекает ось OX в точках $(0, 0)$ и $(-6, 0)$ и ось OY в точке $(0, 0)$.

б)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x$. Коэффициенты: $a=-1$, $b=2$, $c=0$.

1. Направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

$y_0 = y(x_0) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка — $(0, 0)$.

Пересечение с осью OX ($y=0$):

$-x^2 + 2x = 0$

$x(-x+2) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. График пересекает ось OX в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$ и ось OY в точке $(0, 0)$.

в)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 6x$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=0$.

1. Направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

$y_0 = y(x_0) = (3)^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$.

Вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$. Точка — $(0, 0)$.

Пересечение с осью OX ($y=0$):

$x^2 - 6x = 0$

$x(x-6) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Точки — $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(3, -9)$. График пересекает ось OX в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$ и ось OY в точке $(0, 0)$.

г)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 - 4x$. Коэффициенты: $a=-1$, $b=-4$, $c=0$.

1. Направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2$.

$y_0 = y(x_0) = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY ($x=0$): $y = -0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка — $(0, 0)$.

Пересечение с осью OX ($y=0$):

$-x^2 - 4x = 0$

$-x(x+4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$. Точки — $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$. График пересекает ось OX в точках $(0, 0)$ и $(-4, 0)$ и ось OY в точке $(0, 0)$.

24.9 а) $y = 2x^2 + 4x$;

б) $y = -3x^2 + 12x$;

в) $y = 3x^2 - 12x$;

г) $y = -4x^2 - 8x$.

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функциями, мы выполним стандартное для таких задач действие: найдем координаты вершины каждой параболы.

а) $y = 2x^2 + 4x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = 2$, $b = 4$ и $c = 0$. Графиком этой функции является парабола.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Сначала найдем абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$.

Затем найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив значение $x_0$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = 2(-1)^2 + 4(-1) = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$.

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-1; -2)$. Так как старший коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Координаты вершины параболы: $(-1; -2)$.

б) $y = -3x^2 + 12x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -3$, $b = 12$ и $c = 0$. Графиком является парабола.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ по тем же формулам.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$.

Ордината вершины:

$y_0 = -3(2)^2 + 12(2) = -3 \cdot 4 + 24 = -12 + 24 = 12$.

Координаты вершины параболы: $(2; 12)$. Так как старший коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Координаты вершины параболы: $(2; 12)$.

в) $y = 3x^2 - 12x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 3$, $b = -12$ и $c = 0$. Графиком является парабола.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Ордината вершины:

$y_0 = 3(2)^2 - 12(2) = 3 \cdot 4 - 24 = 12 - 24 = -12$.

Координаты вершины параболы: $(2; -12)$. Так как старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Координаты вершины параболы: $(2; -12)$.

г) $y = -4x^2 - 8x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -4$, $b = -8$ и $c = 0$. Графиком является парабола.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot (-4)} = -\frac{-8}{-8} = -1$.

Ордината вершины:

$y_0 = -4(-1)^2 - 8(-1) = -4 \cdot 1 + 8 = -4 + 8 = 4$.

Координаты вершины параболы: $(-1; 4)$. Так как старший коэффициент $a = -4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Координаты вершины параболы: $(-1; 4)$.

24.10 a) $y = 3x^2 + 6x + 1;$

б) $y = -2x^2 + 8x - 5;$

в) $y = -3x^2 + 6x + 2;$

г) $y = 2x^2 - 4x + 3.$

а) $y = 3x^2 + 6x + 1$

Для нахождения координат вершины параболы $(x_0, y_0)$, которая является графиком данной квадратичной функции, используем формулу для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В данном случае коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 6$.

Вычисляем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$.

Теперь вычисляем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0 = -1$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = 3(-1)^2 + 6(-1) + 1 = 3 \cdot 1 - 6 + 1 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(-1; -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$.

б) $y = -2x^2 + 8x - 5$

Для данной параболы коэффициенты равны: $a = -2$, $b = 8$. Находим абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 2$ в уравнение:

$y_0 = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -2(4) + 16 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$.

в) $y = -3x^2 + 6x + 2$

Коэффициенты параболы: $a = -3$, $b = 6$. Вычисляем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$.

Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение:

$y_0 = -3(1)^2 + 6(1) + 2 = -3 + 6 + 2 = 5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(1; 5)$.

Ответ: $(1; 5)$.

г) $y = 2x^2 - 4x + 3$

Коэффициенты параболы: $a = 2$, $b = -4$. Вычисляем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение:

$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

24.11 a) $y = (x - 2)(x + 4);$

б) $y = -5x(x + 2);$

в) $y = (2 - x)(x - 6);$

г) $y = 3x(2 + x).$

а) Чтобы найти нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), нужно приравнять значение функции к нулю:
$y = (x - 2)(x + 4)$
$(x - 2)(x + 4) = 0$
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 2 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_1 = 2$
$x_2 = -4$
Ответ: $-4; 2$.

б) Приравняем значение функции к нулю:
$y = -5x(x + 2)$
$-5x(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$-5x = 0$ или $x + 2 = 0$
$x_1 = 0$
$x_2 = -2$
Ответ: $-2; 0$.

в) Приравняем значение функции к нулю:
$y = (2 - x)(x - 6)$
$(2 - x)(x - 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$2 - x = 0$ или $x - 6 = 0$
$x_1 = 2$
$x_2 = 6$
Ответ: $2; 6$.

г) Приравняем значение функции к нулю:
$y = 3x(2 + x)$
$3x(2 + x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$3x = 0$ или $2 + x = 0$
$x_1 = 0$
$x_2 = -2$
Ответ: $-2; 0$.

24.12 а) $y = (x + 2)^2 - 2x + 2;$

б) $y = -(x - 1)^2 + 4(x - 1) + 5;$

в) $y = 6x + (x - 2)^2;$

г) $y = (x + 1)^2 - 6(x + 1) + 8.$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Исходное уравнение: $y = (x + 2)^2 - 2x + 2$.
Раскроем квадрат суммы $(x + 2)^2$, используя формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$y = (x^2 + 4x + 4) - 2x + 2$.
Сгруппируем и сложим подобные члены:
$y = x^2 + (4x - 2x) + (4 + 2)$.
$y = x^2 + 2x + 6$.
Ответ: $y = x^2 + 2x + 6$.

б) Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Исходное уравнение: $y = -(x - 1)^2 + 4(x - 1) + 5$.
Раскроем квадрат разности $(x - 1)^2$ по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$.
Раскроем скобки в выражении $4(x - 1)$:
$4(x - 1) = 4x - 4$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Не забудем про знак минус перед первой скобкой:
$y = -(x^2 - 2x + 1) + (4x - 4) + 5$.
$y = -x^2 + 2x - 1 + 4x - 4 + 5$.
Сгруппируем и сложим подобные члены:
$y = -x^2 + (2x + 4x) + (-1 - 4 + 5)$.
$y = -x^2 + 6x + 0$.
$y = -x^2 + 6x$.
Ответ: $y = -x^2 + 6x$.

в) Чтобы упростить данное выражение, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Исходное уравнение: $y = 6x + (x - 2)^2$.
Раскроем квадрат разности $(x - 2)^2$ по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$y = 6x + (x^2 - 4x + 4)$.
Сгруппируем и сложим подобные члены:
$y = x^2 + (6x - 4x) + 4$.
$y = x^2 + 2x + 4$.
Ответ: $y = x^2 + 2x + 4$.

г) Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Исходное уравнение: $y = (x + 1)^2 - 6(x + 1) + 8$.
Раскроем квадрат суммы $(x + 1)^2$ по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$.
Раскроем скобки в выражении $-6(x + 1)$:
$-6(x + 1) = -6x - 6$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$y = (x^2 + 2x + 1) - 6x - 6 + 8$.
Сгруппируем и сложим подобные члены:
$y = x^2 + (2x - 6x) + (1 - 6 + 8)$.
$y = x^2 - 4x + 3$.
Ответ: $y = x^2 - 4x + 3$.