Страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

23.15 Для функции $y = 2(x - 1)^2 + 3$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке [0; 1];

б) на луче $[1; +\infty)$;

в) на отрезке [1; 2];

г) на луче $(-\infty; 0]$.

Данная функция $y = 2(x - 1)^2 + 3$ является квадратичной, её график — парабола. Уравнение представлено в каноническом виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

В нашем случае $a = 2$, $h = 1$, $k = 3$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

Поскольку коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что в точке вершины ($x = 1$) функция достигает своего глобального минимума, равного $y_{min} = 3$.

Также из свойств параболы следует, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Используем эти свойства для нахождения наименьших и наибольших значений на заданных промежутках.

а) на отрезке [0; 1]

Данный отрезок полностью лежит на промежутке убывания функции $(-\infty; 1]$. Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка ($x=0$), а наименьшее — на правом конце ($x=1$), который совпадает с вершиной параболы.

Наибольшее значение:
$y_{наиб} = y(0) = 2(0 - 1)^2 + 3 = 2(-1)^2 + 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.

Наименьшее значение:
$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 + 3 = 2(0)^2 + 3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение 3, наибольшее значение 5.

б) на луче [1; +∞)

Этот луч начинается в вершине параболы ($x=1$) и идёт вправо, то есть полностью совпадает с промежутком возрастания функции.

Наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча, то есть в вершине:
$y_{наим} = y(1) = 3$.

Поскольку на этом луче функция неограниченно возрастает (при $x \to +\infty$, значение $y \to +\infty$), наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 3, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [1; 2]

Данный отрезок полностью лежит на промежутке возрастания функции $[1; +\infty)$. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка ($x=1$), а наибольшее — на правом ($x=2$).

Наименьшее значение:
$y_{наим} = y(1) = 2(1 - 1)^2 + 3 = 3$.

Наибольшее значение:
$y_{наиб} = y(2) = 2(2 - 1)^2 + 3 = 2(1)^2 + 3 = 2 + 3 = 5$.

Ответ: наименьшее значение 3, наибольшее значение 5.

г) на луче (-∞; 0]

Данный луч полностью лежит на промежутке убывания функции $(-\infty; 1]$.

Поскольку функция на этом луче убывает, наименьшее значение она будет принимать в крайней правой точке луча ($x=0$).
$y_{наим} = y(0) = 2(0 - 1)^2 + 3 = 2(-1)^2 + 3 = 5$.

Поскольку на этом луче функция неограниченно возрастает (при $x \to -\infty$, значение $y \to +\infty$), наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение 5, наибольшего значения не существует.

23.16 Для функции $y = \frac{3}{x+1} - 3$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке $[0; 2]$;

б) на луче $[0; +\infty)$;

в) на отрезке $[2; 5]$;

г) на луче $(-\infty; -2]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{3}{x+1} - 3$ на заданных промежутках, исследуем её на монотонность. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x = -1$, т.е. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{3}{x+1} - 3\right)' = (3(x+1)^{-1} - 3)' = 3 \cdot (-1)(x+1)^{-2} \cdot (x+1)' - 0 = -\frac{3}{(x+1)^2}$.

Поскольку $(x+1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' = -\frac{3}{(x+1)^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

На убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в левой границе отрезка (в точке $a$), а наименьшее — в правой (в точке $b$).

а) на отрезке [0; 2]

Отрезок $[0; 2]$ полностью лежит в интервале $(-1; +\infty)$, на котором функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает при $x=0$, а наименьшее — при $x=2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \frac{3}{0+1} - 3 = 3 - 3 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = \frac{3}{2+1} - 3 = \frac{3}{3} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $0$.

б) на луче [0; +∞)

Луч $[0; +\infty)$ также лежит в интервале $(-1; +\infty)$, где функция убывает. Наибольшее значение достигается в самой левой точке луча, то есть при $x=0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \frac{3}{0+1} - 3 = 0$.

Так как функция убывает на этом луче, при $x \to +\infty$ значение функции стремится к своей горизонтальной асимптоте $y=-3$. То есть $y \to -3$ сверху, но никогда этого значения не достигает. Таким образом, множество значений функции на этом луче — это полуинтервал $(-3; 0]$. Наименьшего значения у функции на этом луче нет.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке [2; 5]

Отрезок $[2; 5]$ также находится в интервале $(-1; +\infty)$, где функция убывает. Наибольшее значение будет при $x=2$, а наименьшее — при $x=5$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = \frac{3}{2+1} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(5) = \frac{3}{5+1} - 3 = \frac{3}{6} - 3 = 0.5 - 3 = -2.5$.

Ответ: наименьшее значение $-2.5$, наибольшее значение $-2$.

г) на луче (−∞; −2]

Луч $(-\infty; -2]$ лежит в интервале $(-\infty; -1)$, на котором функция также убывает. На убывающей функции меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Правая граница луча — точка $x=-2$. В этой точке функция примет свое наименьшее значение на данном луче, так как для любого $x \le -2$ будет выполняться $y(x) \ge y(-2)$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = \frac{3}{-2+1} - 3 = \frac{3}{-1} - 3 = -3 - 3 = -6$.

При $x \to -\infty$ значение функции стремится к горизонтальной асимптоте $y=-3$. Значения функции на этом луче составляют промежуток $[-6; -3)$. Таким образом, функция ограничена сверху числом $-3$, но никогда его не достигает. Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $-6$, наибольшего значения не существует.

23.17 Для функции $y = \sqrt{x + 2} - 3$ найдите наименьшее и наибольшее значения:

а) на отрезке $[-2; 2]$;

б) на интервале $(0; 1)$;

в) на полуинтервале $[23; 34)$;

г) на луче $[3; +\infty)$.

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sqrt{x+2} - 3$ на заданных промежутках, сначала исследуем ее на монотонность.

Область определения функции задается условием $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (\sqrt{x+2} - 3)' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Поскольку производная $y' > 0$ при всех $x$ из интервала $(-2; +\infty)$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[-2; +\infty)$.

Возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левой границе промежутка, а наибольшее — на правой (если эти границы принадлежат промежутку).

а) на отрезке [-2; 2]

Данный отрезок является замкнутым. Так как функция возрастает, наименьшее значение будет в точке $x = -2$, а наибольшее — в точке $x = 2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = \sqrt{-2+2} - 3 = \sqrt{0} - 3 = -3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = \sqrt{2+2} - 3 = \sqrt{4} - 3 = 2 - 3 = -1$.

Ответ: наименьшее значение равно -3, наибольшее значение равно -1.

б) на интервале (0; 1)

Данный интервал является открытым, то есть его концы не включаются в него. Так как функция строго возрастает на этом интервале, она стремится к своему наименьшему значению при $x \to 0$ и к наибольшему при $x \to 1$, но не достигает их.

Значение на левой границе (не достигается): $y(0) = \sqrt{0+2} - 3 = \sqrt{2} - 3$.

Значение на правой границе (не достигается): $y(1) = \sqrt{1+2} - 3 = \sqrt{3} - 3$.

Множество значений функции на данном интервале — $(\sqrt{2}-3; \sqrt{3}-3)$. В этом множестве нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

в) на полуинтервале [23; 34)

На данном полуинтервале левая граница $x=23$ включена, а правая $x=34$ — нет. Функция возрастает.

Наименьшее значение достигается на левой границе: $y_{наим} = y(23) = \sqrt{23+2} - 3 = \sqrt{25} - 3 = 5 - 3 = 2$.

На правой границе $x=34$ значение не достигается, так как точка исключена из промежутка. Значения функции стремятся к $y(34) = \sqrt{34+2} - 3 = \sqrt{36} - 3 = 6 - 3 = 3$. Поскольку это значение не достигается, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшего значения не существует.

г) на луче [3; +∞)

Данный промежуток — луч, включающий левую границу $x=3$. Функция возрастает на этом луче.

Наименьшее значение достигается на левой границе: $y_{наим} = y(3) = \sqrt{3+2} - 3 = \sqrt{5} - 3$.

Поскольку $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y = \sqrt{x+2} - 3$ также неограниченно возрастает. Таким образом, функция не ограничена сверху на данном луче.

Ответ: наименьшее значение равно $\sqrt{5} - 3$, наибольшего значения не существует.

23.18 Используя график функции $y = -(x - 3)^2 + 4$:

а) найдите значения аргумента, при которых $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$;

б) определите промежутки возрастания и убывания функции;

в) укажите наибольшее значение функции;

г) напишите уравнение оси симметрии параболы.

Для анализа функции $y = -(x - 3)^2 + 4$ определим ключевые характеристики ее графика. Это парабола, заданная уравнением в вершинной форме $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

Из уравнения следует, что:
1. Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(x_v, y_v) = (3, 4)$.

а) найдите значения аргумента, при которых $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$

Чтобы найти значения аргумента (x), при которых $y = 0$, решим уравнение:
$-(x - 3)^2 + 4 = 0$
$(x - 3)^2 = 4$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:
$x - 3 = 2$ или $x - 3 = -2$
$x_1 = 5$ или $x_2 = 1$
Это нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Чтобы найти, где $y > 0$, учтем, что ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция положительна между своими корнями.
$y > 0$ при $x \in (1, 5)$.

Чтобы найти, где $y < 0$, учтем, что функция отрицательна за пределами интервала между корнями.
$y < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=1$ и $x=5$; $y > 0$ при $x \in (1, 5)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

б) определите промежутки возрастания и убывания функции

Вершина параболы — точка, в которой меняется характер монотонности функции. Абсцисса вершины $x = 3$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после нее.
Промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$.
Промежуток убывания: $[3, \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, \infty)$.

в) укажите наибольшее значение функции

Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Наибольшее значение функции равно ординате (координате y) вершины.
Координаты вершины — $(3, 4)$.
Следовательно, $y_{наиб} = 4$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 4.

г) напишите уравнение оси симметрии параболы

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая проходит через ее вершину. Уравнение такой прямой имеет вид $x = x_v$, где $x_v$ — абсцисса вершины.
Так как абсцисса вершины равна 3, уравнение оси симметрии: $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

23.19 Используя график функции $y = \frac{6}{x+2} - 1$:

а) найдите значения аргумента, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$;

б) определите промежутки убывания функции;

в) укажите центр симметрии гиперболы;

г) напишите уравнения асимптот гиперболы.

а) найдите значения аргумента, при которых $y = 0, y > 0, y < 0$

Для того чтобы найти значения аргумента (x), при которых функция принимает определенные значения или имеет определенный знак, решим соответствующие уравнение и неравенства. Графически это соответствует нахождению точек пересечения графика с осью абсцисс, а также промежутков, где график функции лежит выше или ниже этой оси.

1. Найдем, при каком значении $x$ выполняется $y=0$ (пересечение с осью Ox):
$\frac{6}{x+2} - 1 = 0$
$\frac{6}{x+2} = 1$
При условии, что знаменатель $x+2 \neq 0$, домножим обе части на $x+2$:
$6 = x+2$
$x = 4$

2. Найдем, при каких значениях $x$ выполняется $y>0$ (график выше оси Ox):
$\frac{6}{x+2} - 1 > 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{6 - (x+2)}{x+2} > 0$
$\frac{4-x}{x+2} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $4-x=0 \implies x=4$. Нули знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$.
Отметим точки -2 и 4 на числовой прямой и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 4)$, $(4, \infty)$.
- В интервале $(-2, 4)$, например при $x=0$, получаем $\frac{4-0}{0+2} = 2 > 0$. Этот интервал является решением.
- В интервалах $(-\infty, -2)$ и $(4, \infty)$ выражение будет отрицательным.
Следовательно, $y>0$ при $x \in (-2, 4)$.

3. Найдем, при каких значениях $x$ выполняется $y<0$ (график ниже оси Ox):
$\frac{4-x}{x+2} < 0$
Из анализа, проведенного методом интервалов выше, следует, что неравенство выполняется на интервалах, где выражение отрицательно.
Следовательно, $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $y=0$ при $x=4$; $y>0$ при $x \in (-2, 4)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

б) определите промежутки убывания функции

Функция $y = \frac{6}{x+2} - 1$ является преобразованием базовой гиперболы $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=6$. Поскольку $k=6>0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях относительно ее асимптот. Такая функция убывает на всей своей области определения.

Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Таким образом, область определения состоит из двух промежутков: $(-\infty, -2)$ и $(-2, \infty)$.

Функция убывает на каждом из этих промежутков. Это можно также проверить с помощью производной: $y' = (\frac{6}{x+2} - 1)' = -\frac{6}{(x+2)^2}$. Так как $(x+2)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то производная $y' < 0$ всегда. Отрицательная производная означает, что функция является убывающей.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; \infty)$.

в) укажите центр симметрии гиперболы

График функции $y = \frac{6}{x+2} - 1$ получен из графика функции $y = \frac{6}{x}$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 1 единицу вниз по оси $Oy$.

Центр симметрии для базовой гиперболы $y = \frac{6}{x}$ находится в точке $(0, 0)$. Соответственно, после сдвига центр симметрии переместится в точку $(0-2, 0-1)$, то есть в точку $(-2, -1)$.

Центр симметрии гиперболы является точкой пересечения её асимптот.

Ответ: центр симметрии гиперболы находится в точке $(-2; -1)$.

г) напишите уравнения асимптот гиперболы

Асимптоты — это прямые, к которым неограниченно приближается график функции при удалении его ветвей в бесконечность.

Вертикальная асимптота для функции вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ определяется условием, при котором знаменатель обращается в ноль. В нашем случае это $x+2=0$, откуда получаем уравнение вертикальной асимптоты: $x=-2$.

Горизонтальная асимптота определяется значением, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{6}{x+2} - 1\right)$.
Так как при $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{6}{x+2} \to 0$, то предел равен $0 - 1 = -1$.
Таким образом, уравнение горизонтальной асимптоты: $y=-1$.

Ответ: уравнения асимптот: $x=-2$ и $y=-1$.

23.20 Используя график функции $y = \sqrt{x + 1} - 2$, найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) координаты точек пересечения графика с осями координат;

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Для решения задачи сначала представим, как выглядит график функции $y = \sqrt{x+1} - 2$. Этот график получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем двух преобразований:

• Сдвиг на 1 единицу влево по оси OX (получаем $y = \sqrt{x+1}$).
• Сдвиг на 2 единицы вниз по оси OY (получаем $y = \sqrt{x+1} - 2$).

Таким образом, график представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(-1; -2)$ и уходит вправо и вверх. Используя этот график (и аналитические расчеты для точности), ответим на вопросы.

а) область определения функции;

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Графически это проекция графика на ось абсцисс (OX). Так как график начинается в точке с абсциссой $x=-1$ и простирается вправо до бесконечности, область определения — это все значения $x \ge -1$.
Аналитически это условие вытекает из того, что выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным:
$x+1 \ge 0$
$x \ge -1$
Ответ: $D(y) = [-1; +\infty)$.

б) множество значений функции;

Множество значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Графически это проекция графика на ось ординат (OY). Самая нижняя точка графика имеет ординату $y=-2$, и от нее график уходит вверх до бесконечности. Следовательно, множество значений — это все $y \ge -2$.
Аналитически: известно, что $\sqrt{x+1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Тогда:
$y = \sqrt{x+1} - 2 \ge 0 - 2$
$y \ge -2$
Ответ: $E(y) = [-2; +\infty)$.

в) координаты точек пересечения графика с осями координат;

Точки пересечения графика с осями координат — это точки, где график пересекает ось OX или OY.
Пересечение с осью OY (осью ординат):
В этой точке абсцисса $x=0$. Подставляем это значение в уравнение функции:
$y = \sqrt{0+1} - 2 = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; -1)$.
Пересечение с осью OX (осью абсцисс):
В этой точке ордината $y=0$. Подставляем это значение в уравнение функции:
$0 = \sqrt{x+1} - 2$
$\sqrt{x+1} = 2$
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$x+1 = 4$
$x = 3$.
Таким образом, точка пересечения с осью OX имеет координаты $(3; 0)$.
Ответ: с осью OY: $(0; -1)$; с осью OX: $(3; 0)$.

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Знаки функции определяются тем, где ее график расположен — выше или ниже оси OX.
При каких $x$ функция положительна ($y>0$)?
График функции находится выше оси OX справа от точки пересечения с ней. Точка пересечения — $(3; 0)$, значит, $y > 0$ при $x > 3$.
Решим неравенство аналитически:
$\sqrt{x+1} - 2 > 0 \implies \sqrt{x+1} > 2 \implies x+1 > 4 \implies x > 3$.

При каких $x$ функция отрицательна ($y<0$)?
График функции находится ниже оси OX между начальной точкой графика ($x=-1$) и точкой пересечения с осью ($x=3$). Таким образом, $y < 0$ при $-1 \le x < 3$.
Решим неравенство аналитически, не забывая про область определения ($x \ge -1$):
$\sqrt{x+1} - 2 < 0 \implies \sqrt{x+1} < 2 \implies 0 \le x+1 < 4 \implies -1 \le x < 3$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in [-1; 3)$.