Страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

22.13 Напишите уравнение графика функции, изображённого:

а) на рис. 49;

$y = \sqrt{x} + 2$

б) на рис. 50;

$y = -\sqrt{x} - 2$

в) на рис. 51;

$y = \sqrt{x} - 1$

г) на рис. 52.

$y = -\sqrt{x} + 3$

а) на рис. 49;

График функции, изображённый на рисунке, является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещённым вдоль оси ординат. Общий вид такой функции: $y = k\sqrt{x-a} + b$, где $(a, b)$ — координаты начальной точки графика.

1. Найдём начальную точку графика. По рисунку видно, что это точка с координатами $(0, 2)$. Следовательно, $a=0$ и $b=2$. Уравнение принимает вид $y = k\sqrt{x} + 2$.

2. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике ещё одну точку с целочисленными координатами, например, точку $(4, 4)$.

3. Подставим координаты этой точки в уравнение функции: $4 = k\sqrt{4} + 2$ $4 = 2k + 2$ $2k = 2$ $k = 1$

Таким образом, уравнение графика функции имеет вид $y = \sqrt{x} + 2$.

Ответ: $y = \sqrt{x} + 2$

б) на рис. 50;

График функции является преобразованием графика функции $y = \sqrt{x}$. Общий вид уравнения: $y = k\sqrt{x-a} + b$.

1. Начальная точка графика находится в точке $(0, -2)$. Следовательно, $a=0$ и $b=-2$. Уравнение принимает вид $y = k\sqrt{x} - 2$. Так как ветвь параболы направлена вниз, коэффициент $k$ будет отрицательным.

2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(4, -4)$.

3. Подставим координаты этой точки в уравнение: $-4 = k\sqrt{4} - 2$ $-4 = 2k - 2$ $2k = -2$ $k = -1$

Следовательно, искомое уравнение: $y = -\sqrt{x} - 2$.

Ответ: $y = -\sqrt{x} - 2$

в) на рис. 51;

График функции является преобразованием графика функции $y = \sqrt{x}$. Общий вид уравнения: $y = k\sqrt{x-a} + b$.

1. Начальная точка графика находится в точке $(1, 0)$. Следовательно, $a=1$ и $b=0$. Уравнение принимает вид $y = k\sqrt{x-1}$.

2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(5, 2)$.

3. Подставим координаты этой точки в уравнение: $2 = k\sqrt{5-1}$ $2 = k\sqrt{4}$ $2 = 2k$ $k = 1$

Таким образом, уравнение графика функции имеет вид $y = \sqrt{x-1}$.

Ответ: $y = \sqrt{x-1}$

г) на рис. 52.

График функции является преобразованием графика функции $y = \sqrt{x}$. Общий вид уравнения: $y = k\sqrt{x-a} + b$.

1. Начальная точка графика находится в точке $(1, 3)$. Следовательно, $a=1$ и $b=3$. Уравнение принимает вид $y = k\sqrt{x-1} + 3$. Так как ветвь параболы направлена вниз, коэффициент $k$ будет отрицательным.

2. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(5, 1)$.

3. Подставим координаты этой точки в уравнение: $1 = k\sqrt{5-1} + 3$ $1 = k\sqrt{4} + 3$ $1 = 2k + 3$ $2k = -2$ $k = -1$

Следовательно, искомое уравнение: $y = -\sqrt{x-1} + 3$.

Ответ: $y = -\sqrt{x-1} + 3$

22.14 Напишите уравнение графика функции, изображённого:

а) на рис. 53;
$y = |x| - 4$

б) на рис. 54;
$y = -|x| + 3$

в) на рис. 55;
$y = |x| + 2$

г) на рис. 56.
$y = -|x| - 1$

Для решения задачи воспользуемся общим видом уравнения функции модуля: $y = k|x - a| + b$. В этом уравнении $(a, b)$ — это координаты вершины графика (точки излома), а коэффициент $k$ отвечает за наклон ветвей и их направление. Если $k > 0$, ветви направлены вверх, если $k < 0$ — вниз. Величина $|k|$ равна угловому коэффициенту правой ветви графика.

1. Нахождение вершины. Вершина графика — его самая низкая точка. Из рисунка видно, что она имеет координаты $(0, -4)$. Таким образом, $a = 0$ и $b = -4$.
2. Нахождение коэффициента k. Ветви графика направлены вверх, следовательно, $k > 0$. Для нахождения $k$ возьмём на правой ветви ещё одну точку, например, $(4, 0)$. Угловой коэффициент (он же $k$) равен отношению изменения координаты $y$ к изменению координаты $x$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-4)}{4 - 0} = \frac{4}{4} = 1$.
3. Составление уравнения. Подставляем найденные значения $a, b$ и $k$ в общую формулу:
$y = 1 \cdot |x - 0| + (-4)$, что упрощается до $y = |x| - 4$.

Ответ: $y = |x| - 4$

1. Нахождение вершины. Вершина графика — его самая высокая точка. Её координаты $(0, 3)$. Таким образом, $a = 0$ и $b = 3$.
2. Нахождение коэффициента k. Ветви графика направлены вниз, следовательно, $k < 0$. Для нахождения $k$ возьмём на правой ветви ещё одну точку, например, $(2, 0)$. Рассчитаем угловой коэффициент:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{2 - 0} = -\frac{3}{2} = -1.5$.
3. Составление уравнения. Подставляем найденные значения в общую формулу:
$y = -1.5|x - 0| + 3$, что упрощается до $y = -1.5|x| + 3$.

Ответ: $y = -1.5|x| + 3$

1. Нахождение вершины. Вершина графика находится в точке $(0, 2)$. Таким образом, $a = 0$ и $b = 2$.
2. Нахождение коэффициента k. Ветви графика направлены вверх, следовательно, $k > 0$. Для нахождения $k$ возьмём на правой ветви точку $(2, 4)$. Рассчитаем угловой коэффициент:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$.
3. Составление уравнения. Подставляем найденные значения в общую формулу:
$y = 1 \cdot |x - 0| + 2$, что упрощается до $y = |x| + 2$.

Ответ: $y = |x| + 2$

1. Нахождение вершины. Вершина графика находится в точке $(0, -1)$. Таким образом, $a = 0$ и $b = -1$.
2. Нахождение коэффициента k. Ветви графика направлены вниз, следовательно, $k < 0$. Для нахождения $k$ возьмём на правой ветви точку $(2, -3)$. Рассчитаем угловой коэффициент:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - (-1)}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$.
3. Составление уравнения. Подставляем найденные значения в общую формулу:
$y = -1 \cdot |x - 0| + (-1)$, что упрощается до $y = -|x| - 1$.

Ответ: $y = -|x| - 1$

22.15 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = 2x^2 - 5$:

а) на отрезке $[-1; 1];

б) на луче $[0; +\infty);

в) на отрезке $[-2; 1];

г) на луче $(-\infty; 2].

Данная функция $y = 2x^2 - 5$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$).
Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$, которая является точкой минимума для данной функции.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=2$, $b=0$, поэтому $x_v = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$.
Ордината вершины: $y_v = y(x_v) = y(0) = 2(0)^2 - 5 = -5$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -5)$. Это точка глобального минимума функции. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0; +\infty)$ — возрастает.

а) на отрезке [-1; 1]

Вершина параболы $x_v=0$ принадлежит данному отрезку. Так как это точка минимума, то наименьшее значение функции на отрезке будет равно значению функции в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = -5$.
Наибольшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.
$y(-1) = 2(-1)^2 - 5 = 2 - 5 = -3$.
$y(1) = 2(1)^2 - 5 = 2 - 5 = -3$.
Наибольшее из этих значений равно -3.
$y_{наиб} = -3$.
Ответ: $y_{наим} = -5$, $y_{наиб} = -3$.

б) на луче [0; +∞)

Начало луча совпадает с вершиной параболы $x_v=0$. На этом луче ($x \geq 0$) функция монотонно возрастает.
Следовательно, наименьшее значение достигается в начальной точке луча, $x=0$.
$y_{наим} = y(0) = -5$.
Поскольку функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: $y_{наим} = -5$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [-2; 1]

Вершина параболы $x_v=0$ принадлежит данному отрезку. Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = -5$.
Наибольшее значение ищем на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=-2$ и $x=1$.
$y(-2) = 2(-2)^2 - 5 = 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$.
$y(1) = 2(1)^2 - 5 = 2 - 5 = -3$.
Сравниваем полученные значения: $3 > -3$. Следовательно, наибольшее значение равно 3.
$y_{наиб} = 3$.
Ответ: $y_{наим} = -5$, $y_{наиб} = 3$.

г) на луче (–∞; 2]

Вершина параболы $x_v=0$ принадлежит данному лучу. Так как это точка минимума функции, то на этом луче она также будет точкой наименьшего значения.
$y_{наим} = y(0) = -5$.
Поскольку на промежутке $(-\infty; 0]$ функция убывает от $+\infty$ до $-5$, а на промежутке $[0; 2]$ возрастает от $-5$ до $y(2)=2(2)^2-5 = 3$, то при $x \to -\infty$ значения функции неограниченно растут. Следовательно, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: $y_{наим} = -5$, наибольшего значения не существует.

22.16 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{2}{x} - 2$:

а) на отрезке [1; 2];

б) на луче $(-\infty; -1];$

в) на отрезке $[-2; -0,5];$

г) на полуинтервале $[2; 5).$

а) на отрезке [1; 2]

Дана функция $y = \frac{2}{x} - 2$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданных промежутках сначала исследуем ее на монотонность. Для этого найдем производную функции:
$y'(x) = \left(\frac{2}{x} - 2\right)' = (2x^{-1} - 2)' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Поскольку $x^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения функции ($x \neq 0$), производная $y'(x) = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $y(x)$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$.

Отрезок $[1; 2]$ принадлежит промежутку $(0; \infty)$, на котором функция убывает. Следовательно, на этом отрезке функция принимает свое наибольшее значение в левой граничной точке ($x=1$), а наименьшее — в правой ($x=2$).

Вычислим эти значения:
Наибольшее значение: $y_{наиб.} = y(1) = \frac{2}{1} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим.} = y(2) = \frac{2}{2} - 2 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 0.

б) на луче $(-\infty; -1]$

На луче $(-\infty; -1]$ функция также является монотонно убывающей. Это значит, что по мере увеличения $x$ значения $y$ уменьшаются.

Наименьшее значение функция примет в крайней правой точке промежутка, то есть при $x=-1$.
$y_{наим.} = y(-1) = \frac{2}{-1} - 2 = -2 - 2 = -4$.

Наибольшего значения на этом луче не существует. При $x$, стремящемся к $-\infty$, значение функции стремится к горизонтальной асимптоте $y = -2$:
$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2}{x} - 2\right) = 0 - 2 = -2$.
Функция приближается к значению -2, но никогда его не достигает. Множество значений функции на данном луче представляет собой полуинтервал $[-4; -2)$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [−2; −0,5]

Отрезок $[-2; -0,5]$ принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение будет в левой граничной точке отрезка ($x=-2$), а наименьшее — в правой ($x=-0,5$).

Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб.} = y(-2) = \frac{2}{-2} - 2 = -1 - 2 = -3$.
Наименьшее значение: $y_{наим.} = y(-0,5) = \frac{2}{-0,5} - 2 = -4 - 2 = -6$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6, наибольшее значение равно -3.

г) на полуинтервале [2; 5)

На полуинтервале $[2; 5)$ функция монотонно убывает. Наибольшее значение она принимает в левой точке $x=2$, так как эта точка принадлежит промежутку.

Вычислим это значение:
$y_{наиб.} = y(2) = \frac{2}{2} - 2 = 1 - 2 = -1$.

Наименьшего значения не существует, так как правая граница $x=5$ не включена в промежуток. При $x$, стремящемся к 5 слева ($x \to 5^-$), значение функции $y(x)$ стремится к $y(5)$:
$y(5) = \frac{2}{5} - 2 = 0,4 - 2 = -1,6$.
Функция принимает значения, сколь угодно близкие к -1,6, но никогда не достигает этого значения. Множество значений функции на данном полуинтервале есть полуинтервал $(-1,6; -1]$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -1, наименьшего значения не существует.

22.17 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -3x^2 + 4$:

a) на отрезке $[-1; 1];$

б) на открытом луче $(-2; +\infty);$

в) на интервале $(-3; 1);$

г) на отрезке $[-1; 0].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -3x^2 + 4$ на различных промежутках, сначала проанализируем саму функцию.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -3$, $b = 0$. $x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$.

Ордината вершины (максимальное значение функции): $y_в = y(x_в) = y(0) = -3 \cdot 0^2 + 4 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

а) на отрезке [-1; 1]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на отрезке, нужно вычислить ее значения в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Вершина параболы $x_в = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Значение функции в этой точке является наибольшим: $y(0) = 4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка: $y(-1) = -3(-1)^2 + 4 = -3 \cdot 1 + 4 = 1$. $y(1) = -3(1)^2 + 4 = -3 \cdot 1 + 4 = 1$.

Сравнивая значения $y(0)=4$, $y(-1)=1$ и $y(1)=1$, заключаем, что наибольшее значение функции на отрезке равно $4$, а наименьшее равно $1$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.

б) на открытом луче (-2; +∞)

Вершина параболы $x_в = 0$ принадлежит данному промежутку. Так как ветви параболы направлены вниз, в точке вершины функция достигает своего глобального максимума, который и будет наибольшим значением на этом луче. $y_{наиб} = y(0) = 4$.

Для определения наименьшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен, при неограниченном возрастании $x$ значение функции неограниченно убывает ($y \to -\infty$). Следовательно, функция не ограничена снизу на данном луче, и наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4$, наименьшего значения не существует.

в) на интервале (-3; 1)

Вершина параболы $x_в = 0$ принадлежит интервалу $(-3; 1)$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом интервале равно значению в вершине. $y_{наиб} = y(0) = 4$.

Для нахождения наименьшего значения рассмотрим поведение функции на границах интервала. Поскольку интервал открытый, значения в точках $x=-3$ и $x=1$ не достигаются. Вычислим предельные значения: при $x \to -3$, $y \to -3(-3)^2 + 4 = -27 + 4 = -23$. при $x \to 1$, $y \to -3(1)^2 + 4 = -3 + 4 = 1$.

Так как функция может принимать значения сколь угодно близкие к $-23$, но никогда не достигает этого значения (поскольку $x \ne -3$), наименьшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4$, наименьшего значения не существует.

г) на отрезке [-1; 0]

Вершина параболы $x_в = 0$ является правым концом отрезка $[-1; 0]$. На всем этом отрезке функция возрастает (так как он является частью промежутка возрастания $(-\infty; 0]$).

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой крайней точке отрезка, а наибольшее — в правой. Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = -3(-1)^2 + 4 = -3 + 4 = 1$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -3(0)^2 + 4 = 4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4$.

22.18 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\frac{1}{x} + 1$:

а) на отрезке $[1; 3]$;

б) на луче $[1; +\infty)$;

в) на луче $(-\infty; -1]$;

г) на отрезке $[-4; -2]$.

Данная функция $y = -\frac{1}{x} + 1$ является обратной пропорциональностью, график которой — гипербола. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Для анализа монотонности функции найдем ее производную: $y' = \left(-\frac{1}{x} + 1\right)' = \left(-x^{-1} + 1\right)' = -(-1)x^{-2} + 0 = \frac{1}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для любого $x$ из области определения, то производная $y' = \frac{1}{x^2}$ всегда положительна. Следовательно, функция $y = -\frac{1}{x} + 1$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Это означает, что на любом отрезке, который целиком содержится в одном из этих промежутков, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

а) на отрезке [1; 3]

Данный отрезок $[1; 3]$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции будет при $x = 1$, а наибольшее — при $x = 3$. Вычислим эти значения: Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = -\frac{1}{1} + 1 = -1 + 1 = 0$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $\frac{2}{3}$.

б) на луче [1; +∞)

Данный луч $[1; +\infty)$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция возрастает. Наименьшее значение функция принимает в начальной точке луча, то есть при $x = 1$. $y_{наим} = y(1) = -\frac{1}{1} + 1 = 0$. Поскольку функция возрастает на этом луче, она будет стремиться к своему пределу при $x \to +\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x} + 1\right) = 0 + 1 = 1$. Функция приближается к значению $1$, но никогда его не достигает. Таким образом, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

в) на луче (-∞; -1]

Данный луч $(-\infty; -1]$ принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция возрастает. Наибольшее значение функция принимает в конечной точке луча, то есть при $x = -1$. $y_{наиб} = y(-1) = -\frac{1}{-1} + 1 = 1 + 1 = 2$. Поскольку функция возрастает на этом луче, она будет стремиться к своему пределу при $x \to -\infty$. $\lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{x} + 1\right) = 0 + 1 = 1$. Функция принимает значения от $1$ (не включая) до $2$ (включая). Таким образом, наименьшего значения на данном луче не существует, так как функция стремится к $1$, но никогда его не достигает.
Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшего значения не существует.

г) на отрезке [-4; -2]

Данный отрезок $[-4; -2]$ принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции будет при $x = -4$, а наибольшее — при $x = -2$. Вычислим эти значения: Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-4) = -\frac{1}{-4} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = -\frac{1}{-2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $\frac{5}{4}$, наибольшее значение $\frac{3}{2}$.