Страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

23.12 Напишите уравнение параболы $y = a(x + l)^2 + m$, изображённой:

а) на рис. 57;

б) на рис. 58;

в) на рис. 59;

г) на рис. 60.

Рис. 57

Рис. 58

Рис. 59

Рис. 60

Общий вид уравнения параболы, предложенный в задании, — это $ y = a(x + l)^2 + m $. Вершина такой параболы находится в точке с координатами $ (-l, m) $. Коэффициент $ a $ определяет направление ветвей параболы (вверх при $ a > 0 $ и вниз при $ a < 0 $) и степень её "сжатия" или "растяжения" вдоль оси $ y $.

а) На рис. 57 изображена парабола с вершиной в точке $ (-2, 2) $.
Сравнивая с координатами вершины $ (-l, m) $, получаем: $ -l = -2 $, откуда $ l = 2 $, и $ m = 2 $.
Уравнение параболы принимает вид: $ y = a(x + 2)^2 + 2 $.
Ветви параболы направлены вниз, значит, $ a < 0 $.
Для нахождения коэффициента $ a $ выберем на графике точку, принадлежащую параболе, например, $ (-1, -2) $.
Подставим координаты этой точки в уравнение:
$ -2 = a(-1 + 2)^2 + 2 $
$ -2 = a \cdot 1^2 + 2 $
$ -2 = a + 2 $
$ a = -4 $
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $ y = -4(x + 2)^2 + 2 $.
Ответ: $ y = -4(x + 2)^2 + 2 $

б) На рис. 58 изображена парабола с вершиной в точке $ (3, -5) $.
Сравнивая с координатами вершины $ (-l, m) $, получаем: $ -l = 3 $, откуда $ l = -3 $, и $ m = -5 $.
Уравнение параболы принимает вид: $ y = a(x - 3)^2 - 5 $.
Ветви параболы направлены вверх, значит, $ a > 0 $.
Для нахождения коэффициента $ a $ выберем на графике точку, например, $ (5, -1) $.
Подставим координаты этой точки в уравнение:
$ -1 = a(5 - 3)^2 - 5 $
$ -1 = a \cdot 2^2 - 5 $
$ -1 = 4a - 5 $
$ 4a = 4 $
$ a = 1 $
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $ y = (x - 3)^2 - 5 $.
Ответ: $ y = (x - 3)^2 - 5 $

в) На рис. 59 изображена парабола с вершиной в точке $ (4, 9) $.
Сравнивая с координатами вершины $ (-l, m) $, получаем: $ -l = 4 $, откуда $ l = -4 $, и $ m = 9 $.
Уравнение параболы принимает вид: $ y = a(x - 4)^2 + 9 $.
Ветви параболы направлены вниз, значит, $ a < 0 $.
Для нахождения коэффициента $ a $ выберем на графике точку, например, $ (2, -3) $.
Подставим координаты этой точки в уравнение:
$ -3 = a(2 - 4)^2 + 9 $
$ -3 = a \cdot (-2)^2 + 9 $
$ -3 = 4a + 9 $
$ 4a = -12 $
$ a = -3 $
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $ y = -3(x - 4)^2 + 9 $.
Ответ: $ y = -3(x - 4)^2 + 9 $

г) На рис. 60 изображена парабола с вершиной в точке $ (-3, -3) $.
Сравнивая с координатами вершины $ (-l, m) $, получаем: $ -l = -3 $, откуда $ l = 3 $, и $ m = -3 $.
Уравнение параболы принимает вид: $ y = a(x + 3)^2 - 3 $.
Ветви параболы направлены вверх, значит, $ a > 0 $.
Для нахождения коэффициента $ a $ выберем на графике точку, например, $ (-1, -1) $.
Подставим координаты этой точки в уравнение:
$ -1 = a(-1 + 3)^2 - 3 $
$ -1 = a \cdot 2^2 - 3 $
$ -1 = 4a - 3 $
$ 4a = 2 $
$ a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $ y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 3 $.
Ответ: $ y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 3 $

23.13 Напишите уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x+l} + m$, изображённой:

a) на рис. 61;

б) на рис. 62;

в) на рис. 63;

г) на рис. 64.

а) Общий вид уравнения гиперболы: $y = \frac{k}{x+l} + m$. По графику на рис. 61 определяем, что асимптотами являются прямые $x=1$ (вертикальная) и $y=2$ (горизонтальная).

Уравнение вертикальной асимптоты $x=-l$. В данном случае $x=1$, значит $-l=1$, откуда $l=-1$.

Уравнение горизонтальной асимптоты $y=m$. В данном случае $y=2$, значит $m=2$.

Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x-1} + 2$.

Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(2, 3)$. Подставим её координаты в уравнение:

$3 = \frac{k}{2-1} + 2$

$3 = k + 2$

$k = 1$

Следовательно, искомое уравнение: $y = \frac{1}{x-1} + 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{x-1} + 2$

б) По графику на рис. 62 определяем асимптоты: вертикальная $x=4$ и горизонтальная $y=-3$.

Из уравнения вертикальной асимптоты $x=-l=4$ получаем $l=-4$.

Из уравнения горизонтальной асимптоты $y=m=-3$ получаем $m=-3$.

Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x-4} - 3$.

Для нахождения $k$ выберем точку на графике, например, $(3, -2)$. Подставим её координаты в уравнение:

$-2 = \frac{k}{3-4} - 3$

$-2 = \frac{k}{-1} - 3$

$1 = -k$

$k = -1$

Следовательно, искомое уравнение: $y = \frac{-1}{x-4} - 3$.

Ответ: $y = \frac{-1}{x-4} - 3$

в) По графику на рис. 63 определяем асимптоты: вертикальная $x=-3$ и горизонтальная $y=2$.

Из уравнения вертикальной асимптоты $x=-l=-3$ получаем $l=3$.

Из уравнения горизонтальной асимптоты $y=m=2$ получаем $m=2$.

Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x+3} + 2$.

Для нахождения $k$ выберем точку на графике, например, $(-2, 5)$. Подставим её координаты в уравнение:

$5 = \frac{k}{-2+3} + 2$

$5 = k + 2$

$k = 3$

Следовательно, искомое уравнение: $y = \frac{3}{x+3} + 2$.

Ответ: $y = \frac{3}{x+3} + 2$

г) По графику на рис. 64 определяем асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=-1$.

Из уравнения вертикальной асимптоты $x=-l=-2$ получаем $l=2$.

Из уравнения горизонтальной асимптоты $y=m=-1$ получаем $m=-1$.

Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x+2} - 1$.

Для нахождения $k$ выберем точку на графике, через которую проходит кривая, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим её координаты в уравнение:

$0 = \frac{k}{0+2} - 1$

$1 = \frac{k}{2}$

$k = 2$

Следовательно, искомое уравнение: $y = \frac{2}{x+2} - 1$.

Ответ: $y = \frac{2}{x+2} - 1$