Страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Сколько решений имеет система уравнений:

21.53 а)

$\begin{cases} y = \frac{1}{x - 2}, \\ y = \frac{x}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{2}{x + 3}, \\ x - y = 7; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -\frac{3}{x + 2}, \\ y = -2x - 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \frac{4}{x - 2}, \\ x + y = 2? \end{cases}$

а) Чтобы найти количество решений системы уравнений $$ \begin{cases} y = \frac{1}{x-2} \\ y = \frac{x}{3} \end{cases} $$ приравняем правые части уравнений. Это позволит нам найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x-2}$ и $y = \frac{x}{3}$.

$$ \frac{1}{x-2} = \frac{x}{3} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 2$. Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ x(x-2) = 3 $$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ x^2 - 2x = 3 $$ $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Для определения количества корней квадратного уравнения найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$ Поскольку $D = 16 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем эти корни, чтобы убедиться, что они удовлетворяют ОДЗ: $$ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2} $$ $$ x_1 = \frac{2+4}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{2-4}{2} = -1 $$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$). Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

б) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = -\frac{2}{x+3} \\ x - y = 7 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = x - 7$. Подставим это выражение в первое уравнение, чтобы получить уравнение с одной переменной: $$ x - 7 = -\frac{2}{x+3} $$ ОДЗ: $x \neq -3$. Умножим обе части уравнения на $(x+3)$: $$ (x-7)(x+3) = -2 $$ Раскроем скобки в левой части: $$ x^2 + 3x - 7x - 21 = -2 $$ $$ x^2 - 4x - 21 = -2 $$ Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$: $$ x^2 - 4x - 19 = 0 $$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 16 + 76 = 92 $$ Поскольку $D = 92 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны $-3$, так как при подстановке $x=-3$ в уравнение $x^2 - 4x - 19$ получаем $(-3)^2 - 4(-3) - 19 = 9 + 12 - 19 = 2 \neq 0$. Каждому из двух значений $x$ соответствует единственное значение $y$. Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

в) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = -\frac{3}{x+2} \\ y = -2x - 1 \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений: $$ -\frac{3}{x+2} = -2x - 1 $$ ОДЗ: $x \neq -2$. Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ \frac{3}{x+2} = 2x + 1 $$ Умножим обе части на $(x+2)$: $$ 3 = (2x+1)(x+2) $$ Раскроем скобки: $$ 3 = 2x^2 + 4x + x + 2 $$ $$ 3 = 2x^2 + 5x + 2 $$ Приведем уравнение к стандартному виду: $$ 2x^2 + 5x - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 25 + 8 = 33 $$ Поскольку $D = 33 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны $-2$, так как при подстановке $x=-2$ в уравнение $2x^2 + 5x - 1$ получаем $2(-2)^2 + 5(-2) - 1 = 8 - 10 - 1 = -3 \neq 0$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

г) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{4}{x-2} \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ 2 - x = \frac{4}{x-2} $$ ОДЗ: $x \neq 2$. Умножим обе части уравнения на $(x-2)$: $$ (2-x)(x-2) = 4 $$ Вынесем $-1$ за скобку в левой части: $$ -(x-2)(x-2) = 4 $$ $$ -(x-2)^2 = 4 $$ $$ (x-2)^2 = -4 $$ Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней. Альтернативно, можно было привести уравнение к стандартному виду $x^2 - 4x + 8 = 0$ и вычислить дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, система уравнений не имеет решений.
Ответ: нет решений.

21.54 a)

$y = -\frac{4}{x - 3}$,

$y = |x + 2|;$

б) $y = 2(x - 1)^2$,

$y = \sqrt{x + 2}?$

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{4}{x-3} \\ y = |x+2|\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$-\frac{4}{x-3} = |x+2|$

Левая часть уравнения, $y = |x+2|$, всегда неотрицательна, то есть $y \ge 0$. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$-\frac{4}{x-3} \ge 0$

$\frac{4}{x-3} \le 0$

Так как числитель (4) положителен, знаменатель должен быть отрицательным:

$x - 3 < 0 \implies x < 3$

Это означает, что решения могут существовать только при $x < 3$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. С учетом условия $x<3$, рассматриваем интервал $x \in [-2, 3)$. В этом случае $|x+2| = x+2$. Уравнение принимает вид:

$-\frac{4}{x-3} = x+2$

$-4 = (x+2)(x-3)$

$-4 = x^2 - x - 6$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Оба корня принадлежат интервалу $[-2, 3)$, поэтому являются решениями.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1=2$, $y_1 = |2+2| = 4$. Точка пересечения: $(2, 4)$.

При $x_2=-1$, $y_2 = |-1+2| = 1$. Точка пересечения: $(-1, 1)$.

2. Если $x+2 < 0$, то есть $x < -2$. В этом случае $|x+2| = -(x+2)$. Уравнение принимает вид:

$-\frac{4}{x-3} = -(x+2)$

$\frac{4}{x-3} = x+2$

$4 = (x+2)(x-3)$

$4 = x^2 - x - 6$

$x^2 - x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4(1)(-10) = 1+40=41$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x < -2$.

$x_3 = \frac{1+\sqrt{41}}{2} \approx \frac{1+6.4}{2} = 3.7$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -2$.

$x_4 = \frac{1-\sqrt{41}}{2} \approx \frac{1-6.4}{2} = -2.7$. Этот корень удовлетворяет условию $x < -2$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y_4 = |x_4+2| = |\frac{1-\sqrt{41}}{2}+2| = |\frac{1-\sqrt{41}+4}{2}| = |\frac{5-\sqrt{41}}{2}|$. Так как $\sqrt{41} > \sqrt{25}=5$, выражение $5-\sqrt{41}$ отрицательно, поэтому $|\frac{5-\sqrt{41}}{2}| = -\frac{5-\sqrt{41}}{2} = \frac{\sqrt{41}-5}{2}$.

Третья точка пересечения: $(\frac{1-\sqrt{41}}{2}, \frac{\sqrt{41}-5}{2})$.

Ответ: $(2, 4)$, $(-1, 1)$, $(\frac{1-\sqrt{41}}{2}, \frac{\sqrt{41}-5}{2})$.

б) Найдем точки пересечения графиков функций, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = 2(x-1)^2 \\ y = \sqrt{x+2}\end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Для функции $y = \sqrt{x+2}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Приравняем правые части уравнений:

$2(x-1)^2 = \sqrt{x+2}$

Для избавления от квадратного корня возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2(x-1)^2)^2 = (\sqrt{x+2})^2$

$4(x-1)^4 = x+2$

Это уравнение четвертой степени. Для его решения сделаем замену переменной. Пусть $u=x-1$, тогда $x=u+1$. Подставим в уравнение:

$4u^4 = (u+1)+2$

$4u^4 - u - 3 = 0$

Подбором находим один из корней этого уравнения. При $u=1$ левая часть обращается в ноль: $4(1)^4 - 1 - 3 = 0$. Следовательно, $u=1$ является корнем. Это означает, что многочлен $4u^4-u-3$ делится на $(u-1)$. Выполнив деление, получаем:

$(u-1)(4u^3+4u^2+4u+3) = 0$

Отсюда получаем два возможных случая:

1. $u-1=0 \implies u_1 = 1$.

Найдем соответствующий $x$: $x_1=u_1+1 = 1+1=2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge -2$).

Найдем $y_1$: $y_1 = \sqrt{x_1+2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Первая точка пересечения: $(2, 2)$.

2. $4u^3+4u^2+4u+3=0$.

Исследуем функцию $p(u) = 4u^3+4u^2+4u+3$. Ее производная $p'(u) = 12u^2+8u+4$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 8^2 - 4(12)(4) = 64-192 = -128 < 0$. Так как старший коэффициент (12) положителен, $p'(u) > 0$ для всех $u$. Это значит, что функция $p(u)$ строго возрастает и может иметь не более одного действительного корня.

Найдем, в каком интервале находится этот корень. $p(-1) = 4(-1)+4(1)+4(-1)+3 = -1$. $p(0) = 3$. Так как функция непрерывна и на концах отрезка $[-1, 0]$ принимает значения разных знаков, единственный корень $u_2$ находится в интервале $(-1, 0)$.

Этот корень является иррациональным числом. Найдем соответствующий $x_2 = u_2+1$. Так как $u_2 \in (-1, 0)$, то $x_2 \in (0, 1)$, что удовлетворяет ОДЗ.

Найдем $y_2$: $y_2 = 2(x_2-1)^2 = 2(u_2)^2 = 2u_2^2$.

Вторая точка пересечения: $(u_2+1, 2u_2^2)$, где $u_2$ - единственный действительный корень уравнения $4u^3+4u^2+4u+3=0$.

Ответ: Система имеет два решения. Первое решение: $(2, 2)$. Второе решение: $(x_2, y_2)$, где $x_2 = u_2+1$, $y_2=2u_2^2$, а $u_2$ является единственным действительным корнем уравнения $4u^3+4u^2+4u+3=0$ (приблизительное значение $u_2 \approx -0.68$).

21.55 a) Используя графики функций $y = 2x - 2$ и $y = \frac{4}{x - 2}$, определите, при каких значениях x выполнено неравенство $2x - 2 > \frac{4}{x - 2}$.

б) Используя графики функций $y = \sqrt{x + 1}$ и $y = x - 1$, определите те значения x, для которых $\sqrt{x + 1} \le x - 1$.

а)

Для решения неравенства $2x - 2 > \frac{4}{x-2}$ необходимо определить, при каких значениях $x$ график функции $y = 2x - 2$ находится выше графика функции $y = \frac{4}{x-2}$. Для этого построим оба графика в одной системе координат.

1. График функции $y = 2x - 2$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Например, при $x=0$, $y=-2$ и при $x=1$, $y=0$.

2. График функции $y = \frac{4}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота гиперболы — прямая $x=2$, горизонтальная — $y=0$.

3. Найдём точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $2x - 2 = \frac{4}{x-2}$.
Условие: $x \neq 2$.
$(2x - 2)(x - 2) = 4$
$2(x - 1)(x - 2) = 4$
$(x - 1)(x - 2) = 2$
$x^2 - 3x + 2 = 2$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем две точки пересечения по оси абсцисс: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

4. Анализ графиков. Нам нужно найти интервалы, на которых прямая $y = 2x - 2$ лежит выше гиперболы $y = \frac{4}{x-2}$. Рассматривая построенные графики, мы видим, что это происходит на двух промежутках:

• между точкой пересечения $x=0$ и вертикальной асимптотой $x=2$;
• при $x$, больших абсциссы второй точки пересечения, то есть при $x > 3$.

Объединяя эти промежутки, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (3; +\infty)$.

б)

Для решения неравенства $\sqrt{x+1} \le x - 1$ необходимо определить, при каких значениях $x$ график функции $y = \sqrt{x+1}$ находится не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $y = x - 1$. Построим оба графика в одной системе координат.

1. График функции $y = \sqrt{x+1}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ох. График получен сдвигом графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево. Область определения функции: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. График начинается в точке $(-1, 0)$.

2. График функции $y = x - 1$ — это прямая линия, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

3. Найдём точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $\sqrt{x+1} = x - 1$.
Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Это условие также удовлетворяет области определения $x \ge -1$.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$x + 1 = (x - 1)^2$
$x + 1 = x^2 - 2x + 1$
$0 = x^2 - 3x$
$x(x - 3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, следовательно, он является посторонним.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 1$. Таким образом, графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна 3.

4. Анализ графиков. Нам нужно найти интервалы, на которых график $y = \sqrt{x+1}$ лежит ниже или совпадает с прямой $y = x - 1$. Из графика видно, что прямая находится выше графика корня, начиная с их точки пересечения $x=3$ и далее вправо. Неравенство нестрогое, поэтому сама точка пересечения включается в решение.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

21.56 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } -3 \le x \le 1; \\ \sqrt{x+1}, & \text{если } 1 < x \le 5. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

а) $f(-2,8)$, $f(3,84)$, $f(0)$;

б) при каких значениях $x$ выполняются равенства $f(x) = 0$, $f(x) = 2$, $f(x) = 4$.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } -3 \le x \le 1 \\ \sqrt{x+1}, & \text{если } 1 < x \le 5 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Первая часть функции — это $y = -2x - 2$ на отрезке $[-3; 1]$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения найдем координаты его концов.

При $x = -3$: $y = -2(-3) - 2 = 6 - 2 = 4$. Получаем точку $(-3, 4)$.

При $x = 1$: $y = -2(1) - 2 = -2 - 2 = -4$. Получаем точку $(1, -4)$.

Обе точки включены в график, так как неравенства нестрогие. Соединяем точки $(-3, 4)$ и $(1, -4)$ отрезком.

2. Вторая часть функции — это $y = \sqrt{x+1}$ на полуинтервале $(1; 5]$. Это часть графика функции квадратного корня, смещенного на 1 единицу влево по оси Ox. Найдем координаты концов этого участка.

При $x = 1$: $y = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(1, \sqrt{2})$ не включена в график, так как неравенство строгое. На графике она будет отмечена выколотой (пустой) точкой.

При $x = 5$: $y = \sqrt{5+1} = \sqrt{6} \approx 2.45$. Точка $(5, \sqrt{6})$ включена в график, так как неравенство нестрогое.

Для более точного построения найдем еще одну точку на этом интервале. Например, при $x = 3$: $y = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3, 2)$ принадлежит графику.

Строим кривую, выходящую из выколотой точки $(1, \sqrt{2})$ и проходящую через $(3, 2)$ до точки $(5, \sqrt{6})$.

Теперь, используя построенный график, найдем требуемые значения.

a) найдите $f(-2,8)$, $f(3,84)$, $f(0)$;

Чтобы найти $f(-2,8)$, заметим, что значение $x = -2,8$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$. Следовательно, используем первую формулу: $f(-2,8) = -2(-2,8) - 2 = 5,6 - 2 = 3,6$.

Чтобы найти $f(3,84)$, заметим, что значение $x = 3,84$ принадлежит полуинтервалу $(1; 5]$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(3,84) = \sqrt{3,84 + 1} = \sqrt{4,84} = 2,2$.

Чтобы найти $f(0)$, заметим, что значение $x = 0$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$. Следовательно, используем первую формулу: $f(0) = -2(0) - 2 = -2$.

Ответ: $f(-2,8) = 3,6$; $f(3,84) = 2,2$; $f(0) = -2$.

б) при каких значениях $x$ выполняются равенства $f(x) = 0$, $f(x) = 2$, $f(x) = 4$.

Чтобы найти $x$, при котором $f(x) = 0$, нужно найти точки пересечения графика с осью Ox (прямой $y=0$).

1) $-2x - 2 = 0 \implies -2x = 2 \implies x = -1$. Значение $-1$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, значит, это корень.

2) $\sqrt{x+1} = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$. Значение $-1$ не принадлежит полуинтервалу $(1; 5]$, значит, это не корень.

Следовательно, $f(x) = 0$ при $x = -1$.

Чтобы найти $x$, при котором $f(x) = 2$, нужно найти точки пересечения графика с прямой $y=2$.

1) $-2x - 2 = 2 \implies -2x = 4 \implies x = -2$. Значение $-2$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, значит, это корень.

2) $\sqrt{x+1} = 2 \implies x+1 = 4 \implies x = 3$. Значение $3$ принадлежит полуинтервалу $(1; 5]$, значит, это тоже корень.

Следовательно, $f(x) = 2$ при $x = -2$ и $x = 3$.

Чтобы найти $x$, при котором $f(x) = 4$, нужно найти точки пересечения графика с прямой $y=4$.

1) $-2x - 2 = 4 \implies -2x = 6 \implies x = -3$. Значение $-3$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, значит, это корень. Это одна из граничных точек отрезка.

2) $\sqrt{x+1} = 4 \implies x+1 = 16 \implies x = 15$. Значение $15$ не принадлежит полуинтервалу $(1; 5]$, значит, это не корень.

Следовательно, $f(x) = 4$ при $x = -3$.

Ответ: $f(x) = 0$ при $x = -1$; $f(x) = 2$ при $x = -2$ и $x = 3$; $f(x) = 4$ при $x = -3$.

21.57 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+3}, & \text{если } -3 \le x \le 1; \\ 2(x-1)^2, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

а) Постройте график функции $y = f(x)$.

б) При каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень, два корня?

а) Постройте график функции y = f(x).

Функция $y = f(x)$ является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо рассмотреть каждый из двух участков отдельно.

1. На промежутке $-3 \le x \le 1$ функция имеет вид $y = \sqrt{x + 3}$. Это график стандартной функции $y = \sqrt{x}$, смещённый на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Найдём значения функции на концах этого промежутка:
- При $x = -3$, $y = \sqrt{-3 + 3} = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку $(-3; 0)$.
- При $x = 1$, $y = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку $(1; 2)$.
Таким образом, на отрезке $[-3; 1]$ график представляет собой часть параболы (ветвь, направленная вправо), соединяющую точки $(-3; 0)$ и $(1; 2)$. Обе точки принадлежат графику.

2. На промежутке $1 < x \le 3$ функция имеет вид $y = 2(x - 1)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. График получен из параболы $y = 2x^2$ путем смещения на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Вершина этой параболы находится в точке $(1; 0)$. Поскольку интервал для $x$ строго больше 1 ($x > 1$), сама вершина $(1; 0)$ не включается в график (она является "выколотой" точкой). Найдём значение функции на правом конце промежутка:
- При $x = 3$, $y = 2(3 - 1)^2 = 2 \cdot 2^2 = 8$. Получаем точку $(3; 8)$.
- Возьмем промежуточную точку для более точного построения, например $x=2$: $y = 2(2 - 1)^2 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.
Таким образом, на полуинтервале $(1; 3]$ график представляет собой правую ветвь параболы, начинающуюся из выколотой точки $(1; 0)$ и заканчивающуюся в точке $(3; 8)$.

Совместив оба фрагмента на одной координатной плоскости, мы получим искомый график функции $y = f(x)$.

Ответ: График функции построен путем объединения двух частей: графика $y = \sqrt{x+3}$ на отрезке $[-3; 1]$ и графика $y = 2(x-1)^2$ на полуинтервале $(1; 3]$.

б) При каких значениях p уравнение f(x) = p имеет один корень, два корня?

Количество корней уравнения $f(x) = p$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Проанализируем это количество, мысленно перемещая прямую $y = p$ вдоль оси ординат.

- При $p < 0$ и $p > 8$: Прямая $y=p$ не имеет общих точек с графиком функции, так как наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 8. Корней нет.

- При $p = 0$: Прямая $y=0$ пересекает график только в одной точке $(-3; 0)$. Точка $(1; 0)$ является выколотой. Следовательно, уравнение имеет один корень.

- При $0 < p < 2$: Прямая $y=p$ пересекает и первую часть графика ($y = \sqrt{x+3}$), и вторую ($y = 2(x-1)^2$). Каждую часть она пересекает в одной точке. Следовательно, уравнение имеет два корня.

- При $p = 2$: Прямая $y=2$ проходит через точки $(1; 2)$ и $(2; 2)$, обе из которых принадлежат графику. Следовательно, уравнение имеет два корня.

- При $2 < p \le 8$: Прямая $y=p$ пересекает только вторую, параболическую, часть графика в одной точке. Например, при $p=8$ это точка $(3;8)$. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Сводя результаты анализа, получаем:
- Уравнение имеет один корень при $p=0$ и при $p \in (2, 8]$.
- Уравнение имеет два корня при $p \in (0, 2]$.

Ответ: один корень при $p=0$ и при $p \in (2; 8]$; два корня при $p \in (0; 2]$.

21.58 Постройте график функции:

а) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)^2;$

б) $y = \frac{x + 3}{x^2 - 9};$

в) $y = \frac{|1 - x|}{x - 1}(x - 3)^2;$

г) $y = \frac{6 - 3x}{x^2 - 4}.$

а) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)^2$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение функции, раскрыв модуль. Выражение $\frac{|x|}{x}$ равно 1 при $x > 0$ и -1 при $x < 0$. Таким образом, функцию можно представить в виде системы: $y = \begin{cases} (x - 2)^2, & \text{если } x > 0 \\ -(x - 2)^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

3. Построим график для каждой части системы.

Первая часть: $y = (x-2)^2$ при $x > 0$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.
Так как мы рассматриваем эту функцию только для $x>0$, нужно найти значение функции в точке, к которой график стремится при $x \to 0^+$.
$y(0) = (0-2)^2 = 4$.
Поскольку точка $x=0$ не входит в область определения, на графике в точке $(0, 4)$ будет "выколотая" точка (пустой кружок).

Вторая часть: $y = -(x-2)^2$ при $x < 0$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы также находится в точке $(2, 0)$, но эта точка не входит в рассматриваемый интервал $x < 0$.
Найдем значение функции в точке, к которой график стремится при $x \to 0^-$.
$y(0) = -(0-2)^2 = -4$.
На графике в точке $(0, -4)$ также будет "выколотая" точка.

4. Объединим полученные части на одной координатной плоскости.
График состоит из двух частей парабол. Для $x > 0$ — это часть параболы $y=(x-2)^2$ с вершиной в $(2,0)$ и выколотой точкой $(0,4)$. Для $x < 0$ — это часть параболы $y=-(x-2)^2$ с выколотой точкой $(0,-4)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол:

• При $x > 0$ это график функции $y = (x-2)^2$, который является параболой с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями вверх. Точка $(0, 4)$ на оси OY выколота.
• При $x < 0$ это график функции $y = -(x-2)^2$, который является параболой с ветвями вниз. Точка $(0, -4)$ на оси OY выколота.

б) $y = \frac{x+3}{x^2 - 9}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$. $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $y = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)}$.

При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x+3)$: $y = \frac{1}{x-3}$.

3. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x-3}$ за исключением точки, где $x = -3$. График функции $y = \frac{1}{x-3}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо.

• Вертикальная асимптота: $x = 3$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

4. Найдем координаты "выколотой" точки. Она соответствует значению $x = -3$. Подставим это значение в упрощенную функцию: $y(-3) = \frac{1}{-3-3} = -\frac{1}{6}$. Следовательно, точка с координатами $(-3, -1/6)$ выколота на графике.

Ответ: График функции является гиперболой $y = \frac{1}{x-3}$ с вертикальной асимптотой $x=3$, горизонтальной асимптотой $y=0$ и выколотой точкой $(-3, -1/6)$.

в) $y = \frac{|1-x|}{x-1}(x-3)^2$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упростим выражение. Учтем, что $|1-x| = |-(x-1)| = |x-1|$. Тогда $\frac{|1-x|}{x-1} = \frac{|x-1|}{x-1}$. Раскроем модуль: $\frac{|x-1|}{x-1} = \begin{cases} 1, & \text{если } x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \\ -1, & \text{если } x-1 < 0 \Rightarrow x < 1 \end{cases}$

Таким образом, исходная функция равна: $y = \begin{cases} (x-3)^2, & \text{если } x > 1 \\ -(x-3)^2, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

3. Построим график для каждой части.

Первая часть: $y = (x-3)^2$ при $x > 1$.
Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(3, 0)$. Точка $(3,0)$ принадлежит данному промежутку. Найдем предел функции при $x \to 1^+$. $y(1) = (1-3)^2 = 4$. Так как $x=1$ не входит в ОДЗ, точка $(1, 4)$ будет выколотой.

Вторая часть: $y = -(x-3)^2$ при $x < 1$.
Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(3, 0)$ (которая не принадлежит данному промежутку). Найдем предел функции при $x \to 1^-$. $y(1) = -(1-3)^2 = -4$. Точка $(1, -4)$ будет выколотой.

4. Объединим графики. Для $x > 1$ строим параболу $y=(x-3)^2$ с выколотой точкой $(1,4)$. Для $x < 1$ строим параболу $y=-(x-3)^2$ с выколотой точкой $(1,-4)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол:

• При $x > 1$ это график функции $y = (x-3)^2$ (парабола с вершиной в $(3, 0)$ и ветвями вверх) с выколотой точкой $(1, 4)$.
• При $x < 1$ это график функции $y = -(x-3)^2$ (парабола с ветвями вниз) с выколотой точкой $(1, -4)$.

г) $y = \frac{6-3x}{x^2-4}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x^2-4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель и знаменатель на множители: $y = \frac{3(2-x)}{(x-2)(x+2)} = \frac{-3(x-2)}{(x-2)(x+2)}$.

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на $(x-2)$: $y = \frac{-3}{x+2}$.

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{-3}{x+2}$ за исключением точки, где $x=2$. График функции $y = \frac{-3}{x+2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-3}{x}$ на 2 единицы влево.

• Вертикальная асимптота: $x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Так как коэффициент в числителе отрицательный ($-3 < 0$), ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот.

4. Найдем координаты "выколотой" точки. Она соответствует значению $x = 2$. Подставим это значение в упрощенную функцию: $y(2) = \frac{-3}{2+2} = -\frac{3}{4}$. Следовательно, точка с координатами $(2, -3/4)$ выколота на графике.

Ответ: График функции является гиперболой $y = \frac{-3}{x+2}$ с вертикальной асимптотой $x=-2$, горизонтальной асимптотой $y=0$ и выколотой точкой $(2, -3/4)$.