Страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

22.36 Пусть $K$ — наибольшее значение функции $y = -\frac{2}{x} - 1$ на лу-че $(-\infty; -1]$, а $L$ — наименьшее значение функции $y = (x - 4)^2$ на отрезке $[3; 5]$. Сравните $L$ и $K$. Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение K — наибольшего значения функции $y = \frac{2}{x} - 1$ на луче $(-\infty; -1]$

Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{x} - 1$ на промежутке $x \in (-\infty; -1]$. Чтобы определить характер монотонности функции, найдем ее производную: $y' = \left(\frac{2}{x} - 1\right)' = (2x^{-1} - 1)' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$). Это означает, что функция является строго убывающей на всем луче $(-\infty; -1]$.

Для убывающей функции на луче вида $(-\infty; b]$ ее значения уменьшаются по мере увеличения аргумента $x$. Найдем значение функции на правой границе луча и ее предел на левой границе (в бесконечности):

• Значение на правой границе: $y(-1) = \frac{2}{-1} - 1 = -2 - 1 = -3$.
• Предел функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2}{x} - 1\right) = 0 - 1 = -1$.

Таким образом, множество значений функции на луче $(-\infty; -1]$ представляет собой полуинтервал $[-3; -1)$.

В множестве $[-3; -1)$ наименьшее значение равно $-3$, а наибольшего значения (максимума) не существует, так как число $-1$ является точной верхней гранью (супремумом), но это значение никогда не достигается функцией. В контексте данной задачи, под "наибольшим значением" $K$, по-видимому, следует понимать именно эту точную верхнюю грань.

Ответ: $K = -1$.

2. Нахождение L — наименьшего значения функции $y = (x - 4)^2$ на отрезке $[3; 5]$

Рассмотрим функцию $y = (x - 4)^2$ на отрезке $[3; 5]$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение такой параболы достигается в ее вершине.

Координаты вершины параболы вида $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ равны $(x_0; y_0)$. Для функции $y = (x - 4)^2$ вершина находится в точке с координатами $(4; 0)$.

Поскольку абсцисса вершины $x = 4$ принадлежит заданному отрезку $[3; 5]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке совпадает со значением в вершине. Следовательно, наименьшее значение функции $L$ равно ординате вершины. $L = y(4) = (4 - 4)^2 = 0$.

Ответ: $L = 0$.

3. Сравнение L и K

Мы получили значения $K = -1$ и $L = 0$. Сравним эти два числа: $0 > -1$. Таким образом, $L > K$.

Ответ: $L > K$.

4. Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y = \frac{2}{x} - 1$ на луче $(-\infty; -1]$ (синий цвет) и $y = (x - 4)^2$ на отрезке $[3; 5]$ (красный цвет). На графике отмечена точка $L(4, 0)$, в которой достигается наименьшее значение параболы. Зеленой пунктирной линией показана горизонтальная асимптота $y = -1$, которая является точной верхней гранью $K$ для значений гиперболы на заданном луче.

Решите графически систему уравнений:

22.37 a)

$$ \begin{cases} y = 3x^2 - 2, \\ y = 1; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} y = \frac{2}{x} + 1, \\ y = 3; \end{cases} $$

в) $$ \begin{cases} y = -2x^2 + 3, \\ y = 3; \end{cases} $$

г) $$ \begin{cases} y = -\frac{4}{x} - 2, \\ y = -1. \end{cases} $$

22.38 а) $\begin{cases} y = \frac{2}{x} + 1, \\ y + 5x - 1 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\frac{3}{x} + 1, \\ y = -\sqrt{x} - 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -x^2 - 2, \\ 5x - 3y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 0,5x^2 - 3, \\ y = \sqrt{x} + 3. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = \frac{2}{x} + 1 \\ y + 5x - 1 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение: $1 - 5x = \frac{2}{x} + 1$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $-5x = \frac{2}{x}$
Область допустимых значений для первого уравнения $x \neq 0$. Умножим обе части на $x$: $-5x^2 = 2$
$x^2 = -\frac{2}{5}$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{3}{x} + 1 \\ y = -\sqrt{x} - 1 \end{cases} $
Определим область допустимых значений. Из первого уравнения $x \neq 0$. Из второго уравнения $x \ge 0$. Таким образом, $x > 0$.
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$: $-\frac{3}{x} + 1 = -\sqrt{x} - 1$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую: $2 = \frac{3}{x} - \sqrt{x}$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку $x > 0$, то $t > 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим $t$ в уравнение: $2 = \frac{3}{t^2} - t$
Умножим все уравнение на $t^2$ (так как $t^2 > 0$): $2t^2 = 3 - t^3$
$t^3 + 2t^2 - 3 = 0$
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-3): $\pm 1, \pm 3$. Проверим $t=1$: $1^3 + 2(1)^2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем уравнения.
Разделим многочлен $t^3 + 2t^2 - 3$ на $(t-1)$ и получим: $(t-1)(t^2 + 3t + 3) = 0$
Получаем два уравнения: $t-1=0$ или $t^2+3t+3=0$. Из первого уравнения $t=1$. Для второго уравнения $t^2+3t+3=0$ найдем дискриминант: $\Delta = 3^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$. Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.
Единственный действительный корень - это $t=1$. Условие $t > 0$ выполняется.
Вернемся к переменной $x$: $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе: $y = -\sqrt{1} - 1 = -1 - 1 = -2$.
Ответ: $(1; -2)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = -x^2 - 2 \\ 5x - 3y = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $3y = 5x \implies y = \frac{5}{3}x$
Подставим это выражение в первое уравнение: $\frac{5}{3}x = -x^2 - 2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + \frac{5}{3}x + 2 = 0$
Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби: $3x^2 + 5x + 6 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $\Delta = b^2 - 4ac$: $\Delta = 5^2 - 4(3)(6) = 25 - 72 = -47$
Поскольку дискриминант отрицательный ($\Delta < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = 0.5x^2 - 3 \\ y = \sqrt{x} + 3 \end{cases} $
Область допустимых значений для $x$ определяется вторым уравнением: $x \ge 0$.
Приравняем правые части уравнений: $0.5x^2 - 3 = \sqrt{x} + 3$
Перенесем все члены в одну сторону: $0.5x^2 - \sqrt{x} - 6 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим $t$ в уравнение: $0.5(t^2)^2 - t - 6 = 0$
$0.5t^4 - t - 6 = 0$
Умножим все уравнение на 2: $t^4 - 2t - 12 = 0$
Будем искать неотрицательные корни. Попробуем подставить целочисленные значения. Проверим $t=2$: $2^4 - 2(2) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$. Значит, $t=2$ является корнем уравнения. Это допустимый корень, так как $t \ge 0$.
Разделим многочлен $t^4 - 2t - 12$ на $(t-2)$ и получим: $(t-2)(t^3 + 2t^2 + 4t + 6) = 0$
Рассмотрим второе уравнение: $t^3 + 2t^2 + 4t + 6 = 0$. Мы ищем неотрицательные корни ($t \ge 0$). Если $t \ge 0$, то каждое слагаемое в левой части неотрицательно: $t^3 \ge 0$, $2t^2 \ge 0$, $4t \ge 0$. Следовательно, $t^3 + 2t^2 + 4t + 6 \ge 0 + 0 + 0 + 6 = 6$. Значит, левая часть всегда строго больше нуля при $t \ge 0$, и уравнение $t^3 + 2t^2 + 4t + 6 = 0$ не имеет неотрицательных корней.
Таким образом, единственным неотрицательным решением является $t=2$.
Вернемся к переменной $x$: $\sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=4$ в любое из исходных уравнений, например, во второе: $y = \sqrt{4} + 3 = 2 + 3 = 5$.
Ответ: $(4; 5)$.

22.39 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } -4 \le x \le -2; \\ -0,5x^2 + 3, & \text{если } -2 < x \le 2; \\ \frac{x}{3}, & \text{если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

a) Найдите $f(-2)$; $f(0)$; $f(4).

б) Постройте график функции $y = f(x).

в) Перечислите свойства функции.

Дана кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } -4 \le x \le -2 \\ -0,5x^2 + 3, & \text{если } -2 < x \le 2 \\ \frac{x}{3}, & \text{если } 2 < x \le 4 \end{cases}$

а) Найдите f(-2); f(0); f(4).

Для нахождения значения функции в точке необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

1. Найдем $f(-2)$.
Значение $x = -2$ принадлежит первому интервалу $-4 \le x \le -2$.
Следовательно, используем формулу $f(x) = 1$.
$f(-2) = 1$.

2. Найдем $f(0)$.
Значение $x = 0$ принадлежит второму интервалу $-2 < x \le 2$.
Следовательно, используем формулу $f(x) = -0,5x^2 + 3$.
$f(0) = -0,5 \cdot (0)^2 + 3 = 0 + 3 = 3$.

3. Найдем $f(4)$.
Значение $x = 4$ принадлежит третьему интервалу $2 < x \le 4$.
Следовательно, используем формулу $f(x) = \frac{x}{3}$.
$f(4) = \frac{4}{3}$.

Ответ: $f(-2) = 1$; $f(0) = 3$; $f(4) = \frac{4}{3}$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале.

1. На интервале $[-4, -2]$ функция имеет вид $y = 1$.
Это отрезок горизонтальной прямой, проходящей через точки $(-4, 1)$ и $(-2, 1)$. Обе точки закрашенные, так как концы интервала включены.

2. На интервале $(-2, 2]$ функция имеет вид $y = -0,5x^2 + 3$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-0,5)} = 0$.
$y_в = -0,5 \cdot 0^2 + 3 = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.
Найдем значения функции на концах интервала:
При $x \to -2$, $y \to -0,5(-2)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(-2, 1)$ будет выколотой (пустой), так как $x = -2$ не входит в данный интервал.
При $x = 2$, $y = -0,5(2)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(2, 1)$ будет закрашенной.
Таким образом, это дуга параболы с вершиной в $(0, 3)$, соединяющая точку $(-2, 1)$ (которая совпадает с концом предыдущего отрезка, делая функцию непрерывной в этой точке) и точку $(2, 1)$.

3. На интервале $(2, 4]$ функция имеет вид $y = \frac{x}{3}$.
Это отрезок прямой. Найдем координаты его концов:
При $x \to 2$, $y \to \frac{2}{3}$. Точка $(2, \frac{2}{3})$ будет выколотой.
При $x = 4$, $y = \frac{4}{3}$. Точка $(4, \frac{4}{3})$ будет закрашенной.
В точке $x=2$ происходит разрыв: график "прыгает" из точки $(2, 1)$ в точку $(2, \frac{2}{3})$.

Ответ: График функции состоит из:
1) отрезка горизонтальной прямой от точки $(-4, 1)$ до точки $(-2, 1)$;
2) дуги параболы с вершиной в $(0, 3)$, идущей от точки $(-2, 1)$ до точки $(2, 1)$ (включительно);
3) отрезка прямой от точки $(2, \frac{2}{3})$ (выколота) до точки $(4, \frac{4}{3})$ (включительно).

в) Перечислите свойства функции.

1. Область определения функции $D(f)$: объединение всех интервалов.
$D(f) = [-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4] = [-4, 4]$.

2. Область значений функции $E(f)$: множество всех значений, которые принимает $y$.
На $[-4, -2]$: $y=1$.
На $(-2, 2]$: $y$ изменяется от $1$ до $3$ и обратно до $1$, диапазон $[1, 3]$.
На $(2, 4]$: $y$ изменяется от $\frac{2}{3}$ до $\frac{4}{3}$, диапазон $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]$.
Объединяя все значения, получаем $E(f) = (\frac{2}{3}; 3]$.

3. Четность: Область определения $D(f) = [-4, 4]$ симметрична относительно нуля. Проверим условие $f(-x) = f(x)$.
Возьмем $x = 4$. $f(4) = \frac{4}{3}$.
$f(-4) = 1$.
Так как $f(-4) \ne f(4)$ и $f(-4) \ne -f(4)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Нули функции и промежутки знакопостоянства: Нули функции - это значения $x$, при которых $f(x)=0$.
$1 = 0$ - нет решений.
$-0,5x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$. Эти значения не входят в интервал $(-2, 2]$.
$\frac{x}{3} = 0 \implies x = 0$. Это значение не входит в интервал $(2, 4]$.
Нулей у функции нет. Так как $f(0)=3>0$, а нулей нет, то функция сохраняет знак на всей области определения. $f(x) > 0$ при всех $x \in [-4, 4]$.

5. Промежутки монотонности:
- Функция постоянна на отрезке $[-4, -2]$.
- Функция возрастает на отрезке $[-2, 0]$ и на полуинтервале $(2, 4]$.
- Функция убывает на отрезке $[0, 2]$.

6. Точки экстремума:
- $x_{max} = 0$ - точка локального и глобального максимума, $y_{max} = f(0) = 3$.
- $x=4$ - точка локального максимума, $f(4) = \frac{4}{3}$.
- $x=-2$ - точка локального минимума, $f(-2)=1$. Все точки интервала $[-4, -2)$ также являются точками нестрогого локального минимума.

7. Непрерывность:
Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $x=2$.
$\lim_{x\to 2^-} f(x) = 1$, а $\lim_{x\to 2^+} f(x) = \frac{2}{3}$.
В точке $x=2$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Свойства функции:
1. Область определения: $D(f) = [-4, 4]$.
2. Область значений: $E(f) = (\frac{2}{3}; 3]$.
3. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
4. Нулей нет. $f(x)>0$ на всей области определения.
5. Постоянна на $[-4, -2]$, возрастает на $[-2, 0]$ и на $(2, 4]$, убывает на $[0, 2]$.
6. Точка максимума $x=0$, $y_{max}=3$. Точки локального максимума $x=0$ и $x=4$. Точка локального минимума $x=-2$.
7. Непрерывна на $[-4, 2) \cup (2, 4]$. В точке $x=2$ - разрыв первого рода.

22.40 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 2, & \text{если } -5 \le x \le -3; \\ |x| - 1, & \text{если } -3 < x < 1; \\ \sqrt{x - 1}, & \text{если } 1 \le x \le 5. \end{cases}$

a) Найдите $f(-5); f(1); f\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а)

Чтобы найти значения функции, необходимо определить, в какой из трех интервалов попадает значение аргумента $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Нахождение $f(-5)$: Аргумент $x = -5$ принадлежит промежутку $-5 \le x \le -3$. На этом промежутке функция задается формулой $f(x) = 2$. Следовательно, $f(-5) = 2$.

• Нахождение $f(1)$: Аргумент $x = 1$ принадлежит промежутку $1 \le x \le 5$. На этом промежутке функция задается формулой $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Следовательно, $f(1) = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.

• Нахождение $f\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right)$: Сначала оценим значение аргумента. Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем: $x = \frac{\pi^2}{4} + 1 \approx \frac{3.14^2}{4} + 1 \approx \frac{9.86}{4} + 1 \approx 2.465 + 1 = 3.465$. Это значение принадлежит промежутку $1 \le x \le 5$. На этом промежутке функция задается формулой $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Следовательно, $f\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right) = \sqrt{\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right) - 1} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4}} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $f(-5) = 2$; $f(1) = 0$; $f\left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right) = \frac{\pi}{2}$.

б)

Для построения графика функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $[-5, -3]$ функция имеет вид $y=2$. Это отрезок горизонтальной прямой, соединяющий точки $(-5, 2)$ и $(-3, 2)$.

2. На промежутке $(-3, 1)$ функция имеет вид $y=|x|-1$. Этот график состоит из двух отрезков:

   • При $-3 < x < 0$ имеем $y = -x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, 2)$ (точка не включена) и $(0, -1)$.
   • При $0 \le x < 1$ имеем $y = x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$ (точка не включена).

3. На промежутке $[1, 5]$ функция имеет вид $y=\sqrt{x-1}$. Это часть параболы, ветвь которой направлена вправо. График начинается в точке $(1, 0)$ и заканчивается в точке $(5, 2)$ (так как $\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2$).

Функция непрерывна на всей области определения, так как значения на стыках интервалов совпадают:

• При $x=-3$: $f(-3) = 2$ и $\lim_{x \to -3^+} (|x|-1) = |-3|-1 = 2$.
• При $x=1$: $\lim_{x \to 1^-} (|x|-1) = |1|-1 = 0$ и $f(1) = \sqrt{1-1} = 0$.

График функции $y = f(x)$:

Ответ: График функции построен и представлен выше.

в)

Перечислим основные свойства функции $y = f(x)$:

• Область определения: $D(f) = [-5, 5]$.

• Множество значений: $E(f) = [-1, 2]$.

• Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) > 0$ при $x \in [-5, -1) \cup (1, 5]$.
  • $f(x) < 0$ при $x \in (-1, 1)$.

• Промежутки монотонности:

  • Функция постоянна на промежутке $[-5, -3]$.
  • Функция убывает на промежутке $[-3, 0]$.
  • Функция возрастает на промежутке $[0, 5]$.

• Экстремумы функции:

  • Точка минимума: $x_{min} = 0$.
  • Минимальное значение функции: $y_{min} = f(0) = -1$.
  • Точки максимума: $x_{max} \in [-5, -3]$ и $x_{max} = 5$.
  • Максимальное значение функции: $y_{max} = 2$.

• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения симметрична относительно нуля, но условие $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$ не выполняется для всех $x$ из области определения (например, $f(3) = \sqrt{2}$, а $f(-3) = 2$).

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $[-5, 5]$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.