Страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

21.45 Пусть P — наибольшее значение функции $y = -(x + 5)^2$ на отрезке $[-6; -4]$, а Q — наибольшее значение функции $y = -2(x - 1)^2$ на отрезке $[0; 2]$. Сравните числа P и Q. Сделайте графическую иллюстрацию.

Нахождение P

Рассмотрим функцию $y = -(x + 5)^2$ на отрезке $[-6; -4]$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при квадрате равен -1, что меньше нуля). Вершина параболы является её точкой максимума. Координаты вершины параболы вида $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ равны $(x_0; y_0)$. Для функции $y = -(x + 5)^2 = -(x - (-5))^2 + 0$ вершина находится в точке с абсциссой $x_0 = -5$. Поскольку абсцисса вершины $x = -5$ принадлежит заданному отрезку $[-6; -4]$, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине. Найдем это значение: $P = y_{наиб} = y(-5) = -(-5 + 5)^2 = -(0)^2 = 0$.

Для проверки можно найти значения функции на концах отрезка: $y(-6) = -(-6 + 5)^2 = -(-1)^2 = -1$. $y(-4) = -(-4 + 5)^2 = -(1)^2 = -1$. Сравнивая значения $y(-6)=-1$, $y(-5)=0$ и $y(-4)=-1$, видим, что наибольшее значение действительно равно 0.

Ответ: $P = 0$.

Нахождение Q

Рассмотрим функцию $y = -2(x - 1)^2$ на отрезке $[0; 2]$. Графиком этой функции также является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при квадрате равен -2, что меньше нуля). Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = 1$. Поскольку абсцисса вершины $x = 1$ принадлежит заданному отрезку $[0; 2]$, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине. Найдем это значение: $Q = y_{наиб} = y(1) = -2(1 - 1)^2 = -2(0)^2 = 0$.

Для проверки можно найти значения функции на концах отрезка: $y(0) = -2(0 - 1)^2 = -2(-1)^2 = -2$. $y(2) = -2(2 - 1)^2 = -2(1)^2 = -2$. Сравнивая значения $y(0)=-2$, $y(1)=0$ и $y(2)=-2$, видим, что наибольшее значение на отрезке равно 0.

Ответ: $Q = 0$.

Сравнение P и Q

Мы нашли, что наибольшее значение первой функции на отрезке $[-6; -4]$ равно $P = 0$, и наибольшее значение второй функции на отрезке $[0; 2]$ равно $Q = 0$. Следовательно, числа P и Q равны.

Ответ: $P = Q$.

Графическая иллюстрация

Построим графики функций $y = -(x + 5)^2$ (синий цвет) и $y = -2(x - 1)^2$ (красный цвет). Части графиков на заданных отрезках $[-6; -4]$ и $[0; 2]$ выделены более жирной линией.

Решите графически уравнение:

21.46 а) $|x - 2| = x^2$;

б) $|x + 1| = -2x^2$;

в) $|x - 3| = \sqrt{x - 1}$;

г) $|x + 5| = -x - 1$.

а) Для решения уравнения $|x - 2| = x^2$ графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = |x - 2|$ и $y = x^2$.

График функции $y = |x - 2|$ — это график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Он представляет собой "угол", вершина которого находится в точке $(2, 0)$. График состоит из двух лучей: $y = -x + 2$ при $x < 2$ и $y = x - 2$ при $x \ge 2$.

График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решениями исходного уравнения. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Найдем их координаты для проверки.

Первая точка пересечения имеет координаты $(1, 1)$. Проверим: $|1 - 2| = |-1| = 1$ и $1^2 = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Вторая точка пересечения имеет координаты $(-2, 4)$. Проверим: $|-2 - 2| = |-4| = 4$ и $(-2)^2 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1$.

б) Для решения уравнения $|x + 1| = -2x^2$ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = |x + 1|$ и $y = -2x^2$.

График функции $y = |x + 1|$ — это график модуля $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вершина "угла" находится в точке $(-1, 0)$. Значения этой функции всегда неотрицательны, то есть $y \ge 0$ при любом $x$.

График функции $y = -2x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$. Значения этой функции всегда неположительны, то есть $y \le 0$ при любом $x$.

Равенство $|x + 1| = -2x^2$ может выполняться только в том случае, если обе части уравнения равны нулю, так как левая часть всегда $y \ge 0$, а правая всегда $y \le 0$.

Левая часть $|x + 1| = 0$ при $x = -1$.

Правая часть $-2x^2 = 0$ при $x = 0$.

Поскольку не существует такого значения $x$, при котором обе части уравнения одновременно обращаются в ноль, а во всех остальных случаях левая часть строго положительна, а правая строго отрицательна, то графики не имеют общих точек. Они касаются оси Ox в разных точках: $(-1,0)$ и $(0,0)$. Таким образом, графики не пересекаются.

Ответ: нет решений.

в) Для решения уравнения $|x - 3| = \sqrt{x - 1}$ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = |x - 3|$ и $y = \sqrt{x - 1}$.

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Будем строить графики только для $x \ge 1$.

График функции $y = |x - 3|$ — это "угол" с вершиной в точке $(3, 0)$.

График функции $y = \sqrt{x - 1}$ — это верхняя ветвь параболы $y^2=x-1$, которая является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещенным на 1 единицу вправо. Начальная точка графика — $(1, 0)$.

Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями уравнения. Из построенных графиков видно, что существует две точки пересечения.

Первая точка пересечения имеет координаты $(2, 1)$. Проверим: $|2 - 3| = |-1| = 1$ и $\sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Вторая точка пересечения имеет координаты $(5, 2)$. Проверим: $|5 - 3| = |2| = 2$ и $\sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 5$.

г) Для решения уравнения $|x + 5| = -x - 1$ графическим методом построим в одной системе координат графики функций $y = |x + 5|$ и $y = -x - 1$.

Заметим, что левая часть уравнения $|x + 5|$ всегда неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной: $-x - 1 \ge 0$, что означает $-x \ge 1$, или $x \le -1$. Это значит, что решения могут существовать только при $x \le -1$.

График функции $y = |x + 5|$ — это "угол", который является графиком $y=|x|$, смещенным на 5 единиц влево по оси абсцисс. Вершина находится в точке $(-5, 0)$. График состоит из двух лучей: $y = -x - 5$ при $x < -5$ и $y = x + 5$ при $x \ge -5$.

График функции $y = -x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: например, $(-1, 0)$ и $(-5, 4)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Эта точка лежит на луче $y = x + 5$ (поскольку ее абсцисса $x > -5$). Найдем координаты точки пересечения, приравняв выражения для $y$: $x + 5 = -x - 1$.

Решим полученное уравнение: $2x = -6$, откуда $x = -3$.

Найдем ординату точки: $y = -3 + 5 = 2$. Точка пересечения — $(-3, 2)$.

Абсцисса точки пересечения и есть решение уравнения.

Ответ: $x = -3$.

21.47 a) $ \frac{4}{x+1} = -0,5(x+1)^2; $

б) $ \frac{2}{x-3} = 2(x-3)^2; $

в) $ \frac{4}{x+3} = -4(x+3)^2; $

г) $ \frac{5}{x-1} = -5(x-1)^2. $

а)

Дано уравнение: $\frac{4}{x + 1} = -0,5(x + 1)^2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на $(x + 1)$, чтобы избавиться от дроби:

$4 = -0,5(x + 1)^2 \cdot (x + 1)$

$4 = -0,5(x + 1)^3$

Разделим обе части уравнения на $-0,5$:

$(x + 1)^3 = \frac{4}{-0,5}$

$(x + 1)^3 = -8$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x + 1 = \sqrt[3]{-8}$

$x + 1 = -2$

Найдем $x$:

$x = -2 - 1$

$x = -3$

Полученный корень $x = -3$ входит в ОДЗ ($x \neq -1$), следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $-3$.

б)

Дано уравнение: $\frac{2}{x - 3} = 2(x - 3)^2$.

ОДЗ: $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на $(x - 3)$:

$2 = 2(x - 3)^2 \cdot (x - 3)$

$2 = 2(x - 3)^3$

Разделим обе части на $2$:

$(x - 3)^3 = 1$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x - 3 = \sqrt[3]{1}$

$x - 3 = 1$

Найдем $x$:

$x = 1 + 3$

$x = 4$

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$).

Ответ: $4$.

в)

Дано уравнение: $\frac{4}{x + 3} = -4(x + 3)^2$.

ОДЗ: $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Умножим обе части уравнения на $(x + 3)$:

$4 = -4(x + 3)^2 \cdot (x + 3)$

$4 = -4(x + 3)^3$

Разделим обе части на $-4$:

$(x + 3)^3 = \frac{4}{-4}$

$(x + 3)^3 = -1$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x + 3 = \sqrt[3]{-1}$

$x + 3 = -1$

Найдем $x$:

$x = -1 - 3$

$x = -4$

Корень $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).

Ответ: $-4$.

г)

Дано уравнение: $\frac{5}{x - 1} = -5(x - 1)^2$.

ОДЗ: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на $(x - 1)$:

$5 = -5(x - 1)^2 \cdot (x - 1)$

$5 = -5(x - 1)^3$

Разделим обе части на $-5$:

$(x - 1)^3 = \frac{5}{-5}$

$(x - 1)^3 = -1$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x - 1 = \sqrt[3]{-1}$

$x - 1 = -1$

Найдем $x$:

$x = -1 + 1$

$x = 0$

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: $0$.

21.48 а) $\sqrt{x + 3} = -1 - x;$

б) $\sqrt{x - 2} = x - 4;$

в) $\sqrt{x - 1} = 3 - x;$

г) $\sqrt{x + 4} = x + 2.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x+3} = -1-x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств: $x+3 \ge 0$ и $-1-x \ge 0$.
Из первого неравенства получаем $x \ge -3$.
Из второго неравенства получаем $-x \ge 1$, то есть $x \le -1$.
Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in [-3, -1]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x+3})^2 = (-1-x)^2$
$x+3 = (-(1+x))^2$
$x+3 = (1+x)^2$
$x+3 = 1+2x+x^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 2x - x + 1 - 3 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Таким образом, корни: $x_1=1$ и $x_2=-2$.
Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-3, -1]$):
- Корень $x_1=1$ не входит в ОДЗ, так как $1 > -1$. Следовательно, это посторонний корень.
- Корень $x_2=-2$ входит в ОДЗ, так как $-3 \le -2 \le -1$. Следовательно, это является решением уравнения.
Можно также выполнить проверку подстановкой $x=-2$ в исходное уравнение: $\sqrt{-2+3} = \sqrt{1} = 1$ и $-1-(-2) = -1+2 = 1$. Равенство $1=1$ верно.
Ответ: $-2$

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x-2} = x-4$.
ОДЗ определяется системой неравенств: $x-2 \ge 0$ и $x-4 \ge 0$.
Из первого неравенства: $x \ge 2$.
Из второго неравенства: $x \ge 4$.
Общим решением системы является $x \ge 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-2})^2 = (x-4)^2$
$x-2 = x^2-8x+16$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 - 8x - x + 16 + 2 = 0$
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а произведение равно $18$. Корни: $x_1=3$ и $x_2=6$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 4$):
- Корень $x_1=3$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$. Это посторонний корень.
- Корень $x_2=6$ удовлетворяет условию $x \ge 4$. Это решение уравнения.
Проверка: $\sqrt{6-2}=\sqrt{4}=2$ и $6-4=2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $6$

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x-1} = 3-x$.
ОДЗ определяется системой неравенств: $x-1 \ge 0$ и $3-x \ge 0$.
Из первого неравенства: $x \ge 1$.
Из второго неравенства: $x \le 3$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in [1, 3]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (3-x)^2$
$x-1 = 9-6x+x^2$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Найдем корни. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, произведение равно $10$. Корни: $x_1=2$ и $x_2=5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [1, 3]$):
- Корень $x_1=2$ принадлежит отрезку $[1, 3]$. Это решение.
- Корень $x_2=5$ не принадлежит отрезку $[1, 3]$. Это посторонний корень.
Проверка: $\sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1$ и $3-2=1$. Равенство $1=1$ верно.
Ответ: $2$

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x+4} = x+2$.
ОДЗ определяется системой неравенств: $x+4 \ge 0$ и $x+2 \ge 0$.
Из первого неравенства: $x \ge -4$.
Из второго неравенства: $x \ge -2$.
Общим решением является $x \ge -2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+4})^2 = (x+2)^2$
$x+4 = x^2+4x+4$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 + 4x - x + 4 - 4 = 0$
$x^2 + 3x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+3) = 0$
Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=-3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -2$):
- Корень $x_1=0$ удовлетворяет условию $x \ge -2$. Это решение.
- Корень $x_2=-3$ не удовлетворяет условию $x \ge -2$. Это посторонний корень.
Проверка: $\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2$ и $0+2=2$. Равенство $2=2$ верно.
Ответ: $0$

21.49 a) $(x-1)^2 = |x-3|$;

б) $\sqrt{x+2} = \frac{2}{x-1}$;

в) $(x+1)^2 = \frac{4}{x}$;

г) $|x+1| = \sqrt{x+3}$.

а) $(x - 1)^2 = |x - 3|$

Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.

1. Если $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 = x - 3$

$x^2 - 2x + 1 = x - 3$

$x^2 - 3x + 4 = 0$

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), действительных корней в этом случае нет.

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 = 3 - x$

$x^2 - 2x + 1 = 3 - x$

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Оба найденных корня удовлетворяют условию $x < 3$.

Проверим найденные решения подстановкой в исходное уравнение:

Для $x = 2$: $(2 - 1)^2 = 1^2 = 1$ и $|2 - 3| = |-1| = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Для $x = -1$: $(-1 - 1)^2 = (-2)^2 = 4$ и $|-1 - 3| = |-4| = 4$. Равенство $4 = 4$ верно.

Ответ: $-1; 2$.

б) $\sqrt{x + 2} = \frac{2}{x - 1}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 2 \geq 0$, откуда $x \geq -2$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

3. Левая часть уравнения, $\sqrt{x+2}$, всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{2}{x - 1} \geq 0$. Так как числитель $2 > 0$, то и знаменатель должен быть положительным: $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.

Пересечение всех условий ($x \geq -2$, $x \neq 1$ и $x > 1$) дает нам ОДЗ: $x > 1$.

На этой области возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 2})^2 = \left(\frac{2}{x - 1}\right)^2$

$x + 2 = \frac{4}{(x - 1)^2}$

$(x + 2)(x - 1)^2 = 4$

$(x + 2)(x^2 - 2x + 1) = 4$

$x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2 = 4$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена $-2$: $\pm 1, \pm 2$.

Подстановка $x=2$ дает: $2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.

Разделив многочлен $x^3 - 3x - 2$ на $(x - 2)$, получим $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.

Таким образом, уравнение можно записать как $(x - 2)(x + 1)^2 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):

Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: $2$.

в) $(x + 1)^2 = \frac{4}{x}$

Определим ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x \neq 0$.

Левая часть уравнения, $(x+1)^2$, всегда неотрицательна. Значит, правая часть тоже должна быть неотрицательной: $\frac{4}{x} \geq 0$. Поскольку $4>0$, это условие выполняется при $x > 0$.

Итак, ОДЗ: $x > 0$.

Решим уравнение на этой области:

$x(x + 1)^2 = 4$

$x(x^2 + 2x + 1) = 4$

$x^3 + 2x^2 + x - 4 = 0$

Будем искать целые корни среди положительных делителей свободного члена $-4$: $1, 2, 4$.

Проверим $x=1$: $1^3 + 2(1)^2 + 1 - 4 = 1 + 2 + 1 - 4 = 0$. Корень $x=1$ подходит.

Разложим левую часть на множители, разделив многочлен на $(x-1)$:

$(x - 1)(x^2 + 3x + 4) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

2) $x^2 + 3x + 4 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственный действительный корень $x = 1$. Он удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $1$.

г) $|x + 1| = \sqrt{x + 3}$

ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x + 3 \geq 0$, то есть $x \geq -3$.

На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней:

$(|x + 1|)^2 = (\sqrt{x + 3})^2$

Так как $|a|^2 = a^2$, получаем:

$(x + 1)^2 = x + 3$

$x^2 + 2x + 1 = x + 3$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \geq -3$):

$1 \geq -3$ (верно).

$-2 \geq -3$ (верно).

Проверим решения подстановкой в исходное уравнение:

При $x=1$: $|1+1|=\sqrt{1+3} \Rightarrow |2|=\sqrt{4} \Rightarrow 2=2$. Верно.

При $x=-2$: $|-2+1|=\sqrt{-2+3} \Rightarrow |-1|=\sqrt{1} \Rightarrow 1=1$. Верно.

Ответ: $-2; 1$.

21.50 a) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = -2(x - 2)^2;$

б) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{x};$

в) $\sqrt{x^2 + 6x + 9} = (x + 3)^2;$

г) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = -x.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = -2(x - 2)^2$.
Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, преобразуем левую часть уравнения:
$\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$.
Теперь уравнение имеет вид: $|x - 2| = -2(x - 2)^2$.
Проанализируем обе части уравнения. Левая часть, $|x - 2|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|x - 2| \ge 0$.
Правая часть, $-2(x - 2)^2$, всегда неположительна, так как $(x - 2)^2 \ge 0$, а умножение на $-2$ делает выражение меньшим или равным нулю.
Равенство между неотрицательным и неположительным числом возможно только в том случае, если оба числа равны нулю.
Следовательно, необходимо, чтобы выполнялось условие: $|x - 2| = 0$.
Это равносильно уравнению $x - 2 = 0$.
Отсюда находим $x = 2$.
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt{2^2 - 4(2) + 4} = -2(2 - 2)^2$
$\sqrt{4 - 8 + 4} = -2(0)^2$
$\sqrt{0} = 0$
$0 = 0$.
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $2$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \frac{2}{x}$.
Выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$.
Уравнение принимает вид: $|x - 1| = \frac{2}{x}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Левая часть уравнения $|x - 1|$ неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{2}{x} \ge 0$. Так как числитель $2 > 0$, то и знаменатель должен быть положительным: $x > 0$.
Итак, решаем уравнение при условии $x > 0$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. В этом случае $|x - 1| = x - 1$.
Уравнение становится: $x - 1 = \frac{2}{x}$.
Умножим обе части на $x$ (так как $x > 0$): $x(x - 1) = 2 \implies x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 1$. Корень $x = -1$ не удовлетворяет этому условию.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $0 < x < 1$ (с учетом ОДЗ $x > 0$). В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Уравнение становится: $1 - x = \frac{2}{x}$.
Умножим на $x$: $x(1 - x) = 2 \implies x - x^2 = 2 \implies x^2 - x + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Единственным решением является $x = 2$.
Ответ: $2$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 6x + 9} = (x + 3)^2$.
Выражение под корнем $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом $(x + 3)^2$.
Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(x + 3)^2} = |x + 3|$.
Уравнение принимает вид: $|x + 3| = (x + 3)^2$.
Заметим, что $(x + 3)^2 = |x + 3|^2$. Сделаем замену $y = |x + 3|$, где $y \ge 0$.
Уравнение превращается в $y = y^2$.
$y^2 - y = 0$
$y(y - 1) = 0$.
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y = 0$ или $y = 1$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1. Если $|x + 3| = 0$:
$x + 3 = 0 \implies x = -3$.
2. Если $|x + 3| = 1$:
Это уравнение распадается на два:
$x + 3 = 1 \implies x = -2$.
$x + 3 = -1 \implies x = -4$.
Таким образом, мы получили три корня.
Ответ: $-4; -3; -2$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = -x$.
Преобразуем подкоренное выражение, которое является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(x + 2)^2} = |x + 2|$.
Уравнение принимает вид: $|x + 2| = -x$.
Поскольку левая часть уравнения, модуль $|x + 2|$, всегда неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение на $x$:
$-x \ge 0 \implies x \le 0$.
Теперь решим уравнение $|x + 2| = -x$ с учетом этого ограничения. Можно возвести обе части в квадрат, так как они обе неотрицательны при $x \le 0$:
$(|x + 2|)^2 = (-x)^2$
$(x + 2)^2 = x^2$
$x^2 + 4x + 4 = x^2$
$4x + 4 = 0$
$4x = -4$
$x = -1$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -1$ нашему ограничению $x \le 0$. Да, $-1 \le 0$.
Выполним проверку, подставив корень в исходное уравнение:
$\sqrt{(-1)^2 + 4(-1) + 4} = -(-1)$
$\sqrt{1 - 4 + 4} = 1$
$\sqrt{1} = 1$
$1 = 1$.
Равенство верное.
Ответ: $-1$.

Решите графически систему уравнений:

21.51 а) $\begin{cases} y = (x - 2)^2, \\ y = x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2(x + 1)^2, \\ y = 3x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -(x + 1)^2, \\ y = x - 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -(x - 3)^2, \\ y = x - 5. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = (x - 2)^2, \\ y = x. \end{cases} $

Чтобы решить систему графически, построим в одной системе координат графики для каждого уравнения.

Первое уравнение, $y = (x - 2)^2$, задает параболу. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Ее вершина находится в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вверх.

Второе уравнение, $y = x$, задает прямую. Это биссектриса первого и третьего координатных углов, проходящая через начало координат.

Начертив оба графика, мы находим их точки пересечения. Координаты этих точек и являются решением системы. Визуально определяем, что это точки $(1, 1)$ и $(4, 4)$.

Ответ: (1; 1), (4; 4).

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 2(x + 1)^2, \\ y = 3x. \end{cases} $

Чтобы решить систему графически, построим в одной системе координат графики для каждого уравнения.

Первое уравнение, $y = 2(x + 1)^2$, задает параболу. Это парабола $y=2x^2$, смещенная на 1 единицу влево по оси абсцисс. Ее вершина находится в точке $(-1, 0)$, а ветви направлены вверх и сжаты к оси ординат.

Второе уравнение, $y = 3x$, задает прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом 3. Для построения можно использовать точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$.

Начертив оба графика, мы видим, что они не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Ответ: решений нет.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -(x + 1)^2, \\ y = x - 1. \end{cases} $

Чтобы решить систему графически, построим в одной системе координат графики для каждого уравнения.

Первое уравнение, $y = -(x + 1)^2$, задает параболу. Это стандартная парабола $y=x^2$, отраженная относительно оси абсцисс и смещенная на 1 единицу влево. Ее вершина находится в точке $(-1, 0)$, а ветви направлены вниз.

Второе уравнение, $y = x - 1$, задает прямую с угловым коэффициентом 1, пересекающую ось ординат в точке $(0, -1)$.

Начертив оба графика, мы находим их точки пересечения. Графики пересекаются в точках с координатами $(-3, -4)$ и $(0, -1)$.

Ответ: (-3; -4), (0; -1).

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -(x - 3)^2, \\ y = x - 5. \end{cases} $

Чтобы решить систему графически, построим в одной системе координат графики для каждого уравнения.

Первое уравнение, $y = -(x - 3)^2$, задает параболу. Это стандартная парабола $y=x^2$, отраженная относительно оси абсцисс и смещенная на 3 единицы вправо. Ее вершина находится в точке $(3, 0)$, а ветви направлены вниз.

Второе уравнение, $y = x - 5$, задает прямую с угловым коэффициентом 1, пересекающую ось ординат в точке $(0, -5)$.

Начертив оба графика, мы находим их точки пересечения. Графики пересекаются в точках с координатами $(1, -4)$ и $(4, -1)$.

Ответ: (1; -4), (4; -1).

21.52 a) $y = \sqrt{x - 3},$
$y = (x - 3)^2;$

б) $y = (x - 2)^2,$
$y = \sqrt{x^2 - 8x + 16};$

в) $y = \sqrt{x + 4},$
$y = -2x + 2;$

г) $y = 0,5(x + 1)^2,$
$y = \sqrt{x^2 + 2x + 1}.$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = \sqrt{x - 3} \\ y = (x - 3)^2 \end{cases} $

Для нахождения точек пересечения графиков функций приравняем правые части уравнений:

$ \sqrt{x - 3} = (x - 3)^2 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения определяется условием $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Также из первого уравнения следует, что $y \ge 0$. Второе уравнение ($y = (x - 3)^2$) удовлетворяет условию $y \ge 0$ для любых $x$.

Для решения уравнения введем замену: пусть $t = \sqrt{x - 3}$. Учитывая ОДЗ, имеем $t \ge 0$. Тогда $x - 3 = t^2$, и уравнение принимает вид:

$ t = (t^2)^2 $

$ t = t^4 $

$ t^4 - t = 0 $

$ t(t^3 - 1) = 0 $

Это уравнение имеет два решения для $t$:

1. $t = 0$

2. $t^3 - 1 = 0 \Rightarrow t^3 = 1 \Rightarrow t = 1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$:

1. Если $t = 0$, то $\sqrt{x - 3} = 0$. Возведя в квадрат, получаем $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$. Соответствующее значение $y$ равно $y = \sqrt{3 - 3} = 0$. Таким образом, одна из точек пересечения — $(3, 0)$.

2. Если $t = 1$, то $\sqrt{x - 3} = 1$. Возведя в квадрат, получаем $x - 3 = 1$, откуда $x = 4$. Соответствующее значение $y$ равно $y = \sqrt{4 - 3} = 1$. Вторая точка пересечения — $(4, 1)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 0), (4, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = (x - 2)^2 \\ y = \sqrt{x^2 - 8x + 16} \end{cases} $

Упростим второе уравнение. Выражение под знаком корня является полным квадратом: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$ y = \sqrt{(x - 4)^2} = |x - 4| $

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} y = (x - 2)^2 \\ y = |x - 4| \end{cases} $

Приравняем правые части:

$ (x - 2)^2 = |x - 4| $

Для решения уравнения раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Уравнение принимает вид:

$ (x - 2)^2 = x - 4 $

$ x^2 - 4x + 4 = x - 4 $

$ x^2 - 5x + 8 = 0 $

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

В этом случае $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Уравнение принимает вид:

$ (x - 2)^2 = 4 - x $

$ x^2 - 4x + 4 = 4 - x $

$ x^2 - 3x = 0 $

$ x(x - 3) = 0 $

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. При $x = 0$, $y = (0 - 2)^2 = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.

2. При $x = 3$, $y = (3 - 2)^2 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.

Ответ: $(0, 4), (3, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = \sqrt{x + 4} \\ y = -2x + 2 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$ \sqrt{x + 4} = -2x + 2 $

Определим ОДЗ. Из первого уравнения следует, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$.

Кроме того, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $-2x + 2 \ge 0 \Rightarrow 2 \ge 2x \Rightarrow x \le 1$.

Таким образом, все решения должны находиться в промежутке $[-4, 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$ (\sqrt{x + 4})^2 = (-2x + 2)^2 $

$ x + 4 = 4x^2 - 8x + 4 $

$ 0 = 4x^2 - 9x $

$ x(4x - 9) = 0 $

Получаем два потенциальных корня:

1. $x_1 = 0$. Этот корень принадлежит ОДЗ (интервалу $[-4, 1]$).

2. $4x - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{9}{4} = 2.25$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $2.25 > 1$, и является посторонним.

Единственное решение — $x = 0$. Найдем соответствующее значение $y$: $y = -2(0) + 2 = 2$. Проверка по первому уравнению: $y = \sqrt{0 + 4} = 2$.

Ответ: $(0, 2)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 0.5(x + 1)^2 \\ y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} \end{cases} $

Упростим второе уравнение. Выражение под корнем является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.

Следовательно, $y = \sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1|$.

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} y = 0.5(x + 1)^2 \\ y = |x + 1| \end{cases} $

Приравняем правые части:

$ 0.5(x + 1)^2 = |x + 1| $

Сделаем замену $t = |x + 1|$. Так как модуль всегда неотрицателен, $t \ge 0$. Учтем, что $(x + 1)^2 = |x + 1|^2 = t^2$. Уравнение примет вид:

$ 0.5t^2 = t $

$ 0.5t^2 - t = 0 $

$ t(0.5t - 1) = 0 $

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

1. $t = 0$

2. $0.5t - 1 = 0 \Rightarrow 0.5t = 1 \Rightarrow t = 2$

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 0$, то $|x + 1| = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Находим $y$: $y = |-1 + 1| = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

2. Если $t = 2$, то $|x + 1| = 2$. Это уравнение распадается на два:

а) $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$. Находим $y$: $y = |1 + 1| = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.

б) $x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3$. Находим $y$: $y = |-3 + 1| = |-2| = 2$. Получаем точку $(-3, 2)$.

Ответ: $(-1, 0), (1, 2), (-3, 2)$.