Страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Какие преобразования графиков объединяет этот параграф?

Поскольку содержание самого параграфа неизвестно, можно предположить, что он объединяет стандартный набор элементарных преобразований графиков функций. К ним относятся:

Параллельный перенос (сдвиг)

Это преобразование, при котором все точки графика смещаются на один и тот же вектор. Существует два типа параллельного переноса:

• Вертикальный сдвиг: график функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига вдоль оси ординат ($Oy$) на $b$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг выполняется вверх; если $b < 0$, сдвиг выполняется вниз на $|b|$ единиц.
• Горизонтальный сдвиг: график функции $y = f(x - a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $a$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг выполняется вправо; если $a < 0$, сдвиг выполняется влево на $|a|$ единиц.

Ответ: Преобразование параллельного переноса (сдвига) графика вдоль координатных осей.

Растяжение и сжатие

Это преобразование изменяет масштаб графика вдоль координатных осей. Различают:

• Вертикальное растяжение/сжатие: график функции $y = k \cdot f(x)$ (где $k > 0$) получается из графика $y = f(x)$. Если $k > 1$, происходит растяжение графика от оси $Ox$ в $k$ раз. Если $0 < k < 1$, происходит сжатие графика к оси $Ox$ в $1/k$ раз.
• Горизонтальное растяжение/сжатие: график функции $y = f(m \cdot x)$ (где $m > 0$) получается из графика $y = f(x)$. Если $m > 1$, происходит сжатие графика к оси $Oy$ в $m$ раз. Если $0 < m < 1$, происходит растяжение графика от оси $Oy$ в $1/m$ раз.

Ответ: Преобразования растяжения и сжатия графика вдоль координатных осей.

Симметричное отражение (симметрия)

Это преобразование зеркально отображает график относительно одной из осей:

• Отражение относительно оси абсцисс ($Ox$): график функции $y = -f(x)$ получается симметричным отражением графика $y = f(x)$ относительно оси $Ox$.
• Отражение относительно оси ординат ($Oy$): график функции $y = f(-x)$ получается симметричным отражением графика $y = f(x)$ относительно оси $Oy$.

Ответ: Преобразование симметричного отражения графика относительно координатных осей.

Преобразования с использованием модуля

Это преобразования, которые изменяют график с помощью функции абсолютного значения:

• Построение графика $y = |f(x)|$: часть графика функции $y = f(x)$, которая находится ниже оси $Ox$ (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. Остальная часть графика (где $f(x) \ge 0$) остается без изменений.
• Построение графика $y = f(|x|)$: часть графика функции $y = f(x)$, которая находится в правой полуплоскости (где $x \ge 0$), остается без изменений и, кроме того, симметрично отражается относительно оси $Oy$, заменяя собой ту часть графика, что была в левой полуплоскости (где $x < 0$).

Ответ: Преобразования графика функции, связанные с применением модуля ко всей функции или к ее аргументу.

Таким образом, параграф объединяет методы построения графиков сложных функций вида $y = k \cdot f(m \cdot (x - a)) + b$ и функций с модулем на основе базового графика $y = f(x)$ путем последовательного применения перечисленных преобразований.

2. Сформулируйте алгоритм 1 построения графика функции $y = f(x + l) + m.$

Для построения графика функции $y = f(x + l) + m$, имея график исходной функции $y = f(x)$, необходимо выполнить два последовательных преобразования — параллельные переносы (сдвиги) графика вдоль осей координат. Порядок выполнения этих переносов (сначала вдоль оси X, потом вдоль оси Y, или наоборот) не имеет значения для конечного результата.

Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Построить в системе координат известный график базовой функции $y = f(x)$.
2. Выполнить параллельный перенос графика $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси $Ox$). График сдвигается на $|l|$ единиц:
   • влево, если $l > 0$;
   • вправо, если $l < 0$.
   В результате этого шага получается график промежуточной функции $y = f(x + l)$.
3. Выполнить параллельный перенос графика, полученного на предыдущем шаге ($y = f(x + l)$), вдоль оси ординат (оси $Oy$). График сдвигается на $|m|$ единиц:
   • вверх, если $m > 0$;
   • вниз, если $m < 0$.
   В результате этого шага получается искомый график функции $y = f(x + l) + m$.

Геометрически это преобразование означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(x)$ перемещается в новую точку с координатами $(x_0 - l, y_0 + m)$. Это равносильно одному параллельному переносу всего графика на вектор $\vec{a}(-l, m)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x + l) + m$, нужно взять график функции $y = f(x)$ и выполнить его параллельный перенос на вектор $\vec{a}(-l, m)$. Это эквивалентно сдвигу графика вдоль оси $Ox$ на $l$ единиц влево (если $l>0$) или на $|l|$ единиц вправо (если $l<0$), а затем сдвигу полученного графика вдоль оси $Oy$ на $m$ единиц вверх (если $m>0$) или на $|m|$ единиц вниз (если $m<0$).

3. Сформулируйте алгоритм 2 построения графика функции $y = f(x + l) + m$.

Для построения графика функции $y = f(x + l) + m$ из графика базовой функции $y = f(x)$ можно использовать метод вспомогательной системы координат. Этот метод заключается в переносе начала координат и построении базового графика в новой системе. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Определить параметры сдвига. В уравнении $y = f(x + l) + m$ число $l$ отвечает за сдвиг по горизонтали (вдоль оси $Ox$), а число $m$ — за сдвиг по вертикали (вдоль оси $Oy$).

2. Найти координаты нового начала координат. График искомой функции будет иметь ту же форму, что и график базовой функции $y=f(x)$, но будет "центрирован" в другой точке. Координаты нового начала координат $O'$ находятся по правилу: $x_0 = -l$, $y_0 = m$. Таким образом, точка нового начала координат — $O'(-l; m)$.

3. Построить вспомогательную систему координат. В исходной системе координат $xOy$ отметьте точку $O'(-l; m)$. Через эту точку проведите новые оси координат: ось $x'$ параллельно оси $Ox$ и ось $y'$ параллельно оси $Oy$.

4. Построить график базовой функции в новой системе координат. В построенной вспомогательной системе координат $x'O'y'$ постройте график базовой функции, как если бы вы строили $y' = f(x')$. Например, если исходная функция $y=(x-2)^2+3$, то базовая функция — $y=x^2$. Новое начало координат будет в точке $O'(-(-2); 3) = (2; 3)$. Во вспомогательной системе с началом в этой точке строится обычная парабола $y'= (x')^2$.

Полученный в результате этих действий график и будет являться искомым графиком функции $y = f(x + l) + m$ в исходной системе координат $xOy$.

Этот метод эквивалентен выполнению двух последовательных параллельных переносов графика $y=f(x)$: сначала сдвиг на вектор $(-l; 0)$ (вдоль оси $Ox$), а затем сдвиг на вектор $(0; m)$ (вдоль оси $Oy$). Итоговый результат — это параллельный перенос графика функции $y=f(x)$ на вектор $\vec{a}(-l; m)$.

Ответ: Алгоритм построения графика функции $y = f(x + l) + m$:
1. Построить в исходной системе координат $xOy$ новую систему координат $x'O'y'$, начало которой $O'$ находится в точке с координатами $(-l; m)$, а оси $O'x'$ и $O'y'$ параллельны соответственно осям $Ox$ и $Oy$.
2. В новой системе координат $x'O'y'$ построить график базовой функции $y' = f(x')$.
Этот график является искомым графиком функции $y = f(x + l) + m$ в первоначальной системе координат.

4. Какой алгоритм построения графика функции $y = f(x + l) + m$ вам больше нравится? Каким вы будете пользоваться при решении задач и почему?

Для построения графика функции $y = f(x + l) + m$ на основе известного графика функции $y = f(x)$ существуют два основных алгоритма, которые отличаются порядком выполнения параллельных переносов (сдвигов). Оба алгоритма приводят к верному результату, поскольку горизонтальный и вертикальный сдвиги являются независимыми преобразованиями.

Алгоритм 1: Сначала горизонтальный сдвиг, затем вертикальный

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Сдвинуть график $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (горизонтально) на $|l|$ единиц: влево, если $l > 0$, или вправо, если $l < 0$. В результате получится график функции $y = f(x+l)$.
3. Сдвинуть полученный график $y = f(x+l)$ вдоль оси ординат (вертикально) на $|m|$ единиц: вверх, если $m > 0$, или вниз, если $m < 0$. В результате получится итоговый график $y = f(x+l)+m$.

Алгоритм 2: Сначала вертикальный сдвиг, затем горизонтальный

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Сдвинуть график $y = f(x)$ вдоль оси ординат (вертикально) на $|m|$ единиц. В результате получится график функции $y = f(x)+m$.
3. Сдвинуть полученный график $y = f(x)+m$ вдоль оси абсцисс (горизонтально) на $|l|$ единиц. В результате получится итоговый график $y = f(x+l)+m$.

Какой алгоритм построения графика функции $y = f(x + l) + m$ вам больше нравится?

Больше всего мне нравится концептуальный подход, который объединяет эти два преобразования в одно действие — параллельный перенос на вектор. Этот метод не требует построения промежуточного графика, что делает его более элегантным и быстрым.

Суть метода в том, что весь график функции $y = f(x)$ переносится на вектор $\vec{v} = (-l, m)$. Это значит, что каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика просто перемещается в новую точку с координатами $(x_0 - l, y_0 + m)$.

Если же выбирать строго между двумя предложенными последовательными алгоритмами, то Алгоритм 1 (сначала горизонтальный сдвиг, затем вертикальный) является более интуитивным. Он следует естественному порядку вычисления значения функции: сначала выполняется операция с аргументом $x$ (сложение с $l$), а затем — с самим значением функции (сложение с $m$). Такая логика ("изнутри наружу") помогает избежать путаницы.

Каким вы будете пользоваться при решении задач и почему?

При решении практических задач я буду пользоваться методом единого параллельного переноса на вектор, так как он обладает тремя ключевыми преимуществами:

• Эффективность и скорость: Вместо двух полных перерисовок графика достаточно определить новые координаты для нескольких ключевых точек (например, вершины параболы, центра окружности, асимптот) и построить по ним итоговый график. Это значительно быстрее. Например, для построения графика $y = \frac{1}{x-2} + 3$ из $y = \frac{1}{x}$, достаточно перенести точку пересечения асимптот $(0,0)$ в точку $(2,3)$ и нарисовать гиперболу в новой системе координат.
• Точность: Исключается возможность совершить ошибку на промежуточном этапе, которая исказит конечный результат. Работа ведется сразу с конечными координатами.
• Наглядность: Геометрически проще и понятнее представить один сдвиг всего графика как твердого объекта, чем два последовательных сдвига.

Таким образом, этот объединенный метод является наиболее рациональным для практического применения.

Ответ: Наиболее предпочтительным и практичным является метод единого параллельного переноса на вектор $\vec{v} = (-l, m)$ из-за его скорости, точности и наглядности. Если выбирать из двух пошаговых алгоритмов, то более интуитивным является тот, в котором сначала выполняется горизонтальный сдвиг, а затем вертикальный, так как это соответствует порядку математических операций в выражении функции.

5. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(x - 3) + 2$, если на координатной плоскости $xOy$ задан график функции $y = f(x)$.

Для того чтобы построить график функции $y = f(x - 3) + 2$, имея заданный график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика. Данное преобразование можно разбить на два последовательных шага.

Первый шаг — это преобразование аргумента функции: от $f(x)$ к $f(x - 3)$. Это соответствует сдвигу графика вдоль оси абсцисс ($Ox$). По общему правилу, график функции $y = f(x - a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ сдвигом на $a$ единиц вдоль оси $Ox$. Так как в нашем случае $a = 3$ (положительное число), сдвиг осуществляется на 3 единицы вправо. Таким образом, мы получаем промежуточный график функции $y = f(x - 3)$.

Второй шаг — это преобразование самой функции: от $f(x - 3)$ к $f(x - 3) + 2$. Это соответствует сдвигу графика вдоль оси ординат ($Oy$). По общему правилу, график функции $y = g(x) + b$ получается из графика функции $y = g(x)$ сдвигом на $b$ единиц вдоль оси $Oy$. Так как в нашем случае $b = 2$ (положительное число), сдвиг осуществляется на 2 единицы вверх. Мы применяем это преобразование к графику, полученному на первом шаге.

Следовательно, для получения графика функции $y = f(x - 3) + 2$ из графика функции $y = f(x)$ нужно выполнить параллельный перенос исходного графика на 3 единицы вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку с координатами $(x_0 + 3, y_0 + 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = f(x - 3) + 2$ необходимо выполнить параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$ и на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

6. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(x + 2) - 1$, если на координатной плоскости $xOy$ задан график функции $y = f(x)$.

Чтобы построить график функции $y = f(x + 2) - 1$, зная график функции $y = f(x)$, необходимо последовательно выполнить два преобразования: параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси абсцисс и параллельный перенос вдоль оси ординат.

1. Горизонтальный сдвиг (вдоль оси $Ox$)

Первое преобразование — это изменение аргумента с $x$ на $x+2$. Оно соответствует переходу от графика $y = f(x)$ к графику $y = f(x+2)$.
Согласно правилу преобразования графиков, для получения графика $y = f(x+a)$ из графика $y=f(x)$ нужно сдвинуть исходный график на $a$ единиц вдоль оси $Ox$. Если $a > 0$, сдвиг производится влево, если $a < 0$ — вправо на $|a|$ единиц.
В нашем случае $a=2$, что больше нуля. Следовательно, график функции $y = f(x)$ необходимо сдвинуть на 2 единицы влево.

2. Вертикальный сдвиг (вдоль оси $Oy$)

Второе преобразование — это вычитание 1 из значения функции. Оно соответствует переходу от графика $y = f(x+2)$ к графику $y = f(x+2) - 1$.
Для получения графика $y = g(x) + b$ из графика $y=g(x)$ нужно сдвинуть график $y=g(x)$ на $b$ единиц вдоль оси $Oy$. Если $b > 0$, сдвиг производится вверх, если $b < 0$ — вниз на $|b|$ единиц.
В данном случае мы сдвигаем график $y=f(x+2)$, и для нас $b = -1$, что меньше нуля. Следовательно, график, полученный на первом шаге, необходимо сдвинуть на 1 единицу вниз.

Таким образом, для построения графика функции $y = f(x + 2) - 1$ из графика $y = f(x)$, нужно совершить параллельный перенос исходного графика на вектор $\vec{v}(-2; -1)$. Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдёт в точку $(x_0 - 2, y_0 - 1)$. Порядок выполнения сдвигов (горизонтального и вертикального) не влияет на конечный результат.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(x + 2) - 1$, нужно график функции $y = f(x)$ сдвинуть на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

7. Как, используя метод выделения полного квадрата, преобразовать квадратный трёхчлен $x^2 - 6x + 10$, чтобы построить график функции $y = x^2 - 6x + 10$? Какой будет последовательность ваших действий?

Преобразование квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 10$ с использованием метода выделения полного квадрата

Метод выделения полного квадрата заключается в представлении квадратного трехчлена в виде $a(x-h)^2+k$. Для этого используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ или квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Рассмотрим трехчлен $x^2 - 6x + 10$.

1. Первый член $x^2$ является квадратом переменной $x$. Это будет наш $a^2$ из формулы, то есть $a=x$.
2. Второй член $-6x$ является удвоенным произведением первого члена на второй. То есть, $-2ab = -6x$. Так как мы уже знаем, что $a=x$, то получаем $-2 \cdot x \cdot b = -6x$. Отсюда легко найти $b$: $b = \frac{-6x}{-2x} = 3$.
3. Для получения полного квадрата $(x-3)^2$ нам необходим член $b^2=3^2=9$.
4. В исходном выражении у нас есть свободный член $+10$. Мы можем представить его в виде суммы $9+1$, чтобы выделить необходимый нам член $b^2=9$.
   $x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + (9 + 1) = (x^2 - 6x + 9) + 1$.
5. Теперь выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности $(x-3)^2$.
6. Таким образом, исходный трехчлен преобразуется к виду $(x-3)^2 + 1$.

Ответ: $x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1$.

Последовательность действий для построения графика функции $y = x^2 - 6x + 10$

После того как мы преобразовали функцию к виду $y = (x-3)^2 + 1$, мы можем построить ее график, используя последовательные преобразования (сдвиги) графика базовой функции $y=x^2$.

Общий вид преобразованной параболы: $y = a(x-h)^2+k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. В нашем случае $a=1$, $h=3$, $k=1$. Значит, вершина параболы находится в точке $(3, 1)$.

Последовательность действий для построения:

1. Построение базового графика. Строим график функции $y=x^2$. Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Горизонтальный сдвиг. Сдвигаем график $y=x^2$ на $h=3$ единицы вправо вдоль оси Ox. Это соответствует вычитанию 3 из аргумента $x$, то есть мы получаем график функции $y=(x-3)^2$. Вершина новой параболы теперь находится в точке $(3, 0)$.
3. Вертикальный сдвиг. Сдвигаем полученный график $y=(x-3)^2$ на $k=1$ единицу вверх вдоль оси Oy. Это соответствует прибавлению 1 ко всей функции, и мы получаем искомый график $y=(x-3)^2+1$. Вершина параболы смещается в точку $(3, 1)$.

Ответ: Последовательность действий:
1. Построить параболу $y=x^2$.
2. Сдвинуть ее на 3 единицы вправо.
3. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх.
В результате мы получим график функции $y = x^2 - 6x + 10$, который является параболой с вершиной в точке $(3, 1)$ и ветвями, направленными вверх.

21.20 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = -\sqrt{x - 1}$:

a) на отрезке [2; 5];

б) на полуинтервале [1; 4).

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -\sqrt{x-1}$ проанализируем её свойства.
1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, следовательно, $x \ge 1$. Область определения функции: $D(y) = [1; +\infty)$.
2. Монотонность. Можно исследовать функцию на монотонность с помощью производной. $y' = \left(-\sqrt{x-1}\right)' = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$. На всей области определения (для $x > 1$) производная $y' < 0$, так как знаменатель $2\sqrt{x-1}$ всегда положителен. Это означает, что функция $y = -\sqrt{x-1}$ является строго монотонно убывающей на всей своей области определения.

а) на отрезке [2; 5];

Поскольку функция монотонно убывает, на отрезке $[2; 5]$ она достигает своего наибольшего значения в левой границе отрезка, а наименьшего — в правой.
Наибольшее значение функции достигается при $x=2$: $y_{наиб} = y(2) = -\sqrt{2-1} = -\sqrt{1} = -1$.
Наименьшее значение функции достигается при $x=5$: $y_{наим} = y(5) = -\sqrt{5-1} = -\sqrt{4} = -2$.
Ответ: $y_{наим} = -2$, $y_{наиб} = -1$.

б) на полуинтервале [1; 4);

На полуинтервале $[1; 4)$ функция также является монотонно убывающей.
Наибольшее значение достигается в левой, включенной в интервал, точке $x=1$: $y_{наиб} = y(1) = -\sqrt{1-1} = -\sqrt{0} = 0$.
Поскольку правая граница интервала, точка $x=4$, не принадлежит полуинтервалу (интервал открыт справа), наименьшее значение на этом полуинтервале не достигается. Функция стремится к своему значению в этой точке, но никогда его не достигает. Значение, к которому стремится функция, является её точной нижней гранью (инфимумом), но не минимумом.
При $x \to 4^-$, значение функции $y(x) \to -\sqrt{4-1} = -\sqrt{3}$. Так как $x < 4$, то $y(x) > -\sqrt{3}$. Для любого значения функции из промежутка $(-\sqrt{3}; 0]$ всегда можно найти еще меньшее значение, также принадлежащее этому промежутку. Таким образом, наименьшего значения у функции на данном полуинтервале нет.
Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.

21.21 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = |x + 2|$:

а) на отрезке $[-2; 0];

б) на луче $[-3; +\infty);

в) на луче $(-\infty; 3];

г) на отрезке $[1; 4].

а) на отрезке [-2; 0];

Функция $y = |x + 2|$ достигает своего глобального минимума в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть при $x = -2$. Значение функции в этой точке $y(-2) = |-2 + 2| = 0$. На промежутке $[-2, +\infty)$ функция возрастает, так как при раскрытии модуля ($x+2 \ge 0$) мы получаем $y = x+2$. Поскольку отрезок $[-2; 0]$ полностью входит в промежуток возрастания, наименьшее значение функции будет на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = |-2 + 2| = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = |0 + 2| = 2$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 2.

б) на луче [-3; +∞);

Рассматриваемый луч $[-3; +\infty)$ включает в себя точку минимума функции $x = -2$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче равно её глобальному минимуму.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = |-2 + 2| = 0$.

На промежутке $[-2; +\infty)$, который является частью данного луча, функция $y = x+2$ неограниченно возрастает. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, наибольшего значения на луче $[-3; +\infty)$ не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) на луче (-∞; 3];

Рассматриваемый луч $(-\infty; 3]$ также включает в себя точку минимума функции $x = -2$. Значит, наименьшее значение функции на этом луче также равно её глобальному минимуму.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = |-2 + 2| = 0$.

На промежутке $(-\infty; -2]$ функция убывает и имеет вид $y = -(x+2) = -x - 2$. При $x \to -\infty$, значение $y \to +\infty$. Так как луч $(-\infty; 3]$ уходит в бесконечность по оси $x$, функция на нем не ограничена сверху. Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

г) на отрезке [1; 4].

Отрезок $[1; 4]$ полностью расположен на промежутке возрастания функции ($x > -2$). На этом отрезке функция имеет вид $y = x+2$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом, поэтому она возрастает на всем отрезке. Наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = |1 + 2| = 3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = |4 + 2| = 6$.

Ответ: наименьшее значение 3, наибольшее значение 6.

21.22 Постройте график функции $y = 2(x - 1)^2$.

а) Найдите значения $y$ при $x = -1; 0; 1$.

б) Найдите значения $x$, если $y = 2; 8; 0$.

в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

г) Напишите уравнение оси симметрии параболы.

Для построения графика функции $y=2(x-1)^2$ и ответа на вопросы проанализируем её свойства. Это квадратичная функция, её график — парабола. Уравнение представлено в виде $y=a(x-h)^2+k$, где $a=2$, $h=1$, $k=0$.

• Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть $(1, 0)$.
• Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=h$, то есть $x=1$.

Для построения графика найдем несколько точек.

а) Найдите значения у при x = -1; 0; 1.

Подставим заданные значения $x$ в уравнение функции:
При $x = -1$: $y = 2(-1 - 1)^2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
При $x = 0$: $y = 2(0 - 1)^2 = 2(-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.
При $x = 1$: $y = 2(1 - 1)^2 = 2(0)^2 = 0$.
Ответ: при $x=-1$ $y=8$; при $x=0$ $y=2$; при $x=1$ $y=0$.

б) Найдите значения х, если у = 2; 8; 0.

Решим уравнения для каждого значения $y$:
Если $y = 2$:
$2 = 2(x - 1)^2$
$1 = (x - 1)^2$
$x - 1 = 1$ или $x - 1 = -1$
$x = 2$ или $x = 0$.

Если $y = 8$:
$8 = 2(x - 1)^2$
$4 = (x - 1)^2$
$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$
$x = 3$ или $x = -1$.

Если $y = 0$:
$0 = 2(x - 1)^2$
$0 = (x - 1)^2$
$x - 1 = 0$
$x = 1$.
Ответ: при $y=2$ значения $x=0$ и $x=2$; при $y=8$ значения $x=-1$ и $x=3$; при $y=0$ значение $x=1$.

в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Вершина параболы находится в точке $x=1$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке до вершины и возрастает на промежутке после вершины.
Функция убывает при $x \in (-\infty; 1]$.
Функция возрастает при $x \in [1; +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

г) Напишите уравнение оси симметрии параболы.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Вершина параболы $y = 2(x - 1)^2$ находится в точке $(1, 0)$. Следовательно, уравнение оси симметрии — это $x=1$.
Ответ: $x=1$.

21.23 Постройте график функции $y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2$.

а) Найдите значения $y$ при $x = -2; 0; 2.$

б) Найдите значения $x$, если $y = 0; -1; -4.$

в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

г) Напишите уравнение оси симметрии параболы.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{4}(x+2)^2$ определим его основные характеристики.
Это квадратичная функция, ее график — парабола. Уравнение представлено в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины.
В нашем случае, $a = -\frac{1}{4}$, $x_0 = -2$, $y_0 = 0$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$.
Поскольку коэффициент $a = -\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.
Найдем несколько контрольных точек для построения. Выберем значения $x$ симметрично относительно оси $x=-2$.
При $x=0$: $y = -\frac{1}{4}(0+2)^2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=-2$ будет иметь абсциссу $-4$. При $x=-4$: $y = -\frac{1}{4}(-4+2)^2 = -1$. Точка $(-4, -1)$.
При $x=2$: $y = -\frac{1}{4}(2+2)^2 = -\frac{1}{4}(16) = -4$. Точка $(2, -4)$.
Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $-6$. При $x=-6$: $y = -\frac{1}{4}(-6+2)^2 = -\frac{1}{4}(16) = -4$. Точка $(-6, -4)$.
Построение графика: на координатной плоскости отмечаем вершину $(-2, 0)$ и найденные точки $(0, -1)$, $(-4, -1)$, $(2, -4)$, $(-6, -4)$ и соединяем их плавной кривой, направленной ветвями вниз.

а) Найдите значения у при x = -2; 0; 2.

Подставим заданные значения $x$ в уравнение функции $y = -\frac{1}{4}(x+2)^2$:
При $x = -2$: $y = -\frac{1}{4}(-2+2)^2 = -\frac{1}{4}(0)^2 = 0$.
При $x = 0$: $y = -\frac{1}{4}(0+2)^2 = -\frac{1}{4}(2)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$.
При $x = 2$: $y = -\frac{1}{4}(2+2)^2 = -\frac{1}{4}(4)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 16 = -4$.
Ответ: при $x=-2$ значение $y=0$; при $x=0$ значение $y=-1$; при $x=2$ значение $y=-4$.

б) Найдите значения x, если y = 0; -1; -4.

Подставим заданные значения $y$ в уравнение функции и решим относительно $x$:
Если $y=0$:
$0 = -\frac{1}{4}(x+2)^2$
$(x+2)^2 = 0$
$x+2 = 0$
$x = -2$.

Если $y=-1$:
$-1 = -\frac{1}{4}(x+2)^2$
$4 = (x+2)^2$
$x+2 = \pm\sqrt{4}$
$x+2 = 2$ или $x+2 = -2$
$x = 0$ или $x = -4$.

Если $y=-4$:
$-4 = -\frac{1}{4}(x+2)^2$
$16 = (x+2)^2$
$x+2 = \pm\sqrt{16}$
$x+2 = 4$ или $x+2 = -4$
$x = 2$ или $x = -6$.
Ответ: при $y=0$ значение $x=-2$; при $y=-1$ значения $x=0$ и $x=-4$; при $y=-4$ значения $x=2$ и $x=-6$.

в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = -2$. Так как ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), функция возрастает на промежутке до вершины и убывает на промежутке после вершины.
Промежуток возрастания: $(-\infty; -2]$.
Промежуток убывания: $[-2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.

г) Напишите уравнение оси симметрии параболы.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Координаты вершины $(-2, 0)$.
Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

21.24 Постройте график функции $y = \frac{3}{x+1}$.

а) Найдите значения $y$ при $x = -2; 0; 2$.

б) Найдите значения $x$, если $y = 6; -1; -6$.

в) Исследуйте функцию на монотонность.

г) Напишите уравнения асимптот данной гиперболы.

Заданная функция $y = \frac{3}{x+1}$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Этот график можно получить из графика базовой функции $y = \frac{3}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (Ox).

Сначала построим график. Для этого определим его основные характеристики и найдем координаты нескольких точек.

• Область определения функции: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота — прямая $x = -1$. Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$ значение дроби стремится к нулю.
• Расположение ветвей: Так как коэффициент $k=3 > 0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях относительно "нового" центра, образованного асимптотами.

Составим таблицу значений для более точного построения графика:

На координатной плоскости сначала строим асимптоты $x = -1$ и $y = 0$. Затем отмечаем точки из таблицы и плавно соединяем их, получая две ветви гиперболы.

а) Найдем значения $y$ при $x = -2; 0; 2$. Для этого подставим значения $x$ в формулу функции.

Если $x = -2$, то $y = \frac{3}{-2+1} = \frac{3}{-1} = -3$.

Если $x = 0$, то $y = \frac{3}{0+1} = \frac{3}{1} = 3$.

Если $x = 2$, то $y = \frac{3}{2+1} = \frac{3}{3} = 1$.

Ответ: при $x = -2, y = -3$; при $x = 0, y = 3$; при $x = 2, y = 1$.

б) Найдем значения $x$, если $y = 6; -1; -6$. Для этого подставим значения $y$ в формулу и решим уравнение относительно $x$.

Из $y = \frac{3}{x+1}$ следует, что $x+1 = \frac{3}{y}$, а значит $x = \frac{3}{y} - 1$.

Если $y = 6$, то $x = \frac{3}{6} - 1 = 0.5 - 1 = -0.5$.

Если $y = -1$, то $x = \frac{3}{-1} - 1 = -3 - 1 = -4$.

Если $y = -6$, то $x = \frac{3}{-6} - 1 = -0.5 - 1 = -1.5$.

Ответ: если $y = 6, x = -0.5$; если $y = -1, x = -4$; если $y = -6, x = -1.5$.

в) Исследуем функцию на монотонность.

Функция вида $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ при $k>0$ является убывающей на всей своей области определения. В нашем случае $y = \frac{3}{x+1}$, где $k = 3 > 0$.

Область определения функции состоит из двух промежутков: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. На каждом из этих промежутков функция убывает (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается).

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

г) Напишем уравнения асимптот данной гиперболы.

Вертикальная асимптота — это прямая, параллельная оси Oy, уравнение которой находится из условия, что знаменатель функции равен нулю. $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Горизонтальная асимптота — это прямая, параллельная оси Ox, к которой стремится график функции при $x \to \pm\infty$. Для функции $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ ее уравнение $y=y_0$. В нашем случае $y = \frac{3}{x+1} + 0$, поэтому горизонтальная асимптота — $y = 0$.

Ответ: вертикальная асимптота: $x = -1$; горизонтальная асимптота: $y = 0$.

21.25 Постройте график функции $y = -\frac{6}{x-2}$.

а) Найдите значения $y$ при $x = -1; 0; 3$.

б) Найдите значения $x$, если $y = 3; -1; -2$.

в) Исследуйте функцию на монотонность.

г) Напишите уравнения асимптот данной гиперболы.

Для построения графика функции $y = -\frac{6}{x-2}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить асимптоты.
График функции — гипербола. Вертикальная асимптота находится из условия равенства знаменателя нулю: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$.
Горизонтальная асимптота находится при поиске предела функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{6}{x-2}\right) = 0$, откуда $y = 0$.

2. Определить расположение ветвей.
Данный график получен из графика $y = -\frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Так как коэффициент перед дробью $k=-6$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно нового центра — точки пересечения асимптот $(2, 0)$.

3. Найти опорные точки для построения.
Составим таблицу значений для нескольких точек:
При $x = -1$, $y = -\frac{6}{-1-2} = 2$. Точка $(-1, 2)$.
При $x = 0$, $y = -\frac{6}{0-2} = 3$. Точка $(0, 3)$.
При $x = 1$, $y = -\frac{6}{1-2} = 6$. Точка $(1, 6)$.
При $x = 3$, $y = -\frac{6}{3-2} = -6$. Точка $(3, -6)$.
При $x = 4$, $y = -\frac{6}{4-2} = -3$. Точка $(4, -3)$.
При $x = 5$, $y = -\frac{6}{5-2} = -2$. Точка $(5, -2)$.

На координатной плоскости строятся асимптоты $x=2$ и $y=0$, наносятся вычисленные точки, которые затем соединяются плавными линиями, образуя ветви гиперболы.

а) Найдите значения y при x = -1; 0; 3.

Подставляем заданные значения $x$ в уравнение функции $y = -\frac{6}{x-2}$:
При $x = -1$: $y = -\frac{6}{-1 - 2} = -\frac{6}{-3} = 2$.
При $x = 0$: $y = -\frac{6}{0 - 2} = -\frac{6}{-2} = 3$.
При $x = 3$: $y = -\frac{6}{3 - 2} = -\frac{6}{1} = -6$.
Ответ: при $x=-1$, $y=2$; при $x=0$, $y=3$; при $x=3$, $y=-6$.

б) Найдите значения x, если y = 3; -1; -2.

Подставляем заданные значения $y$ в уравнение функции и решаем его относительно $x$:
При $y = 3$:
$3 = -\frac{6}{x-2}$
$3(x-2) = -6$
$x-2 = -2$
$x = 0$.

При $y = -1$:
$-1 = -\frac{6}{x-2}$
$1 = \frac{6}{x-2}$
$x-2 = 6$
$x = 8$.

При $y = -2$:
$-2 = -\frac{6}{x-2}$
$2(x-2) = 6$
$x-2 = 3$
$x = 5$.
Ответ: при $y=3$, $x=0$; при $y=-1$, $x=8$; при $y=-2$, $x=5$.

в) Исследуйте функцию на монотонность.

Область определения функции $D(y): x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$, то есть $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Для исследования монотонности найдем производную функции:
$y' = \left(-\frac{6}{x-2}\right)' = \left(-6(x-2)^{-1}\right)' = -6 \cdot (-1)(x-2)^{-2} \cdot (x-2)' = \frac{6}{(x-2)^2}$.
Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Числитель $6$ также положителен.
Следовательно, производная $y' > 0$ на всей области определения.
Это означает, что функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

г) Напишите уравнения асимптот данной гиперболы.

Вертикальная асимптота — это прямая, к которой стремится график функции, когда знаменатель дроби обращается в ноль.
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой стремится график функции, когда $x$ стремится к бесконечности.
$\lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{6}{x-2}\right) = 0$, следовательно, $y = 0$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$.

21.26 Используя график функции $y = \sqrt{x+4}$, найдите:

а) значения $y$ при $x = -4$; 0; 5;

б) значения $x$, если $y = 1$; 0; 3;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-3; 0]$;

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию $0 < y < 3$.

а) значения у при x = -4; 0; 5;

Чтобы найти значения функции $y$ при заданных значениях аргумента $x$, мы подставляем эти значения в уравнение функции $y = \sqrt{x+4}$. Это эквивалентно нахождению на графике точек с заданными абсциссами и определению их ординат.

• При $x = -4$:
  $y = \sqrt{-4 + 4} = \sqrt{0} = 0$.
• При $x = 0$:
  $y = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.
• При $x = 5$:
  $y = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: при $x = -4$ значение $y = 0$; при $x = 0$ значение $y = 2$; при $x = 5$ значение $y = 3$.

б) значения x, если y = 1; 0; 3;

Чтобы найти значения аргумента $x$ по заданным значениям функции $y$, мы подставляем значения $y$ в уравнение $y = \sqrt{x+4}$ и решаем его относительно $x$. Это эквивалентно нахождению на графике точек с заданными ординатами и определению их абсцисс.

• При $y = 1$:
  $1 = \sqrt{x+4}$
  Возводим обе части уравнения в квадрат:
  $1^2 = (\sqrt{x+4})^2$
  $1 = x+4$
  $x = 1 - 4 = -3$.
• При $y = 0$:
  $0 = \sqrt{x+4}$
  Возводим обе части в квадрат:
  $0^2 = (\sqrt{x+4})^2$
  $0 = x+4$
  $x = -4$.
• При $y = 3$:
  $3 = \sqrt{x+4}$
  Возводим обе части в квадрат:
  $3^2 = (\sqrt{x+4})^2$
  $9 = x+4$
  $x = 9 - 4 = 5$.

Ответ: при $y = 1$ значение $x = -3$; при $y = 0$ значение $x = -4$; при $y = 3$ значение $x = 5$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3; 0];

Функция $y = \sqrt{x+4}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge -4$), так как с увеличением $x$ значение подкоренного выражения $x+4$ увеличивается, а значит, увеличивается и значение корня. На графике это выглядит как линия, идущая вверх при движении слева направо.

Следовательно, на отрезке $[-3; 0]$ наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка (при наименьшем $x$), а наибольшее — на правом конце (при наибольшем $x$).

• Наименьшее значение функции на отрезке $[-3; 0]$ достигается при $x = -3$:
  $y_{наим} = \sqrt{-3 + 4} = \sqrt{1} = 1$.
• Наибольшее значение функции на отрезке $[-3; 0]$ достигается при $x = 0$:
  $y_{наиб} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-3; 0]$ равно 1, наибольшее значение равно 2.

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию 0 < y < 3.

Нам нужно найти все значения $x$, для которых ордината графика $y$ находится в интервале от 0 до 3. Для этого решим двойное неравенство:

$0 < y < 3$

Подставим выражение для $y$:

$0 < \sqrt{x+4} < 3$

Так как все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знаки неравенства сохранятся:

$0^2 < (\sqrt{x+4})^2 < 3^2$

$0 < x+4 < 9$

Теперь решим это двойное неравенство относительно $x$, вычтя 4 из всех его частей:

$0 - 4 < x + 4 - 4 < 9 - 4$

$-4 < x < 5$

Таким образом, условию удовлетворяют все значения аргумента из интервала $(-4; 5)$.

Ответ: $x \in (-4; 5)$.

21.27 Постройте график функции $y = |x + 1|$. С помощью графика найдите:

а) значения y при x = -1; 0; 4;

б) значения x, если y = 1; 0; 5;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию $y \le 1$.

Для построения графика функции $y = |x + 1|$ раскроем модуль. По определению абсолютной величины:

$y = |x+1| = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x + 1 \ge 0, \text{ то есть } x \ge -1 \\-(x + 1), & \text{если } x + 1 < 0, \text{ то есть } x < -1\end{cases}$

Таким образом, график функции состоит из двух лучей, которые встречаются в одной точке — вершине. Координаты вершины можно найти, приравняв подмодульное выражение к нулю:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

При $x = -1$, значение функции $y = |-1 + 1| = 0$. Следовательно, вершина графика находится в точке $(-1, 0)$.

Для построения лучей найдем еще по одной точке на каждом из них:

• Для луча $y = x + 1$ (при $x \ge -1$), возьмем $x = 0$. Тогда $y = 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Для луча $y = -x - 1$ (при $x < -1$), возьмем $x = -2$. Тогда $y = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1$. Получаем точку $(-2, 1)$.

Соединяем вершину $(-1, 0)$ с точками $(0, 1)$ и $(-2, 1)$ и продолжаем лучи. Получаем следующий график:

С помощью построенного графика ответим на вопросы.

а) значения y при x = –1; 0; 4;

Находим на графике точки с заданными абсциссами и определяем их ординаты.

• При $x = -1$, точка является вершиной графика, ее ордината $y=0$.
• При $x = 0$, находим на оси $Ox$ точку 0, поднимаемся до графика и видим, что ордината соответствующей точки равна 1. Таким образом, $y=1$.
• При $x = 4$, находим на графике точку с абсциссой 4. Ее ордината $y=|4+1|=5$.

Ответ: при $x = -1, y = 0$; при $x = 0, y = 1$; при $x = 4, y = 5$.

б) значения x, если y = 1; 0; 5;

Находим на графике точки с заданными ординатами и определяем их абсциссы. Для этого проводим горизонтальные прямые.

• При $y = 1$, прямая $y=1$ пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек $x=-2$ и $x=0$.
• При $y = 0$, прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график в одной точке — вершине. Ее абсцисса $x=-1$.
• При $y = 5$, прямая $y=5$ пересекает график в двух точках. Их абсциссы $x=-6$ и $x=4$.

Ответ: если $y=1$, то $x=-2$ или $x=0$; если $y=0$, то $x=-1$; если $y=5$, то $x=-6$ или $x=4$.

в) промежутки возрастания и убывания функции;

Анализируя график, видим, что:

• Функция убывает (график идет вниз слева направо) на промежутке от $-\infty$ до вершины.
• Функция возрастает (график идет вверх слева направо) на промежутке от вершины до $+\infty$.

Вершина имеет абсциссу $x=-1$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

г) значения аргумента, удовлетворяющие условию y ≤ 1.

Нам нужно найти все значения $x$, для которых график функции $y=|x+1|$ находится на прямой $y=1$ или ниже ее. Из пункта б) мы знаем, что график пересекает прямую $y=1$ в точках с абсциссами $x=-2$ и $x=0$. Между этими точками "галочка" графика находится ниже уровня $y=1$. Таким образом, условию $y \le 1$ удовлетворяют все значения $x$ из отрезка от -2 до 0.

Ответ: $x \in [-2, 0]$.