Страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Постройте график функции:

21.35 а) $y = x^2 - 2x + 1;$

б) $y = x^2 + 4x + 4;$

в) $y = x^2 + 10x + 25;$

г) $y = x^2 - 6x + 9.$

а) $y = x^2 - 2x + 1$

Заметим, что правая часть уравнения является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, мы можем упростить выражение:

$y = (x - 1)^2$

Графиком этой функции является парабола, которая получена из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 1 единицу вправо.

• Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 1$.
• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему:

Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости вершину $(1, 0)$ и точки из таблицы, а затем провести через них плавную кривую, симметричную относительно прямой $x=1$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2x + 1$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y = x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, ветви направлены вверх.

б) $y = x^2 + 4x + 4$

Правая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу сокращенного умножения $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$y = (x + 2)^2$

Графиком этой функции является парабола. Этот график можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 2 единицы влево.

• Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = -2$.
• Ветви параболы направлены вверх.

Составим таблицу значений для построения:

Для построения графика нужно нанести на координатную плоскость вершину $(-2, 0)$ и точки из таблицы, затем соединить их плавной кривой, симметричной относительно прямой $x=-2$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 4x + 4$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y = x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$, ветви направлены вверх.

в) $y = x^2 + 10x + 25$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу полного квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$y = (x + 5)^2$

Графиком функции является парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом вдоль оси Ox на 5 единиц влево.

• Вершина параболы находится в точке $(-5, 0)$.
• Ось симметрии — прямая $x = -5$.
• Ветви параболы направлены вверх.

Найдем несколько точек для построения графика:

Для построения графика следует отметить вершину $(-5, 0)$ и другие точки из таблицы на координатной плоскости, после чего провести через них плавную параболическую кривую, симметричную относительно оси $x=-5$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 10x + 25$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y = x^2$ на 5 единиц влево вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(-5, 0)$, ветви направлены вверх.

г) $y = x^2 - 6x + 9$

Выражение в правой части является полным квадратом разности. Используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$y = (x - 3)^2$

График этой функции — парабола. Он получается из графика базовой параболы $y = x^2$ сдвигом вдоль оси абсцисс (оси Ox) на 3 единицы вправо.

• Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$.
• Ось симметрии — прямая $x = 3$.
• Ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика вычислим координаты нескольких точек:

Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить вершину $(3, 0)$ и рассчитанные точки, а затем соединить их плавной кривой, симметричной относительно прямой $x=3$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 6x + 9$ — это парабола, полученная сдвигом графика функции $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$, ветви направлены вверх.

21.36 a) $y = -x^2 + 8x - 16;$

б) $y = 14x - x^2 - 49;$

в) $y = -x^2 + 12x - 36;$

г) $y = 4x - x^2 - 4.$

а) $y = -x^2 + 8x - 16$

Для решения данной задачи преобразуем выражение. Сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена в скобках:

$y = -(x^2 - 8x + 16)$

Выражение в скобках $x^2 - 8x + 16$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 4$. Проверим: $a^2 - 2ab + b^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.

Таким образом, мы можем свернуть выражение в скобках:

$y = -(x - 4)^2$

Это уравнение параболы, смещенной по оси абсцисс, с вершиной в точке $(4, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: $y = -(x - 4)^2$.

б) $y = 14x - x^2 - 49$

Сначала перегруппируем слагаемые, чтобы привести выражение к стандартному виду $ax^2 + bx + c$:

$y = -x^2 + 14x - 49$

Теперь вынесем знак минус за скобки:

$y = -(x^2 - 14x + 49)$

Выражение в скобках $x^2 - 14x + 49$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = x$ и $b = 7$. Проверим: $a^2 - 2ab + b^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49$.

Следовательно, можем записать функцию в виде:

$y = -(x - 7)^2$

Это уравнение параболы с вершиной в точке $(7, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: $y = -(x - 7)^2$.

в) $y = -x^2 + 12x - 36$

Вынесем знак минус за скобки, чтобы упростить выражение:

$y = -(x^2 - 12x + 36)$

Выражение в скобках $x^2 - 12x + 36$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = 6$. Проверим: $a^2 - 2ab + b^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 - 12x + 36$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = -(x - 6)^2$

Это уравнение параболы с вершиной в точке $(6, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: $y = -(x - 6)^2$.

г) $y = 4x - x^2 - 4$

Перегруппируем слагаемые для приведения к стандартному виду:

$y = -x^2 + 4x - 4$

Вынесем знак минус за скобки:

$y = -(x^2 - 4x + 4)$

Выражение в скобках $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = x$ и $b = 2$. Проверим: $a^2 - 2ab + b^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$.

Тогда функция записывается как:

$y = -(x - 2)^2$

Это уравнение параболы с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: $y = -(x - 2)^2$.

21.37 a) $y = 3x^2 + 24x + 48;$

б) $y = 2x^2 - 20x + 50;$

в) $y = 20x - 2x^2 - 50;$

г) $y = 4x^2 + 56x + 196.$

а) Дано уравнение: $y = 3x^2 + 24x + 48$. Задача состоит в том, чтобы представить этот квадратный трехчлен в виде $a(x-h)^2+k$, то есть выделить полный квадрат.

Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:

$y = 3(x^2 + 8x + 16)$

Выражение в скобках, $x^2 + 8x + 16$, является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 4$, поскольку $x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$. Следовательно, выражение в скобках равно $(x+4)^2$.

Подставив это обратно, получаем:

$y = 3(x+4)^2$

Ответ: $y = 3(x+4)^2$.

б) Дано уравнение: $y = 2x^2 - 20x + 50$. Выделим полный квадрат.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$y = 2(x^2 - 10x + 25)$

Выражение в скобках, $x^2 - 10x + 25$, является полным квадратом разности. Согласно формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, при $a = x$ и $b = 5$ имеем $x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$. Таким образом, выражение в скобках равно $(x-5)^2$.

В результате получаем:

$y = 2(x-5)^2$

Ответ: $y = 2(x-5)^2$.

в) Дано уравнение: $y = 20x - 2x^2 - 50$.

Сначала перепишем уравнение в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, расположив члены по убыванию степеней $x$:

$y = -2x^2 + 20x - 50$

Вынесем общий множитель -2 за скобки:

$y = -2(x^2 - 10x + 25)$

Выражение в скобках, $x^2 - 10x + 25$, является полным квадратом разности $(x-5)^2$, как и в предыдущем задании.

Следовательно, итоговое уравнение имеет вид:

$y = -2(x-5)^2$

Ответ: $y = -2(x-5)^2$.

г) Дано уравнение: $y = 4x^2 + 56x + 196$. Выделим полный квадрат.

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$y = 4(x^2 + 14x + 49)$

Выражение в скобках, $x^2 + 14x + 49$, является полным квадратом суммы. Согласно формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, при $a = x$ и $b = 7$ имеем $x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$. Таким образом, выражение в скобках равно $(x+7)^2$.

В результате получаем:

$y = 4(x+7)^2$

Ответ: $y = 4(x+7)^2$.

21.38 a) $y = \sqrt{(x - 4)^2}$;

б) $y = \sqrt{(x + 6)^2}$;

в) $y = \sqrt{(x - 1)^2}$;

г) $y = \sqrt{(x + 1)^2}$.

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(x-4)^2}$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что для любого действительного числа $a$ справедливо тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$).

В нашем случае, выражением под знаком корня является $(x-4)^2$. Применяя указанное свойство, где $a = x-4$, получаем:

$y = \sqrt{(x-4)^2} = |x-4|$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна функции модуля от выражения $(x-4)$.

Ответ: $y = |x-4|$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(x+6)^2}$.

Аналогично предыдущему пункту, используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

Здесь в качестве $a$ выступает выражение $(x+6)$.

Следовательно, мы можем упростить функцию следующим образом:

$y = \sqrt{(x+6)^2} = |x+6|$.

Ответ: $y = |x+6|$.

в) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(x-1)^2}$.

Применяем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ для выражения под знаком корня.

В данном случае $a = x-1$.

Преобразование функции дает следующий результат:

$y = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$.

Ответ: $y = |x-1|$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(x+1)^2}$.

Используем то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Подставляем $a = x+1$ в это тождество.

В результате упрощения получаем:

$y = \sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$.

Ответ: $y = |x+1|$.

21.39 a) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$;

б) $y = \sqrt{x^2 + 10x + 25}$;

в) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 4}$;

г) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.

а) Данная функция $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$. Выражение под корнем, $x^2 - 2x + 1$, является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=1$, мы можем переписать подкоренное выражение как $(x-1)^2$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = \sqrt{(x-1)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{A^2} = |A|$. Применяя это свойство, получаем:
$y = |x-1|$.
Ответ: $y = |x - 1|$.

б) Данная функция $y = \sqrt{x^2 + 10x + 25}$. Выражение под корнем, $x^2 + 10x + 25$, является полным квадратом суммы. Используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=5$, мы можем переписать подкоренное выражение как $(x+5)^2$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = \sqrt{(x+5)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{A^2} = |A|$. Применяя это свойство, получаем:
$y = |x+5|$.
Ответ: $y = |x + 5|$.

в) Данная функция $y = \sqrt{x^2 + 4x + 4}$. Выражение под корнем, $x^2 + 4x + 4$, является полным квадратом суммы. Используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=2$, мы можем переписать подкоренное выражение как $(x+2)^2$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = \sqrt{(x+2)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{A^2} = |A|$. Применяя это свойство, получаем:
$y = |x+2|$.
Ответ: $y = |x + 2|$.

г) Данная функция $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$. Выражение под корнем, $x^2 - 6x + 9$, является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3$, мы можем переписать подкоренное выражение как $(x-3)^2$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = \sqrt{(x-3)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{A^2} = |A|$. Применяя это свойство, получаем:
$y = |x-3|$.
Ответ: $y = |x - 3|$.

21.40 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sqrt{x^2 + 2x + 1}$:

а) на отрезке $[-2; 2]$;

б) на луче $[0; +\infty)$;

в) на луче $(-\infty; 3]$;

г) на отрезке $[-5; 0]$.

Для начала упростим заданную функцию. Выражение под корнем представляет собой формулу квадрата суммы:

$y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{(x+1)^2}$

По определению квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, функция принимает вид:

$y = |x+1|$

График этой функции — это график функции $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-1, 0)$. В этой точке функция достигает своего глобального наименьшего значения, равного 0. Функция убывает при $x < -1$ и возрастает при $x > -1$.

Отрезок $[-2; 2]$ содержит точку минимума функции $x = -1$. Таким образом, наименьшее значение функции на этом отрезке равно значению в этой точке.

$y_{наим} = y(-1) = |-1 + 1| = 0$

Наибольшее значение на замкнутом отрезке достигается либо в точке максимума, либо на концах отрезка. Поскольку у функции нет локальных максимумов, проверим значения на концах отрезка:

$y(-2) = |-2 + 1| = |-1| = 1$

$y(2) = |2 + 1| = |3| = 3$

Сравнивая значения на концах, находим наибольшее значение: $\max(1, 3) = 3$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $3$.

На луче $[0; +\infty)$ все значения $x$ положительны, поэтому $x+1 > 0$. На этом промежутке модуль можно раскрыть со знаком плюс: $y = x+1$.

Это линейная функция, которая возрастает на всей своей области определения. Следовательно, наименьшее значение на луче $[0; +\infty)$ она принимает в его начальной точке, то есть при $x = 0$.

$y_{наим} = y(0) = |0 + 1| = 1$

Так как функция непрерывно возрастает при $x \to +\infty$, она не ограничена сверху, и наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.

Луч $(-\infty; 3]$ содержит точку глобального минимума функции $x = -1$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче равно $0$.

$y_{наим} = y(-1) = |-1 + 1| = 0$

Чтобы найти наибольшее значение, рассмотрим поведение функции на бесконечности. При $x \to -\infty$ (что входит в рассматриваемый луч), значения $x$ отрицательны и $x < -1$. На этом интервале $y = -(x+1) = -x - 1$.

При $x \to -\infty$, значение $y = -x - 1 \to +\infty$. Функция не ограничена сверху, поэтому наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

Отрезок $[-5; 0]$ содержит точку минимума функции $x = -1$. Значит, наименьшее значение функции на этом отрезке равно $0$.

$y_{наим} = y(-1) = |-1 + 1| = 0$

Наибольшее значение ищем на концах отрезка:

$y(-5) = |-5 + 1| = |-4| = 4$

$y(0) = |0 + 1| = |1| = 1$

Сравнивая эти значения, находим наибольшее: $\max(4, 1) = 4$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $4$.

21.41 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sqrt{x^2 - 10x + 25}$:

а) на отрезке $[4; 7]$;

б) на луче $(-\infty; 5]$;

в) на луче $[2; +\infty)$;

г) на полуинтервале $[-1; 6)$.

Для начала упростим данную функцию. Выражение под корнем представляет собой полный квадрат разности:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

Следовательно, функция принимает вид:

$y = \sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|$

Это функция модуля, график которой представляет собой "галочку" с вершиной в точке $x = 5$. В этой точке функция достигает своего глобального минимума, равного $y(5) = |5 - 5| = 0$. При $x < 5$ функция убывает (представляется как $y = -(x-5) = 5-x$), а при $x > 5$ функция возрастает (представляется как $y = x - 5$).

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции на каждом из заданных промежутков.

а) на отрезке [4; 7];

Данный отрезок $[4; 7]$ содержит точку минимума функции $x=5$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в этой точке:

$y_{наим} = y(5) = |5 - 5| = 0$

Наибольшее значение на отрезке ищется среди значений на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = 4$ и $x = 7$:

$y(4) = |4 - 5| = |-1| = 1$

$y(7) = |7 - 5| = |2| = 2$

Сравнивая полученные значения, находим, что наибольшее значение равно 2.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

б) на луче (-∞; 5];

На данном луче $x \le 5$. На этом промежутке функция имеет вид $y = 5 - x$. Это линейная убывающая функция. Наименьшее значение достигается в крайней правой точке промежутка, то есть при $x = 5$:

$y_{наим} = y(5) = |5 - 5| = 0$

Поскольку функция убывает на всем луче $(-\infty; 5]$, при $x \to -\infty$ значение $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Следовательно, наибольшего значения у функции на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) на луче [2; +∞);

Данный луч $[2; +\infty)$ содержит точку минимума функции $x=5$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче также достигается в этой точке:

$y_{наим} = y(5) = |5 - 5| = 0$

На промежутке $[5; +\infty)$, который является частью рассматриваемого луча, функция возрастает ($y = x - 5$). При $x \to +\infty$ значение $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, наибольшего значения у функции на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

г) на полуинтервале [-1; 6).

Данный полуинтервал $[-1; 6)$ содержит точку минимума функции $x=5$. Таким образом, наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в этой точке:

$y_{наим} = y(5) = |5 - 5| = 0$

Для нахождения наибольшего значения нужно исследовать поведение функции на концах промежутка. Левый конец $x = -1$ принадлежит промежутку, а правый $x = 6$ — нет.

Вычислим значение в левой точке:

$y(-1) = |-1 - 5| = |-6| = 6$

Рассмотрим поведение функции вблизи правого конца. При $x$, стремящемся к 6 слева, значение $y$ стремится к $|6-5| = 1$. Так как точка $x=6$ не включена в интервал, значение 1 не достигается. Сравнивая значение на левом конце $y(-1)=6$ со значениями на остальной части интервала (которые не превышают 6), делаем вывод, что 6 является наибольшим значением.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 6.

21.42 Пусть A — наибольшее значение функции $y = -3(x + 4)^2$ на отрезке $[-5; -3]$, а B — наибольшее значение функции $y = \frac{3}{x}$ на луче $[1; +\infty)$. Что больше: A или B? Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение A

Рассмотрим функцию $y = -3(x + 4)^2$ на отрезке $[-5; -3]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент перед скобкой $a = -3$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -4$. Поскольку точка $x_0 = -4$ принадлежит отрезку $[-5; -3]$, то наибольшее значение на этом отрезке функция принимает в своей вершине. Вычислим это значение: $A = y(-4) = -3(-4 + 4)^2 = -3 \cdot 0^2 = 0$.

Ответ: $A = 0$.

Нахождение B

Рассмотрим функцию $y = \frac{3}{x}$ на луче $[1; +\infty)$. Это функция обратной пропорциональности. На промежутке $[1; +\infty)$ она является убывающей, так как с увеличением положительного значения $x$ значение дроби $\frac{3}{x}$ уменьшается. Следовательно, наибольшее значение на этом луче функция принимает в его начальной точке, то есть при $x = 1$. Вычислим это значение: $B = y(1) = \frac{3}{1} = 3$.

Ответ: $B = 3$.

Сравнение и графическая иллюстрация

Мы нашли значения $A = 0$ и $B = 3$. Сравнивая их, получаем $3 > 0$, что означает $B > A$.

Графическая иллюстрация:
Для наглядного представления построим эскизы графиков обеих функций на заданных промежутках в одной системе координат.
1. График функции $y = -3(x + 4)^2$ на отрезке $[-5; -3]$ представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(-4, 0)$. Эта точка является точкой максимума, то есть $A=0$. График проходит также через точки $(-5, -3)$ и $(-3, -3)$.
2. График функции $y = \frac{3}{x}$ на луче $[1; +\infty)$ является ветвью гиперболы, расположенной в первом квадранте. Он начинается в точке $(1, 3)$, которая является точкой максимума ($B=3$), и далее убывает, приближаясь к оси абсцисс.
На графиках видно, что наибольшее значение первой функции равно 0, а второй — 3. Это подтверждает, что $B$ больше, чем $A$.

Ответ: $B > A$.

21.43 Пусть $M$ — наименьшее значение функции $y = 5(x + 3)^2$ на отрезке $[-4; -2]$, а $N$ — наибольшее значение функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[0; 1]$. Что больше: $M$ или $N$? Сделайте графическую иллюстрацию.

1. Нахождение наименьшего значения M функции $y = 5(x + 3)^2$ на отрезке $[-4; -2]$

Данная функция $y = 5(x + 3)^2$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при скобке в квадрате $a = 5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы является ее точкой минимума. Координаты вершины можно найти из вида уравнения $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. В нашем случае $y = 5(x - (-3))^2 + 0$.

Следовательно, вершина находится в точке с координатами $(x_v, y_v) = (-3, 0)$.

Проверим, принадлежит ли абсцисса вершины $x_v = -3$ заданному отрезку $[-4; -2]$. Да, принадлежит, так как $-4 \le -3 \le -2$.

Поскольку точка минимума (вершина) находится внутри отрезка, наименьшее значение функции на этом отрезке равно ординате вершины.

Таким образом, $M = y_{min} = y(-3) = 0$.

Ответ: $M = 0$.

2. Нахождение наибольшего значения N функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[0; 1]$

Данная функция $y = 2x + 3$ является линейной. Ее график — прямая.

Угловой коэффициент (коэффициент при $x$) равен $k=2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей на всей своей области определения, включая отрезок $[0; 1]$.

Для возрастающей функции наибольшее значение на отрезке достигается в его правом конце, то есть при $x = 1$.

Найдем это значение:

$N = y_{max} = y(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.

Ответ: $N = 5$.

3. Сравнение M и N

Мы получили значения $M = 0$ и $N = 5$.

Сравнивая эти два числа, очевидно, что $5 > 0$.

Следовательно, $N > M$.

Ответ: $N$ больше, чем $M$.

4. Графическая иллюстрация

Построим графики обеих функций на заданных отрезках в одной системе координат.

График функции $y = 5(x + 3)^2$ на отрезке $[-4; -2]$ — это часть параболы (показана синим цветом) с вершиной в точке $(-3; 0)$. В этой точке достигается наименьшее значение функции $M=0$.

График функции $y = 2x + 3$ на отрезке $[0; 1]$ — это отрезок прямой (показан красным цветом), который соединяет точки $(0; 3)$ и $(1; 5)$. В точке $(1; 5)$ достигается наибольшее значение функции $N=5$.

21.44 Пусть $K$ — наибольшее значение функции $y = -\frac{1}{x + 2}$ на луче $(-\infty; -3]$, а $L$ — наименьшее значение функции $y = -3x + 2$ на луче $(-\infty; 1]$. Что больше: $L$ или $K$? Сделайте графическую иллюстрацию.

Пусть K — наибольшее значение функции $y = -\frac{1}{x+2}$ на луче $(-\infty; -3]$

Для нахождения наибольшего значения функции $y(x) = -\frac{1}{x+2}$ на заданном луче, исследуем ее на монотонность. Найдем производную функции:

$y' = \left(-\frac{1}{x+2}\right)' = \left(-(x+2)^{-1}\right)' = -(-1)(x+2)^{-2} \cdot (x+2)' = \frac{1}{(x+2)^2}$.

Поскольку квадрат знаменателя $(x+2)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения, производная $y' > 0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения, в том числе и на луче $(-\infty; -3]$.

Так как функция возрастает, свое наибольшее значение на этом луче она примет в его крайней правой точке, то есть при $x = -3$.

Вычислим значение $K$:

$K = y(-3) = -\frac{1}{-3 + 2} = -\frac{1}{-1} = 1$.

Ответ: $K = 1$.

a L — наименьшее значение функции $y = -3x + 2$ на луче $(-\infty; 1]$

Функция $y(x) = -3x + 2$ является линейной. Ее угловой коэффициент $k = -3$ отрицателен, что означает, что функция является убывающей на всей числовой прямой, включая луч $(-\infty; 1]$.

Так как функция убывает, свое наименьшее значение на этом луче она примет в его крайней правой точке, то есть при $x = 1$.

Вычислим значение $L$:

$L = y(1) = -3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

Ответ: $L = -1$.

Что больше: L или K?

Мы нашли, что $K = 1$ и $L = -1$.

Сравним эти значения: $1 > -1$.

Таким образом, $K$ больше, чем $L$.

Ответ: $K > L$.

Сделайте графическую иллюстрацию.

Построим на одной координатной плоскости графики обеих функций и отметим точки, в которых достигаются значения $K$ и $L$.

1. График функции $y = -\frac{1}{x+2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. На луче $(-\infty; -3]$ наибольшее значение $K=1$ достигается в точке $(-3, 1)$.

2. График функции $y = -3x + 2$ — это прямая. На луче $(-\infty; 1]$ наименьшее значение $L=-1$ достигается в точке $(1, -1)$.

Ниже представлена графическая иллюстрация. Красным цветом выделена часть графика, на которой достигается значение $K$. Фиолетовым цветом выделена часть графика, на которой достигается значение $L$.

График наглядно показывает, что ордината точки $K(-3, 1)$ больше ординаты точки, где достигается $L(1, -1)$.

Ответ: Графическая иллюстрация, подтверждающая, что $K > L$, приведена выше.