Страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

20.31 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{4}{x}$. Найдите:

a) $f^2(x);$

б) $\frac{1}{f(x)};$

в) $f^3(x);$

г) $-\frac{2}{f(x)}.$

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{4}{x}$. Для нахождения требуемых выражений подставим данную функцию в каждое из них.

а) f²(x);

Выражение $f^2(x)$ означает, что нужно возвести в квадрат значение функции $f(x)$.

$f^2(x) = (f(x))^2 = \left(\frac{4}{x}\right)^2 = \frac{4^2}{x^2} = \frac{16}{x^2}$.

Ответ: $\frac{16}{x^2}$.

б) $\frac{1}{f(x)}$;

Чтобы найти $\frac{1}{f(x)}$, нужно разделить 1 на выражение для $f(x)$. Это операция нахождения обратной функции.

$\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{4}{x}} = 1 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{4}$.

Ответ: $\frac{x}{4}$.

в) f³(x);

Выражение $f^3(x)$ означает, что нужно возвести в куб значение функции $f(x)$.

$f^3(x) = (f(x))^3 = \left(\frac{4}{x}\right)^3 = \frac{4^3}{x^3} = \frac{64}{x^3}$.

Ответ: $\frac{64}{x^3}$.

г) $-\frac{2}{f(x)}$.

Чтобы найти $-\frac{2}{f(x)}$, нужно разделить -2 на выражение для $f(x)$.

$-\frac{2}{f(x)} = -2 \cdot \frac{1}{f(x)} = -2 \cdot \frac{1}{\frac{4}{x}} = -2 \cdot \frac{x}{4} = -\frac{2x}{4} = -\frac{x}{2}$.

Ответ: $-\frac{x}{2}$.

20.32 Решите неравенство графически:

а) $ \frac{4}{x} > 2x - 2; $

б) $ 0,5x - 1 > \frac{4}{x} . $

а) Чтобы решить неравенство $\frac{4}{x} > 2x - 2$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = 2x - 2$. Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график функции $y = \frac{4}{x}$ находится выше графика функции $y = 2x - 2$.

1. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Область определения: $x \neq 0$. Составим таблицу значений:

• при $x=1, y=4$
• при $x=2, y=2$
• при $x=4, y=1$
• при $x=-1, y=-4$
• при $x=-2, y=-2$
• при $x=-4, y=-1$

2. Построим график функции $y = 2x - 2$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x=0, y=-2$
• при $x=1, y=0$

3. Найдем точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $\frac{4}{x} = 2x - 2$.
Поскольку $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:
$4 = 2x^2 - 2x$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{4}{2} = 2$. Точка пересечения $(2, 2)$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{4}{-1} = -4$. Точка пересечения $(-1, -4)$.

4. Построив графики, мы видим, что гипербола $y = \frac{4}{x}$ расположена выше прямой $y = 2x - 2$ на двух промежутках: когда $x$ изменяется от $-\infty$ до абсциссы первой точки пересечения $x=-1$, и когда $x$ изменяется от точки разрыва ($x=0$) до абсциссы второй точки пересечения $x=2$.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2)$.

б) Чтобы решить неравенство $0,5x - 1 > \frac{4}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 0,5x - 1$ и $y = \frac{4}{x}$. Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график функции $y = 0,5x - 1$ находится выше графика функции $y = \frac{4}{x}$.

1. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях (см. пункт а).

2. Построим график функции $y = 0,5x - 1$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x=0, y=-1$
• при $x=2, y=0$

3. Найдем точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $0,5x - 1 = \frac{4}{x}$.
Поскольку $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:
$0,5x^2 - x = 4$
$0,5x^2 - x - 4 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{4}{4} = 1$. Точка пересечения $(4, 1)$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{4}{-2} = -2$. Точка пересечения $(-2, -2)$.

4. Построив графики, мы видим, что прямая $y = 0,5x - 1$ расположена выше гиперболы $y = \frac{4}{x}$ на двух промежутках: когда $x$ изменяется от абсциссы первой точки пересечения $x=-2$ до точки разрыва ($x=0$), и когда $x$ больше абсциссы второй точки пересечения $x=4$.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2, 0) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (4, +\infty)$.

20.33 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{4}{x}$. Докажите, что

$f(x+1) - f(x-1) = -\frac{1}{2}f(x+1) \cdot f(x-1)$.

Для доказательства данного тождества необходимо подставить определение функции $f(x) = \frac{4}{x}$ в левую и правую части равенства и показать, что они тождественно равны. Область определения функции: $x \neq 0$. Для доказываемого тождества также необходимо, чтобы $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$ и $x \neq 1$.

1. Преобразуем левую часть равенства.
Выразим $f(x + 1)$ и $f(x - 1)$ через $x$:
$f(x + 1) = \frac{4}{x + 1}$
$f(x - 1) = \frac{4}{x - 1}$
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$f(x + 1) - f(x - 1) = \frac{4}{x + 1} - \frac{4}{x - 1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$:
$\frac{4(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{4(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{4(x - 1) - 4(x + 1)}{x^2 - 1}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{4x - 4 - 4x - 4}{x^2 - 1} = \frac{-8}{x^2 - 1}$

2. Преобразуем правую часть равенства.
Подставим выражения для $f(x + 1)$ и $f(x - 1)$ в правую часть равенства:
$-\frac{1}{2}f(x + 1) \cdot f(x - 1) = -\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{x + 1}\right) \cdot \left(\frac{4}{x - 1}\right)$
Выполним умножение дробей:
$-\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{(x + 1)(x - 1)} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x^2 - 1}$
Упростим полученное выражение:
$-\frac{16}{2(x^2 - 1)} = \frac{-8}{x^2 - 1}$

3. Сравнение результатов.
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна $\frac{-8}{x^2 - 1}$ и правая часть равенства также равна $\frac{-8}{x^2 - 1}$.
Поскольку левая и правая части тождественно равны, исходное равенство доказано.

Ответ: Тождество $f(x + 1) - f(x - 1) = -\frac{1}{2}f(x + 1) \cdot f(x - 1)$ доказано, так как обе его части приводятся к одному и тому же выражению $\frac{-8}{x^2 - 1}$.

20.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{3}{x}$. Докажите, что

$f(x + 2) + f(2 - x) = -4f(x^2 - 4)$.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую и правую части, используя определение функции $f(x) = \frac{3}{x}$, и показать, что они равны.

1. Преобразование левой части (ЛЧ)

Левая часть равенства: $f(x + 2) + f(2 - x)$.
Подставим аргументы $(x + 2)$ и $(2 - x)$ в определение функции:
$f(x + 2) + f(2 - x) = \frac{3}{x + 2} + \frac{3}{2 - x}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(2 - x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2$:
$\frac{3(2 - x) + 3(x + 2)}{(x + 2)(2 - x)} = \frac{6 - 3x + 3x + 6}{4 - x^2} = \frac{12}{4 - x^2}$
Таким образом, левая часть равна $\frac{12}{4 - x^2}$.

2. Преобразование правой части (ПЧ)

Правая часть равенства: $-4f(x^2 - 4)$.
Подставим аргумент $(x^2 - 4)$ в определение функции:
$-4f(x^2 - 4) = -4 \cdot \frac{3}{x^2 - 4} = \frac{-12}{x^2 - 4}$
Чтобы привести выражение к тому же знаменателю, что и у левой части, вынесем знак минус из знаменателя:
$\frac{-12}{-(4 - x^2)} = \frac{12}{4 - x^2}$
Таким образом, правая часть также равна $\frac{12}{4 - x^2}$.

3. Заключение

Мы получили, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению:
ЛЧ = $\frac{12}{4 - x^2}$ и ПЧ = $\frac{12}{4 - x^2}$.
Поскольку ЛЧ = ПЧ, исходное равенство является верным тождеством.

Ответ: Тождество доказано.

20.35 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$. Найдите значение аргумента, при котором выполняется равенство $f(x + 3) = 2f(x + 5)$.

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Нам необходимо найти значение аргумента $x$, при котором выполняется равенство $f(x + 3) = 2f(x + 5)$.

Для того чтобы решить это уравнение, подставим в него определение функции $f(x)$.

Сначала найдем выражение для $f(x+3)$. Для этого в формуле $f(x) = \frac{1}{x}$ заменим $x$ на $x+3$:
$f(x+3) = \frac{1}{x+3}$

Теперь найдем выражение для $f(x+5)$. Для этого в формуле $f(x) = \frac{1}{x}$ заменим $x$ на $x+5$:
$f(x+5) = \frac{1}{x+5}$

Подставим полученные выражения в исходное равенство $f(x + 3) = 2f(x + 5)$:
$\frac{1}{x+3} = 2 \cdot \frac{1}{x+5}$
$\frac{1}{x+3} = \frac{2}{x+5}$

Это рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю:
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Теперь решим уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):
$1 \cdot (x+5) = 2 \cdot (x+3)$
$x+5 = 2x + 6$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$5 - 6 = 2x - x$
$-1 = x$

Полученное значение $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 \neq -3$ и $-1 \neq -5$. Следовательно, это и есть искомое значение аргумента.

Ответ: -1

20.36 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x^2, & \text{если } -3 \le x \le 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } 0 < x \le 4; \\ \frac{8}{x}, & \text{если } x > 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(-3), f(1), f(\sqrt{33} - 1).$

б) Постройте график функции $y = f(x).$

в) Перечислите свойства функции.

Для нахождения значений функции $f(x)$ в заданных точках нужно определить, какому из трех промежутков принадлежит аргумент $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

1. Найдем $f(-3)$. Аргумент $x = -3$ удовлетворяет условию $-3 \le x \le 0$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = -\frac{1}{3}x^2$:

$f(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$.

2. Найдем $f(1)$. Аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $0 < x \le 4$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = \sqrt{x}$:

$f(1) = \sqrt{1} = 1$.

3. Найдем $f(\sqrt{33} - 1)$. Сначала оценим значение аргумента $x = \sqrt{33} - 1$. Поскольку $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $5 < \sqrt{33} < 6$. Вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем $4 < \sqrt{33} - 1 < 5$. Это означает, что аргумент удовлетворяет условию $x > 4$. Следовательно, используем третью формулу $f(x) = \frac{8}{x}$:

$f(\sqrt{33} - 1) = \frac{8}{\sqrt{33} - 1}$.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{33} + 1)$:

$\frac{8}{\sqrt{33} - 1} = \frac{8(\sqrt{33} + 1)}{(\sqrt{33} - 1)(\sqrt{33} + 1)} = \frac{8(\sqrt{33} + 1)}{33 - 1} = \frac{8(\sqrt{33} + 1)}{32} = \frac{\sqrt{33} + 1}{4}$.

Ответ: $f(-3) = -3$; $f(1) = 1$; $f(\sqrt{33} - 1) = \frac{\sqrt{33} + 1}{4}$.

График функции $y = f(x)$ строится из трех частей, каждая на своем промежутке.

1. На отрезке $[-3; 0]$ строим график функции $y = -\frac{1}{3}x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 0)$. Ключевые точки: начало отрезка $(-3, f(-3)) = (-3, -3)$ и конец отрезка $(0, f(0)) = (0, 0)$.

2. На полуинтервале $(0; 4]$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это часть стандартной ветви параболы, идущая из начала координат. График начинается в точке $(0; 0)$ (где он непрерывно соединяется с первой частью) и заканчивается в точке $(4, f(4)) = (4, 2)$. Промежуточная точка для точности: $(1, 1)$.

3. На интервале $(4; +\infty)$ строим график функции $y = \frac{8}{x}$. Это часть гиперболы. При $x$, стремящемся к $4$ справа, $y$ стремится к $\frac{8}{4} = 2$, то есть график непрерывно продолжается из точки $(4, 2)$. При $x \to +\infty$, $y \to 0$, то есть ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой. Промежуточная точка для точности: $(8, 1)$.

В результате получаем непрерывную линию, состоящую из трех соединенных участков различных функций.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную кривую, состоящую из части параболы $y = -\frac{1}{3}x^2$ на $[-3; 0]$, части графика корня $y = \sqrt{x}$ на $(0; 4]$ и части гиперболы $y = \frac{8}{x}$ на $(4; +\infty)$.

На основе определения и графика функции перечислим ее основные свойства.

1. Область определения: $D(f) = [-3; +\infty)$.

2. Область значений: $E(f) = [-3; 2]$.

3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x = 0$.

4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) < 0$ при $x \in [-3; 0)$; $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

5. Монотонность: функция возрастает на промежутке $[-3; 4]$ и убывает на промежутке $(4; +\infty)$.

6. Экстремумы: $x_{max} = 4$ является точкой максимума, $y_{max} = f(4) = 2$; $x_{min} = -3$ является точкой минимума, $y_{min} = f(-3) = -3$.

7. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

8. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.

Ответ: Свойства функции: $D(f) = [-3; +\infty)$; $E(f) = [-3; 2]$; нуль $x=0$; $f(x)<0$ на $[-3; 0)$, $f(x)>0$ на $(0; +\infty)$; возрастает на $[-3; 4]$, убывает на $(4; +\infty)$; $y_{max}=2$ при $x=4$, $y_{min}=-3$ при $x=-3$; непрерывна; общего вида.

20.37 Постройте график функции:

a) $y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x}$

б) $y = \frac{2x + 2}{x^2 + x}$

в) $y = \frac{-x + 2}{x^2 - 2x}$

г) $y = \frac{-\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}}{x^2 + 2x}$

а) $y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - 3x \neq 0$

$x(x - 3) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции, разложив знаменатель на множители и сократив дробь. Это преобразование возможно при условии $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

$y = \frac{x - 3}{x(x - 3)} = \frac{1}{x}$

3. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = 3$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

4. Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим значение $x = 3$ в упрощенную функцию $y = \frac{1}{x}$:

$y(3) = \frac{1}{3}$.

Следовательно, график исходной функции — это гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(3; \frac{1}{3})$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(3; \frac{1}{3})$.

б) $y = \frac{2x + 2}{x^2 + x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 + x \neq 0$

$x(x + 1) \neq 0$

Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции, вынеся общие множители в числителе и знаменателе. Сокращение возможно при условии $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

$y = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{2}{x}$

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{2}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = -1$.

График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

4. Найдем координаты "выколотой" точки, подставив $x = -1$ в упрощенную функцию $y = \frac{2}{x}$:

$y(-1) = \frac{2}{-1} = -2$.

Следовательно, график исходной функции — это гипербола $y = \frac{2}{x}$ с выколотой точкой $(-1; -2)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{2}{x}$ с выколотой точкой $(-1; -2)$.

в) $y = \frac{-x + 2}{x^2 - 2x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю:

$x^2 - 2x \neq 0$

$x(x - 2) \neq 0$

Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Вынесем множители и сократим дробь при условии $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

$y = \frac{-(x - 2)}{x(x - 2)} = -\frac{1}{x}$

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{1}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = 2$.

График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

4. Найдем координаты "выколотой" точки, подставив $x = 2$ в упрощенную функцию $y = -\frac{1}{x}$:

$y(2) = -\frac{1}{2}$.

Следовательно, график исходной функции — это гипербола $y = -\frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(2; -\frac{1}{2})$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(2; -\frac{1}{2})$.

г) $y = \frac{-\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}}{x^2 + 2x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю:

$x^2 + 2x \neq 0$

$x(x + 2) \neq 0$

Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Сначала вынесем общий множитель в числителе:

$-\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}(x + 2)$

Теперь упростим саму функцию, сократив дробь при условии $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$:

$y = \frac{-\frac{1}{3}(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{-\frac{1}{3}}{x} = -\frac{1}{3x}$

3. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{1}{3x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = -2$.

График функции $y = -\frac{1}{3x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

4. Найдем координаты "выколотой" точки, подставив $x = -2$ в упрощенную функцию $y = -\frac{1}{3x}$:

$y(-2) = -\frac{1}{3(-2)} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$.

Следовательно, график исходной функции — это гипербола $y = -\frac{1}{3x}$ с выколотой точкой $(-2; \frac{1}{6})$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{1}{3x}$ с выколотой точкой $(-2; \frac{1}{6})$.

20.38 Постройте график уравнения:

а) $xy = 3$;

б) $(xy - 1)(y - 3) = 0$;

в) $xy = 6$;

г) $(xy - 2)(xy + 5) = 0$.

а) Уравнение $xy = 3$ представляет собой обратную пропорциональность. Чтобы построить график, выразим $y$ через $x$: $y = \frac{3}{x}$.
Это уравнение гиперболы. Так как коэффициент $k=3$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат (ось Ox, где $y=0$, и ось Oy, где $x=0$).
Для построения найдем несколько точек:
- при $x=1, y=3$;
- при $x=3, y=1$;
- при $x=-1, y=-3$;
- при $x=-3, y=-1$.
Соединив точки плавными линиями в каждой четверти, получим график гиперболы.
Ответ: Графиком является гипербола $y = \frac{3}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

б) Уравнение $(xy - 1)(y - 3) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $xy - 1 = 0$
2) $y - 3 = 0$
Графиком исходного уравнения будет объединение графиков этих двух уравнений.
1) $xy = 1$ или $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
2) $y = 3$. Это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 3)$.
Ответ: Графиком является объединение гиперболы $y = \frac{1}{x}$ и прямой $y = 3$.

в) Уравнение $xy = 6$.
Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$.
Это уравнение гиперболы. Так как коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Некоторые точки для построения:
- (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) для первой четверти;
- (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1) для третьей четверти.
Ответ: Графиком является гипербола $y = \frac{6}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

г) Уравнение $(xy - 2)(xy + 5) = 0$.
Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $xy - 2 = 0$
2) $xy + 5 = 0$
Графиком исходного уравнения будет объединение графиков этих двух уравнений.
1) $xy = 2$ или $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.
2) $xy = -5$ или $y = -\frac{5}{x}$. Это гипербола, у которой коэффициент $k=-5$ отрицателен, поэтому ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях.
Ответ: Графиком является объединение двух гипербол: $y = \frac{2}{x}$ и $y = -\frac{5}{x}$.