Страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Постройте график функции:

22.7 а) $y = 2x^2 + 3;$

б) $y = -x^2 - 4;$

в) $y = 4x^2 - 5;$

г) $y = -3x^2 + 2.$

а) $y = 2x^2 + 3$

График функции $y = 2x^2 + 3$ является параболой. Для ее построения выполним следующие шаги:
1. Сначала построим базовую параболу $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент $a=2 > 0$) и которая "уже", чем парабола $y=x^2$. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$.
2. Затем выполним преобразование. Слагаемое $+3$ означает, что мы должны сдвинуть график параболы $y = 2x^2$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.
3. Вершина новой параболы $y = 2x^2 + 3$ будет находиться в точке $(0, 3)$.
4. Найдем несколько контрольных точек для более точного построения. Составим таблицу значений:

x-2-1012
y1153511

Получаем точки: $(-2, 11)$, $(-1, 5)$, $(0, 3)$, $(1, 5)$, $(2, 11)$.
5. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой, получая искомый график.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 3$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 3)$, ветви которой направлены вверх. График получен путем сдвига параболы $y = 2x^2$ на 3 единицы вверх.

б) $y = -x^2 - 4$

График функции $y = -x^2 - 4$ является параболой.
1. Базовый график — это парабола $y = -x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз (т.к. коэффициент $a=-1 < 0$), а вершина находится в точке $(0, 0)$.
2. Слагаемое $-4$ означает, что мы должны сдвинуть график параболы $y = -x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси $Oy$.
3. Вершина параболы $y = -x^2 - 4$ будет находиться в точке $(0, -4)$.
4. Найдем контрольные точки, составив таблицу значений:

x-2-1012
y-8-5-4-5-8

Получаем точки: $(-2, -8)$, $(-1, -5)$, $(0, -4)$, $(1, -5)$, $(2, -8)$.
5. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 4$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -4)$, ветви которой направлены вниз. График получен путем сдвига параболы $y = -x^2$ на 4 единицы вниз.

в) $y = 4x^2 - 5$

График функции $y = 4x^2 - 5$ является параболой.
1. Базовый график — $y = 4x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. $a=4 > 0$), вершина в точке $(0, 0)$. Она более "вытянута" вдоль оси $Oy$ по сравнению с $y=x^2$.
2. Слагаемое $-5$ означает сдвиг графика $y = 4x^2$ на 5 единиц вниз вдоль оси $Oy$.
3. Вершина параболы $y = 4x^2 - 5$ будет в точке $(0, -5)$.
4. Найдем контрольные точки:

x-2-1012
y11-1-5-111

Получаем точки: $(-2, 11)$, $(-1, -1)$, $(0, -5)$, $(1, -1)$, $(2, 11)$.
5. Отмечаем точки на плоскости и соединяем плавной линией.

Ответ: График функции $y = 4x^2 - 5$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -5)$, ветви которой направлены вверх. График получен путем сдвига параболы $y = 4x^2$ на 5 единиц вниз.

г) $y = -3x^2 + 2$

График функции $y = -3x^2 + 2$ является параболой.
1. Базовый график — $y = -3x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз (т.к. $a=-3 < 0$), вершина в точке $(0, 0)$. Парабола "уже", чем $y=-x^2$.
2. Слагаемое $+2$ означает сдвиг графика $y = -3x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.
3. Вершина параболы $y = -3x^2 + 2$ находится в точке $(0, 2)$.
4. Найдем контрольные точки:

x-2-1012
y-10-12-1-10

Получаем точки: $(-2, -10)$, $(-1, -1)$, $(0, 2)$, $(1, -1)$, $(2, -10)$.
5. Отмечаем точки и соединяем их плавной линией, чтобы получить график.

Ответ: График функции $y = -3x^2 + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вниз. График получен путем сдвига параболы $y = -3x^2$ на 2 единицы вверх.

22.8 a) $y = |x| + 4$;

б) $y = -|x| - 1$;

в) $y = |x| - 2;

г) $y = -|x| + 3.

а) $y = |x| + 4$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Исходным графиком является график функции $y = |x|$. Этот график представляет собой "галочку" (V-образную кривую), состоящую из двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. Функция $y = |x| + 4$ получается из функции $y = |x|$ путем прибавления константы 4. Согласно правилам преобразования графиков, это соответствует сдвигу (параллельному переносу) исходного графика вдоль оси ординат (оси Oy) на 4 единицы вверх.

Таким образом, каждая точка графика $y = |x|$ смещается на 4 единицы вверх. Вершина из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, 4)$. Ветви "галочки" по-прежнему направлены вверх.

Ответ: График функции $y = |x| + 4$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Это V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 4)$, ветви которой направлены вверх.

б) $y = -|x| - 1$

Построение графика этой функции также выполним с помощью преобразований.

1. Начнем с базового графика $y = |x|$.

2. Первое преобразование — знак "минус" перед модулем. График функции $y = -|x|$ получается из графика $y = |x|$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). В результате V-образная кривая "переворачивается", ее ветви направляются вниз, а вершина остается в точке $(0, 0)$.

3. Второе преобразование — вычитание константы 1. График функции $y = -|x| - 1$ получается из графика $y = -|x|$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Таким образом, вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -1)$, а ветви по-прежнему направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -|x| - 1$ — это график функции $y = |x|$, отраженный относительно оси Ox и затем сдвинутый на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Это перевернутая V-образная кривая с вершиной в точке $(0, -1)$, ветви которой направлены вниз.

в) $y = |x| - 2$

Используем метод преобразования графиков.

1. Исходный график — $y = |x|$, V-образная кривая с вершиной в $(0, 0)$ и ветвями вверх.

2. Функция $y = |x| - 2$ получается из функции $y = |x|$ вычитанием константы 2. Это соответствует сдвигу графика $y = |x|$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Вершина графика перемещается из $(0, 0)$ в точку $(0, -2)$. Ветви направлены вверх. График пересекает ось Ox, когда $y = 0$. Решим уравнение $|x| - 2 = 0$, откуда $|x| = 2$, что дает $x = 2$ и $x = -2$. Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y = |x| - 2$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Это V-образная кривая с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вверх.

г) $y = -|x| + 3$

Построение графика выполним поэтапно.

1. Исходный график: $y = |x|$.

2. Первое преобразование: график $y = -|x|$ получается отражением графика $y = |x|$ относительно оси Ox. Получаем перевернутую V-образную кривую с вершиной в $(0, 0)$ и ветвями вниз.

3. Второе преобразование: график функции $y = -|x| + 3$ получается из графика $y = -|x|$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 3)$. Ветви направлены вниз. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-|x| + 3 = 0$. Отсюда $|x| = 3$, что дает $x = 3$ и $x = -3$. Точки пересечения: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: График функции $y = -|x| + 3$ — это график функции $y = |x|$, отраженный относительно оси Ox и затем сдвинутый на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Это перевернутая V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 3)$, ветви которой направлены вниз.

22.9 a) $y = \sqrt{x} + 5$;

б) $y = -\sqrt{x} - 3$;

в) $y = \sqrt{x} - 2$;

г) $y = -\sqrt{x} + 4$.

а) Для функции $y = \sqrt{x} + 5$ область определения находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. В данном случае это $x$. Следовательно, $x \ge 0$. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения области значений функции проанализируем выражение. Мы знаем, что по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x} \ge 0$. Тогда, прибавляя 5 к обеим частям неравенства, получаем: $\sqrt{x} + 5 \ge 5$. Так как $y = \sqrt{x} + 5$, то $y \ge 5$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = [5; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [5; +\infty)$.

б) Для функции $y = -\sqrt{x} - 3$ область определения также определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения области значений воспользуемся тем, что $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим это неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $-\sqrt{x} \le 0$. Теперь вычтем 3 из обеих частей: $-\sqrt{x} - 3 \le -3$. Так как $y = -\sqrt{x} - 3$, то $y \le -3$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; -3]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; -3]$.

в) Для функции $y = \sqrt{x - 2}$ подкоренное выражение равно $x - 2$. Условие неотрицательности подкоренного выражения дает нам неравенство: $x - 2 \ge 0$. Решая его, получаем $x \ge 2$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [2; +\infty)$.

Область значений определяется тем, что арифметический квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение. Таким образом, $y = \sqrt{x - 2} \ge 0$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [2; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

г) Для функции $y = -\sqrt{x} + 4$ область определения определяется условием $x \ge 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения области значений начнем с того, что $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим на -1: $-\sqrt{x} \le 0$. Прибавим 4 к обеим частям: $-\sqrt{x} + 4 \le 4$. Так как $y = -\sqrt{x} + 4$, то $y \le 4$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

22.10 a) $y = \frac{3}{x} + 4;$

б) $y = -\frac{5}{x} - 1;$

в) $y = \frac{4}{x} - 3;$

г) $y = -\frac{2}{x} + 3.$

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос, будет проведен полный анализ каждой из функций: найдены область определения, область значений и асимптоты графика. Все представленные функции имеют вид $y = \frac{k}{x} + q$, который представляет собой обратную пропорциональность $y = \frac{k}{x}$, смещенную по вертикали на $q$ единиц. Графиком такой функции является гипербола.

Данная функция является обратной пропорциональностью со сдвигом. Она имеет вид $y = \frac{k}{x} + q$, где коэффициент $k=3$ и вертикальный сдвиг $q=4$. График этой функции — гипербола, полученная из графика $y=\frac{3}{x}$ сдвигом на 4 единицы вверх.

Область определения: Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(y): x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Асимптоты: У графика функции есть вертикальная и горизонтальная асимптоты. Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором функция не определена, то есть прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота определяется величиной сдвига $q$. При $x \to \pm\infty$, значение дроби $\frac{3}{x} \to 0$, и тогда $y \to 4$. Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y=4$.

Область значений: Функция может принимать любые значения, кроме значения горизонтальной асимптоты. Область значений $E(y): y \in (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=4$.

Данная функция является обратной пропорциональностью со сдвигом вида $y = \frac{k}{x} + q$, с параметрами $k=-5$ и $q=-1$. График функции — гипербола.

Асимптоты: Вертикальная асимптота возникает там, где знаменатель равен нулю, то есть $x=0$. Горизонтальная асимптота определяется сдвигом $q$, то есть $y=-1$.

Область определения и область значений: Исходя из асимптот, область определения функции $D(y): x \neq 0$, или $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Область значений $E(y): y \neq -1$, или $y \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=-1$.

Данная функция является обратной пропорциональностью со сдвигом вида $y = \frac{k}{x} + q$, с параметрами $k=4$ и $q=-3$. График функции — гипербола.

Асимптоты: Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-3$.

Область определения и область значений: Область определения $D(y): x \neq 0$, или $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Область значений $E(y): y \neq -3$, или $y \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=-3$.

Данная функция является обратной пропорциональностью со сдвигом вида $y = \frac{k}{x} + q$, с параметрами $k=-2$ и $q=3$. График функции — гипербола.

Асимптоты: Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=3$.

Область определения и область значений: Область определения $D(y): x \neq 0$, или $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Область значений $E(y): y \neq 3$, или $y \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$; горизонтальная асимптота: $y=3$.

22.11 Напишите уравнение параболы $y = ax^2 + m$, изображённой:

а) на рис. 41;

б) на рис. 42;

в) на рис. 43;

г) на рис. 44.

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

а) на рис. 41

Общий вид уравнения параболы, симметричной относительно оси OY, — $y = ax^2 + m$. Вершина такой параболы находится в точке с координатами $(0, m)$.

Из графика на рисунке 41 видно, что вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Следовательно, значение $m = 1$.

Уравнение принимает вид: $y = ax^2 + 1$.

Чтобы найти коэффициент $a$, выберем на графике любую другую точку, через которую проходит парабола. Например, точку с координатами $(1, 4)$.

Подставим координаты этой точки ($x=1$, $y=4$) в уравнение:

$4 = a \cdot 1^2 + 1$

$4 = a + 1$

$a = 4 - 1 = 3$

Таким образом, искомое уравнение параболы: $y = 3x^2 + 1$.

Ответ: $y = 3x^2 + 1$.

б) на рис. 42

Вершина параболы, изображенной на рисунке 42, находится в точке $(0, 3)$. Следовательно, в уравнении $y = ax^2 + m$ коэффициент $m = 3$.

Уравнение принимает вид: $y = ax^2 + 3$.

Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике другую точку, например, $(2, -1)$.

Подставим координаты этой точки ($x=2$, $y=-1$) в уравнение:

$-1 = a \cdot 2^2 + 3$

$-1 = 4a + 3$

$4a = -1 - 3$

$4a = -4$

$a = -1$

Таким образом, искомое уравнение параболы: $y = -x^2 + 3$.

Ответ: $y = -x^2 + 3$.

в) на рис. 43

Вершина параболы, изображенной на рисунке 43, находится в точке $(0, -2)$. Следовательно, в уравнении $y = ax^2 + m$ коэффициент $m = -2$.

Уравнение принимает вид: $y = ax^2 - 2$.

Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку с координатами $(1, -4)$.

Подставим координаты этой точки ($x=1$, $y=-4$) в уравнение:

$-4 = a \cdot 1^2 - 2$

$-4 = a - 2$

$a = -4 + 2$

$a = -2$

Таким образом, искомое уравнение параболы: $y = -2x^2 - 2$.

Ответ: $y = -2x^2 - 2$.

г) на рис. 44

Вершина параболы, изображенной на рисунке 44, находится в точке $(0, -7)$. Следовательно, в уравнении $y = ax^2 + m$ коэффициент $m = -7$.

Уравнение принимает вид: $y = ax^2 - 7$.

Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике точку с координатами $(2, -3)$.

Подставим координаты этой точки ($x=2$, $y=-3$) в уравнение:

$-3 = a \cdot 2^2 - 7$

$-3 = 4a - 7$

$4a = -3 + 7$

$4a = 4$

$a = 1$

Таким образом, искомое уравнение параболы: $y = x^2 - 7$.

Ответ: $y = x^2 - 7$.

22.12 Напишите уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x} + m$, изображённой:

a) на рис. 45;

б) на рис. 46;

в) на рис. 47;

г) на рис. 48.

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Рис. 48

а) на рис. 45

Уравнение гиперболы имеет общий вид $y = \frac{k}{x} + m$. График такой функции получается сдвигом графика $y = \frac{k}{x}$ вдоль оси ординат. Прямая $y = m$ является горизонтальной асимптотой графика.

На рисунке 45 горизонтальная асимптота (показана пунктирной линией) — это прямая $y = 2$. Следовательно, $m = 2$.

Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с хорошо читаемыми целыми координатами, например, точку $(1; 3)$. Подставим координаты этой точки и найденное значение $m$ в уравнение гиперболы:

$3 = \frac{k}{1} + 2$

Из этого уравнения находим $k$:

$k = 3 - 2 = 1$

Таким образом, уравнение гиперболы, изображённой на рисунке 45, имеет вид $y = \frac{1}{x} + 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{x} + 2$

б) на рис. 46

На рисунке 46 горизонтальная асимптота — это прямая $y = -3$. Следовательно, в уравнении $y = \frac{k}{x} + m$ коэффициент $m = -3$.

Выберем на графике точку с целыми координатами, например, $(-1; -2)$. Подставим её координаты и значение $m$ в уравнение:

$-2 = \frac{k}{-1} + (-3)$

Решим уравнение относительно $k$:

$-2 = -k - 3$

$-k = -2 + 3$

$-k = 1$

$k = -1$

Таким образом, уравнение гиперболы, изображённой на рисунке 46, имеет вид $y = -\frac{1}{x} - 3$.

Ответ: $y = -\frac{1}{x} - 3$

в) на рис. 47

На рисунке 47 горизонтальная асимптота — это прямая $y = 1$. Следовательно, в уравнении $y = \frac{k}{x} + m$ коэффициент $m = 1$.

Выберем на графике точку с целыми координатами, например, $(2; 2)$. Подставим её координаты и значение $m$ в уравнение:

$2 = \frac{k}{2} + 1$

Решим уравнение относительно $k$:

$2 - 1 = \frac{k}{2}$

$1 = \frac{k}{2}$

$k = 2$

Таким образом, уравнение гиперболы, изображённой на рисунке 47, имеет вид $y = \frac{2}{x} + 1$.

Ответ: $y = \frac{2}{x} + 1$

г) на рис. 48

На рисунке 48 горизонтальная асимптота — это прямая $y = -3$. Следовательно, в уравнении $y = \frac{k}{x} + m$ коэффициент $m = -3$.

Выберем на графике точку с целыми координатами, например, $(-1; -1)$. Подставим её координаты и значение $m$ в уравнение:

$-1 = \frac{k}{-1} + (-3)$

Решим уравнение относительно $k$:

$-1 = -k - 3$

$-k = -1 + 3$

$-k = 2$

$k = -2$

Таким образом, уравнение гиперболы, изображённой на рисунке 48, имеет вид $y = -\frac{2}{x} - 3$.

Ответ: $y = -\frac{2}{x} - 3$