Страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

20.20 Используя графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = 0,5x$:

а) определите, при каких значениях x прямая расположена ниже гиперболы;

б) решите неравенство $0,5x > \frac{2}{x}$.

Для решения задачи нам нужно проанализировать взаимное расположение графиков двух функций: гиперболы $y = \frac{2}{x}$ и прямой $y = 0.5x$.

Сначала найдем точки пересечения этих графиков, для чего приравняем их правые части:

$0.5x = \frac{2}{x}$

Область допустимых значений $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$0.5x^2 = 2$

Умножим обе части на 2:

$x^2 = 4$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = -2$ и $x_2 = 2$

Найдем ординаты этих точек, подставив значения $x$ в уравнение прямой:

При $x = -2$, $y = 0.5 \cdot (-2) = -1$. Точка пересечения $(-2, -1)$.

При $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2 = 1$. Точка пересечения $(2, 1)$.

Точки пересечения ($x=-2$ и $x=2$) и точка разрыва гиперболы ($x=0$) разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$. Проанализируем положение графиков на каждом из этих интервалов.

Определим, при каких значениях $x$ прямая расположена ниже гиперболы. Это соответствует решению неравенства $0.5x < \frac{2}{x}$. Мы ищем интервалы, на которых график функции $y = 0.5x$ проходит ниже графика функции $y = \frac{2}{x}$.

Проанализируем интервалы:

• На интервале $(-\infty, -2)$: Возьмем пробную точку $x = -4$. Для прямой $y = 0.5(-4) = -2$. Для гиперболы $y = \frac{2}{-4} = -0.5$. Так как $-2 < -0.5$, на этом интервале прямая находится ниже гиперболы.
• На интервале $(-2, 0)$: Возьмем пробную точку $x = -1$. Для прямой $y = 0.5(-1) = -0.5$. Для гиперболы $y = \frac{2}{-1} = -2$. Так как $-0.5 > -2$, на этом интервале прямая находится выше гиперболы.
• На интервале $(0, 2)$: Возьмем пробную точку $x = 1$. Для прямой $y = 0.5(1) = 0.5$. Для гиперболы $y = \frac{2}{1} = 2$. Так как $0.5 < 2$, на этом интервале прямая находится ниже гиперболы.
• На интервале $(2, +\infty)$: Возьмем пробную точку $x = 4$. Для прямой $y = 0.5(4) = 2$. Для гиперболы $y = \frac{2}{4} = 0.5$. Так как $2 > 0.5$, на этом интервале прямая находится выше гиперболы.

Следовательно, прямая расположена ниже гиперболы при $x \in (-\infty, -2)$ и $x \in (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$.

Решим неравенство $0.5x > \frac{2}{x}$.

Это неравенство соответствует условию, что график прямой $y=0.5x$ расположен выше графика гиперболы $y=\frac{2}{x}$.

Из анализа, проведенного в пункте а), мы уже знаем, на каких интервалах прямая находится выше гиперболы. Это интервалы, где не выполнялось условие из пункта а).

Таким образом, прямая расположена выше гиперболы на интервалах $(-2, 0)$ и $(2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (2, +\infty)$.

20.21 Используя графики функций $y = -\frac{2}{x}$ и $y = -2x$:

а) определите, при каких значениях x прямая расположена выше гиперболы;

б) решите неравенство $-2x < -\frac{2}{x}$.

а) определить, при каких значениях х прямая расположена выше гиперболы;

Чтобы определить, при каких значениях $x$ прямая $y = -2x$ расположена выше гиперболы $y = -\frac{2}{x}$, необходимо проанализировать их графики. Условие "прямая выше гиперболы" соответствует неравенству $y_{прямая} > y_{гипербола}$, то есть $-2x > -\frac{2}{x}$.

1. Построение графиков и нахождение точек пересечения.
График $y = -2x$ — это прямая, проходящая через начало координат. График $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Для точного анализа найдем точки, в которых графики пересекаются, решив уравнение:

$-2x = -\frac{2}{x}$

При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$:

$-2x^2 = -2$

$x^2 = 1$

Корни этого уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие ординаты (y):

• Если $x = -1$, то $y = -2(-1) = 2$. Точка пересечения A(-1, 2).
• Если $x = 1$, то $y = -2(1) = -2$. Точка пересечения B(1, -2).

2. Сравнение графиков.
Точки пересечения $x=-1$ и $x=1$, а также точка разрыва гиперболы $x=0$, делят числовую ось на четыре интервала. Проанализируем положение прямой относительно гиперболы на каждом из них:

• На интервале $(-\infty; -1)$: прямая $y=-2x$ находится выше гиперболы $y = -\frac{2}{x}$. Например, при $x=-2$, $y_{прямая} = 4$, а $y_{гипербола} = 1$.
• На интервале $(-1; 0)$: прямая проходит под ветвью гиперболы.
• На интервале $(0; 1)$: прямая снова оказывается выше гиперболы. Например, при $x=0.5$, $y_{прямая} = -1$, а $y_{гипербола} = -4$.
• На интервале $(1; \infty)$: прямая уходит вниз быстрее и оказывается под гиперболой.

Таким образом, прямая расположена выше гиперболы на объединении интервалов $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

б) решите неравенство $-2x < -\frac{2}{x}$.

Данное неравенство соответствует условию, что прямая $y = -2x$ расположена ниже гиперболы $y = -\frac{2}{x}$.

Используя графический анализ, проведенный в пункте а), мы можем выбрать интервалы, на которых прямая находится под гиперболой. Это происходит на интервалах, которые не вошли в решение предыдущего пункта (не считая точек пересечения и точки разрыва $x=0$).

Из анализа следует, что прямая расположена ниже гиперболы:

• На интервале $(-1; 0)$.
• На интервале $(1; \infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (1; \infty)$.

20.22 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < -1; \\ 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

а) $f(-2), f(-1), f(1);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = 2, f(x) = 0, f(x) = \frac{1}{2}$.

Для построения графика функции $y = f(x)$ рассмотрим два случая, в зависимости от значения $x$.

1. При $x < -1$ функция задается формулой $f(x) = -\frac{2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных кварталах. Нас интересует только та часть, которая находится в левой полуплоскости и левее прямой $x = -1$. Составим таблицу значений для этой части:

На границе интервала, при $x = -1$, значение функции было бы $y = -\frac{2}{-1} = 2$. Так как $x < -1$, точка $(-1, 2)$ не принадлежит этой части графика, поэтому мы отмечаем ее как выколотую (пустой кружок).

2. При $-1 \le x \le 1$ функция задается формулой $f(x) = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах отрезка и в вершине:

• При $x = -1$, $f(-1) = 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$ принадлежит графику. Эта точка "закрашивает" выколотую точку от первой части.
• При $x = 0$, $f(0) = 2(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ - вершина параболы.
• При $x = 1$, $f(1) = 2(1)^2 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику.

Таким образом, график состоит из части гиперболы для $x < -1$ и участка параболы на отрезке $[-1, 1]$.

Теперь воспользуемся построенным графиком (или его аналитическим описанием) для ответа на вопросы.

а) Чтобы найти значения функции при заданных значениях аргумента, нужно определить, на какой участок графика попадает точка.

• Для $f(-2)$: так как $-2 < -1$, мы используем первую формулу: $f(-2) = -\frac{2}{-2} = 1$. На графике это соответствует точке $(-2, 1)$ на ветви гиперболы.
• Для $f(-1)$: так как $-1$ входит в отрезок $[-1, 1]$, мы используем вторую формулу: $f(-1) = 2(-1)^2 = 2$. На графике это точка $(-1, 2)$, где соединяются гипербола и парабола.
• Для $f(1)$: так как $1$ входит в отрезок $[-1, 1]$, мы используем вторую формулу: $f(1) = 2(1)^2 = 2$. На графике это правый конец участка параболы, точка $(1, 2)$.

Ответ: $f(-2) = 1$, $f(-1) = 2$, $f(1) = 2$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно заданному числу, нужно найти точки пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальными прямыми.

• $f(x) = 2$: Проведем горизонтальную прямую $y = 2$. Эта прямая пересекает график в двух точках. Обе точки принадлежат участку параболы: $2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ и $x = -1$. Оба значения входят в отрезок $[-1, 1]$. Итак, $x = -1$ и $x = 1$.
• $f(x) = 0$: Проведем горизонтальную прямую $y = 0$ (ось абсцисс). Эта прямая пересекает график в одной точке — вершине параболы. $2x^2 = 0 \implies x = 0$. Гипербола $y = -2/x$ не пересекает ось $x$. Итак, $x = 0$.
• $f(x) = \frac{1}{2}$: Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{2}$. Эта прямая пересекает график в трех точках.
  • Пересечение с гиперболой ($x < -1$): $-\frac{2}{x} = \frac{1}{2} \implies x = -4$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$.
  • Пересечение с параболой ($-1 \le x \le 1$): $2x^2 = \frac{1}{2} \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$. Оба значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$.
  Таким образом, мы имеем три значения $x$: $-4, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$.

Ответ: при $f(x) = 2$, $x = -1$ или $x = 1$; при $f(x) = 0$, $x = 0$; при $f(x) = \frac{1}{2}$, $x = -4$ или $x = -\frac{1}{2}$ или $x = \frac{1}{2}$.

20.23 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x \le -1; \\ -\frac{1}{2}x^2, & \text{если } -1 < x \le 1. \end{cases}$

С помощью графика функции найдите:

a) $f(-4)$, $f(-1)$, $f(1)$;

б) значения $x$, при которых $f(x) = -2$, $f(x) = 0$, $f(x) = -\frac{1}{2}$.

Для построения графика кусочной функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $x \le -1$ функция задается формулой $y = \frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы. Для построения найдем несколько точек:

• Если $x = -1$, то $y = \frac{4}{-1} = -4$. Точка $(-1, -4)$ принадлежит графику.
• Если $x = -2$, то $y = \frac{4}{-2} = -2$. Точка $(-2, -2)$.
• Если $x = -4$, то $y = \frac{4}{-4} = -1$. Точка $(-4, -1)$.

2. На промежутке $-1 < x \le 1$ функция задается формулой $y = -\frac{1}{2}x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах промежутка и в вершине:

• Если $x \to -1$ (справа), то $y \to -\frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{2}$. Точка $(-1, -0.5)$ не принадлежит графику, так как неравенство строгое, поэтому на графике она будет "выколотой".
• Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{2}(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ — вершина параболы.
• Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2}(1)^2 = -\frac{1}{2}$. Точка $(1, -0.5)$ принадлежит графику.

Построим график, объединив эти две части. Он будет состоять из ветви гиперболы, начинающейся в точке $(-1, -4)$, и фрагмента параболы от выколотой точки $(-1, -0.5)$ до точки $(1, -0.5)$, проходящего через начало координат.

а) f(-4), f(-1), f(1);

Найдем значения функции с помощью графика (или подставляя значения аргумента в соответствующую формулу):

• Точка $x = -4$ удовлетворяет условию $x \le -1$, значит, используем формулу $f(x) = \frac{4}{x}$. $f(-4) = \frac{4}{-4} = -1$.
• Точка $x = -1$ удовлетворяет условию $x \le -1$, значит, используем формулу $f(x) = \frac{4}{x}$. $f(-1) = \frac{4}{-1} = -4$.
• Точка $x = 1$ удовлетворяет условию $-1 < x \le 1$, значит, используем формулу $f(x) = -\frac{1}{2}x^2$. $f(1) = -\frac{1}{2}(1)^2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $f(-4) = -1$, $f(-1) = -4$, $f(1) = -\frac{1}{2}$.

б) значения x, при которых f(x) = -2, f(x) = 0, f(x) = -1/2.

Для нахождения значений $x$ по заданным значениям функции $f(x)$ нужно определить, какой части графика принадлежат эти значения, и решить соответствующее уравнение.

• Найдем $x$ при $f(x) = -2$.
  Проведем на графике горизонтальную прямую $y = -2$. Она пересекает ветвь гиперболы.
  Решим уравнение $\frac{4}{x} = -2$. Отсюда $x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x \le -1$.
  Уравнение $-\frac{1}{2}x^2 = -2$ дает $x^2 = 4$, то есть $x = \pm 2$, что не входит в интервал $-1 < x \le 1$.
  Следовательно, только $x=-2$.
• Найдем $x$ при $f(x) = 0$.
  Прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график в вершине параболы.
  Уравнение $\frac{4}{x} = 0$ не имеет решений.
  Решим уравнение $-\frac{1}{2}x^2 = 0$. Отсюда $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $-1 < x \le 1$.
  Следовательно, только $x=0$.
• Найдем $x$ при $f(x) = -\frac{1}{2}$.
  Прямая $y = -\frac{1}{2}$ пересекает обе части графика.
  1) Пересечение с гиперболой: $\frac{4}{x} = -\frac{1}{2}$, отсюда $x = -8$. Это значение удовлетворяет условию $x \le -1$.
  2) Пересечение с параболой: $-\frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{2}$, отсюда $x^2 = 1$, то есть $x = 1$ или $x = -1$. Значение $x = 1$ удовлетворяет условию $-1 < x \le 1$. Значение $x = -1$ не удовлетворяет этому условию (неравенство строгое).
  Следовательно, получаем два решения: $x = -8$ и $x = 1$.

Ответ: при $f(x)=-2$ имеем $x=-2$; при $f(x)=0$ имеем $x=0$; при $f(x)=-\frac{1}{2}$ имеем $x=-8$ и $x=1$.

20.24 Дана функция $y = \frac{4}{x}$. Найдите:

a) $f(1), f(-2), f(0,3), f(-\frac{1}{6});$

б) $f(-a), f(-2a), f(3x), f(-x);$

в) $f(a + 1), f(b - 3), f(x + 1), f(x - 10);$

г) $f(a) + 1, f(x) - 2, f(x - 2) + 1, f(x + 7) - 1.$

Данная функция $y = \frac{4}{x}$ может быть записана как $f(x) = \frac{4}{x}$. Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо подставить этот аргумент в формулу вместо $x$.

а) $f(1), f(-2), f(0,3), f(-\frac{1}{6})$

Чтобы найти значения функции, подставляем числовые значения в формулу:
$f(1) = \frac{4}{1} = 4$
$f(-2) = \frac{4}{-2} = -2$
$f(0,3) = \frac{4}{0,3} = \frac{4}{3/10} = 4 \cdot \frac{10}{3} = \frac{40}{3}$
$f(-\frac{1}{6}) = \frac{4}{-1/6} = 4 \cdot (-6) = -24$

Ответ: $f(1)=4$; $f(-2)=-2$; $f(0,3)=\frac{40}{3}$; $f(-\frac{1}{6})=-24$.

б) $f(-a), f(-2a), f(3x), f(-x)$

Подставляем выражения с переменными вместо $x$:
$f(-a) = \frac{4}{-a} = -\frac{4}{a}$
$f(-2a) = \frac{4}{-2a} = -\frac{2}{a}$
$f(3x) = \frac{4}{3x}$
$f(-x) = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$

Ответ: $f(-a)=-\frac{4}{a}$; $f(-2a)=-\frac{2}{a}$; $f(3x)=\frac{4}{3x}$; $f(-x)=-\frac{4}{x}$.

в) $f(a + 1), f(b - 3), f(x + 1), f(x - 10)$

Подставляем алгебраические выражения в качестве аргумента:
$f(a+1) = \frac{4}{a+1}$
$f(b-3) = \frac{4}{b-3}$
$f(x+1) = \frac{4}{x+1}$
$f(x-10) = \frac{4}{x-10}$

Ответ: $f(a+1)=\frac{4}{a+1}$; $f(b-3)=\frac{4}{b-3}$; $f(x+1)=\frac{4}{x+1}$; $f(x-10)=\frac{4}{x-10}$.

г) $f(a) + 1, f(x) - 2, f(x - 2) + 1, f(x + 7) - 1$

В этих выражениях мы сначала находим значение функции от аргумента, а затем выполняем арифметическое действие:
$f(a) + 1 = \frac{4}{a} + 1 = \frac{4}{a} + \frac{a}{a} = \frac{a+4}{a}$
$f(x) - 2 = \frac{4}{x} - 2 = \frac{4}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{4-2x}{x}$
$f(x-2) + 1 = \frac{4}{x-2} + 1 = \frac{4}{x-2} + \frac{x-2}{x-2} = \frac{4+x-2}{x-2} = \frac{x+2}{x-2}$
$f(x+7) - 1 = \frac{4}{x+7} - 1 = \frac{4}{x+7} - \frac{x+7}{x+7} = \frac{4-(x+7)}{x+7} = \frac{4-x-7}{x+7} = \frac{-x-3}{x+7}$

Ответ: $f(a)+1=\frac{a+4}{a}$; $f(x)-2=\frac{4-2x}{x}$; $f(x-2)+1=\frac{x+2}{x-2}$; $f(x+7)-1=\frac{-x-3}{x+7}$.