Страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

19.52 а) Постройте в одной системе координат параболу $y = 0,5x^2$ и прямую $y = x + 4$.

б) Найдите абсциссы точек пересечения графиков построенных функций.

в) Выделите ту часть параболы, которая расположена ниже прямой.

г) При каких значениях $x$ парабола $y = 0,5x^2$ расположена ниже прямой $y = x + 4$?

а) Постройте в одной системе координат параболу $y = 0,5x^2$ и прямую $y = x + 4$.

1. Построим параболу $y = 0,5x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 2^2 = 2$. Точка $(2, 2)$.
• при $x = -2$, $y = 0,5 \cdot (-2)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• при $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4^2 = 8$. Точка $(4, 8)$.
• при $x = -4$, $y = 0,5 \cdot (-4)^2 = 8$. Точка $(-4, 8)$.

2. Построим прямую $y = x + 4$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• при $x = 0$, $y = 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• при $y = 0$, $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Точка $(-4, 0)$.

3. Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их. Точки для параболы соединяем плавной кривой, а точки для прямой — с помощью линейки.

б) Найдите абсциссы точек пересечения графиков построенных функций.

Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно приравнять их правые части, так как в точках пересечения координаты $x$ и $y$ у обоих графиков совпадают.

$0,5x^2 = x + 4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0,5x^2 - x - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Абсциссы точек пересечения графиков равны -2 и 4.

Ответ: $-2; 4$.

в) Выделите ту часть параболы, которая расположена ниже прямой.

Из графика, построенного в пункте а), и из решения пункта б) видно, что графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 4$. Между этими точками график параболы $y = 0,5x^2$ проходит ниже графика прямой $y = x + 4$. Таким образом, нужно выделить дугу параболы, концами которой являются точки пересечения. Найдем ординаты этих точек:

• При $x=-2$, $y = 0,5(-2)^2 = 2$. Точка пересечения $(-2, 2)$.
• При $x=4$, $y = 0,5(4)^2 = 8$. Точка пересечения $(4, 8)$.

Ответ: Выделению подлежит часть параболы $y = 0,5x^2$, заключенная между точками $(-2, 2)$ и $(4, 8)$.

г) При каких значениях x парабола $y = 0,5x^2$ расположена ниже прямой $y = x + 4$?

Условие "парабола расположена ниже прямой" означает, что для одних и тех же значений $x$ значения функции $y = 0,5x^2$ должны быть меньше значений функции $y = x + 4$. Это можно записать в виде неравенства:

$0,5x^2 < x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$0,5x^2 - x - 4 < 0$

Умножим неравенство на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0):

$x^2 - 2x - 8 < 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ мы уже нашли в пункте б): это $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Парабола $f(x) = x^2 - 2x - 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-2, 4)$.

Ответ: $x \in (-2; 4)$.

19.53 а) Постройте в одной системе координат параболу $y = 2x^2$ и пря-мую $y = -2x + 4$.

б) Найдите абсциссы точек пересечения графиков построенных функций.

в) Выделите ту часть параболы, которая расположена выше пря-мой.

г) При каких значениях $x$ парабола $y = 2x^2$ расположена выше прямой $y = -2x + 4$?

а)

Для построения графиков функций $y = 2x^2$ и $y = -2x + 4$ в одной системе координат, выполним следующие шаги:

1. Построение параболы $y = 2x^2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Составим таблицу значений для нескольких точек:

2. Построение прямой $y = -2x + 4$.

Это линейная функция, график которой — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = -2(0) + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $y = 0$, $0 = -2x + 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Теперь построим оба графика в одной системе координат. На этом же графике выделим часть параболы, которая расположена выше прямой (для пункта в).

Ответ: Графики функций построены на рисунке выше.

б)

Чтобы найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков, нужно приравнять правые части уравнений функций:

$2x^2 = -2x + 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 1.

в)

На графике, построенном в пункте а), часть параболы, которая расположена выше прямой, выделена более жирной красной линией. Это происходит на двух интервалах: левее точки пересечения с абсциссой $x = -2$ и правее точки пересечения с абсциссой $x = 1$.

Ответ: Часть параболы, расположенная выше прямой, выделена на графике.

г)

Вопрос "При каких значениях $x$ парабола $y = 2x^2$ расположена выше прямой $y = -2x + 4$?" сводится к решению неравенства:

$2x^2 > -2x + 4$

Преобразуем неравенство, перенеся все члены в левую часть:

$2x^2 + 2x - 4 > 0$

Разделим обе части на 2 (знак неравенства не изменится, так как $2 > 0$):

$x^2 + x - 2 > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ мы уже нашли в пункте б): это $x = -2$ и $x = 1$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; +\infty)$.

График функции $f(x) = x^2 + x - 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения (больше нуля) вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $x^2 + x - 2 > 0$ выполняется при $x < -2$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.

19.54 a) Используя графики функций $y = -2x^2$ и $y = 2x - 4$, определите, при каких значениях $x$ прямая расположена ниже параболы.

б) Используя графики функций $y = -x^2$ и $y = 2x$, определите, при каких значениях $x$ прямая расположена выше параболы.

а)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ прямая $y = 2x - 4$ расположена ниже параболы $y = -2x^2$, необходимо решить неравенство:

$2x - 4 < -2x^2$

Для решения этого неравенства сначала найдем точки пересечения графиков, решив соответствующее уравнение:

$2x - 4 = -2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а сумма корней равна -1. Подходят числа 1 и -2.

$x_1 = 1$, $x_2 = -2$

Эти значения $x$ являются абсциссами точек пересечения прямой и параболы. Они разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$ и $(1, \infty)$.

Теперь вернемся к неравенству $x^2 + x - 2 < 0$. График функции $f(x) = x^2 + x - 2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения этой функции будут отрицательными (меньше нуля) между ее корнями.

Следовательно, неравенство выполняется на интервале между $x = -2$ и $x = 1$.

Ответ: $x \in (-2, 1)$

б)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ прямая $y = 2x$ расположена выше параболы $y = -x^2$, необходимо решить неравенство:

$2x > -x^2$

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение:

$2x = -x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 0$, $x_2 = -2$

Эти абсциссы точек пересечения разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, \infty)$.

Рассмотрим неравенство $x^2 + 2x > 0$. График функции $f(x) = x^2 + 2x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут положительными (больше нуля) за пределами ее корней, то есть на интервалах, где $x$ меньше меньшего корня и больше большего корня.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -2$ и при $x > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$

19.55 а) Используя графики функций $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = x$, решите неравенство $\frac{1}{3}x^2 < x$.

б) Используя графики функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$, решите неравенство $-x^2 \ge 2x - 3$.

а) Для решения неравенства $\frac{1}{3}x^2 < x$ необходимо построить графики функций $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = x$ и определить, на каком интервале график параболы находится ниже графика прямой.

1. Построим график функции $y = \frac{1}{3}x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, 0). Она проходит через точки, например, (3, 3) и (-3, 3).

2. Построим график функции $y = x$. Это прямая, проходящая через начало координат (биссектриса I и III координатных четвертей).

3. Найдем точки пересечения графиков, приравняв их уравнения:
$\frac{1}{3}x^2 = x$
$\frac{1}{3}x^2 - x = 0$
$x(\frac{1}{3}x - 1) = 0$
Отсюда получаем два значения $x$:
$x_1 = 0$
$\frac{1}{3}x - 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}x = 1 \Rightarrow x_2 = 3$
Точки пересечения имеют координаты (0, 0) и (3, 3).

4. Неравенство $\frac{1}{3}x^2 < x$ выполняется для тех значений $x$, при которых точки параболы $y = \frac{1}{3}x^2$ лежат ниже соответствующих точек прямой $y = x$. Глядя на взаимное расположение графиков, видим, что это происходит на интервале между точками пересечения.

Ответ: $x \in (0; 3)$

б) Для решения неравенства $-x^2 \ge 2x - 3$ необходимо построить графики функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$ и определить, на каком промежутке график параболы находится не ниже графика прямой.

1. Построим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0).

2. Построим график функции $y = 2x - 3$. Это прямая. Для построения найдем две точки: при $x=0$, $y=-3$; при $x=2$, $y=1$. Точки (0, -3) и (2, 1).

3. Найдем точки пересечения графиков, приравняв их уравнения:
$-x^2 = 2x - 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Следовательно, корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = -3$
Точки пересечения имеют координаты (1, -1) и (-3, -9).

4. Неравенство $-x^2 \ge 2x - 3$ выполняется для тех значений $x$, при которых точки параболы $y = -x^2$ лежат выше точек прямой $y = 2x - 3$ или на одном уровне с ними. Глядя на взаимное расположение графиков, видим, что это происходит на отрезке между точками пересечения, включая сами точки.

Ответ: $x \in [-3; 1]$

19.56 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2$. Найдите:

а) $f(-x);$

б) $f(x^2);$

в) $f(x^3);$

г) $f(-x^2).$

По определению функции $f(x) = 2x^2$, для нахождения значения функции от некоторого аргумента, необходимо подставить этот аргумент в формулу вместо $x$.

а) Найдем $f(-x)$. Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$f(-x) = 2(-x)^2$

Так как квадрат любого числа (или выражения) неотрицателен, $(-x)^2 = x^2$.

$f(-x) = 2x^2$

Ответ: $2x^2$

б) Найдем $f(x^2)$. Для этого подставим $x^2$ вместо $x$:

$f(x^2) = 2(x^2)^2$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$f(x^2) = 2x^{2 \cdot 2} = 2x^4$

Ответ: $2x^4$

в) Найдем $f(x^3)$. Для этого подставим $x^3$ вместо $x$:

$f(x^3) = 2(x^3)^2$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$f(x^3) = 2x^{3 \cdot 2} = 2x^6$

Ответ: $2x^6$

г) Найдем $f(-x^2)$. Для этого подставим $-x^2$ вместо $x$:

$f(-x^2) = 2(-x^2)^2$

Сначала возводим в квадрат выражение в скобках: $(-x^2)^2 = (x^2)^2 = x^4$.

$f(-x^2) = 2x^4$

Ответ: $2x^4$

19.57 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 1,5x^2$. Найдите:

а) $f(x^2)$;

б) $f(2x^2)$;

в) $f(-x^2)$;

г) $f(-2x^2)$.

Дана функция $f(x) = 1,5x^2$. Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо подставить этот аргумент в формулу функции вместо переменной $x$.

а) Чтобы найти $f(x^2)$, подставим в функцию $f(x) = 1,5x^2$ вместо $x$ выражение $x^2$.
$f(x^2) = 1,5 \cdot (x^2)^2$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$
Следовательно, $f(x^2) = 1,5x^4$.
Ответ: $1,5x^4$.

б) Чтобы найти $f(2x^2)$, подставим в функцию $f(x) = 1,5x^2$ вместо $x$ выражение $2x^2$.
$f(2x^2) = 1,5 \cdot (2x^2)^2$
Используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$(2x^2)^2 = 2^2 \cdot (x^2)^2 = 4x^{2 \cdot 2} = 4x^4$
Тогда $f(2x^2) = 1,5 \cdot 4x^4 = 6x^4$.
Ответ: $6x^4$.

в) Чтобы найти $f(-x^2)$, подставим в функцию $f(x) = 1,5x^2$ вместо $x$ выражение $-x^2$.
$f(-x^2) = 1,5 \cdot (-x^2)^2$
Так как квадрат любого выражения неотрицателен, $(-a)^2 = a^2$. Значит:
$(-x^2)^2 = (x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$
Следовательно, $f(-x^2) = 1,5x^4$.
Ответ: $1,5x^4$.

г) Чтобы найти $f(-2x^2)$, подставим в функцию $f(x) = 1,5x^2$ вместо $x$ выражение $-2x^2$.
$f(-2x^2) = 1,5 \cdot (-2x^2)^2$
Используя свойства степеней, получаем:
$(-2x^2)^2 = (-2)^2 \cdot (x^2)^2 = 4 \cdot x^{2 \cdot 2} = 4x^4$
Тогда $f(-2x^2) = 1,5 \cdot 4x^4 = 6x^4$.
Ответ: $6x^4$.

19.58 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -4x^2$. Найдите:

a) $f(x^2)$;

б) $f(2x^2)$;

в) $f(-3x^2)$;

г) $f(x^3)$.

Дана функция $f(x) = -4x^2$. Чтобы найти значение функции для заданного аргумента, необходимо подставить этот аргумент в формулу функции вместо $x$.

а) f(x²);
Подставляем $x^2$ вместо $x$ в выражение для $f(x)$:
$f(x^2) = -4(x^2)^2$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$f(x^2) = -4x^{2 \cdot 2} = -4x^4$.
Ответ: $-4x^4$.

б) f(2x²);
Подставляем $2x^2$ вместо $x$ в выражение для $f(x)$:
$f(2x^2) = -4(2x^2)^2$
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$f(2x^2) = -4 \cdot (2^2 \cdot (x^2)^2) = -4 \cdot (4 \cdot x^4) = -16x^4$.
Ответ: $-16x^4$.

в) f(-3x²);
Подставляем $-3x^2$ вместо $x$ в выражение для $f(x)$:
$f(-3x^2) = -4(-3x^2)^2$
Возводим в квадрат выражение в скобках:
$f(-3x^2) = -4 \cdot ((-3)^2 \cdot (x^2)^2) = -4 \cdot (9 \cdot x^4) = -36x^4$.
Ответ: $-36x^4$.

г) f(x³).
Подставляем $x^3$ вместо $x$ в выражение для $f(x)$:
$f(x^3) = -4(x^3)^2$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
$f(x^3) = -4x^{3 \cdot 2} = -4x^6$.
Ответ: $-4x^6$.

19.59 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. При каких значениях аргумента выполняется равенство $f(x + 1) = f(x + 4)$?

По условию задачи дана функция $f(x) = x^2$ и требуется найти значения аргумента $x$, при которых выполняется равенство $f(x + 1) = f(x + 4)$.

Чтобы найти эти значения, подставим выражения $(x + 1)$ и $(x + 4)$ в определение функции $f(x)$.

Значение функции в точке $(x + 1)$ равно:

$f(x + 1) = (x + 1)^2$

Значение функции в точке $(x + 4)$ равно:

$f(x + 4) = (x + 4)^2$

Теперь приравняем эти два выражения, как указано в условии:

$(x + 1)^2 = (x + 4)^2$

Для решения этого уравнения раскроем скобки в обеих частях, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 + 8x + 16$

Теперь упростим уравнение. Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$2x + 1 = 8x + 16$

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$1 - 16 = 8x - 2x$

$-15 = 6x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$x = \frac{-15}{6}$

Сократим полученную дробь на 3:

$x = -\frac{5}{2}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = -2.5$

Ответ: $-2.5$

19.60 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2$. При каких значениях аргумента выполняется равенство $4f(x + 3) = f(2x) - 24$?

Дана функция $f(x) = 2x^2$. Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых выполняется равенство $4f(x + 3) = f(2x) - 24$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти выражение для $f(x + 3)$.

Для этого в определение функции $f(x) = 2x^2$ вместо $x$ подставим выражение $(x + 3)$:
$f(x + 3) = 2(x + 3)^2$
Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскроем скобки:
$f(x + 3) = 2(x^2 + 6x + 9) = 2x^2 + 12x + 18$

2. Найти выражение для $f(2x)$.

Аналогично, в определение функции $f(x) = 2x^2$ вместо $x$ подставим выражение $(2x)$:
$f(2x) = 2(2x)^2 = 2(4x^2) = 8x^2$

3. Подставить полученные выражения в исходное равенство и решить уравнение.

Исходное равенство: $4f(x + 3) = f(2x) - 24$.
Подставляем найденные выражения:
$4(2x^2 + 12x + 18) = (8x^2) - 24$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$8x^2 + 48x + 72 = 8x^2 - 24$
Теперь решим это уравнение. Видно, что члены с $x^2$ взаимно уничтожаются, если вычесть $8x^2$ из обеих частей:
$48x + 72 = -24$
Перенесем 72 в правую часть уравнения, изменив знак:
$48x = -24 - 72$
$48x = -96$
Разделим обе части уравнения на 48, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-96}{48}$
$x = -2$

Проверка:
Левая часть: $4f(-2 + 3) = 4f(1) = 4(2 \cdot 1^2) = 4 \cdot 2 = 8$.
Правая часть: $f(2 \cdot -2) - 24 = f(-4) - 24 = (2 \cdot (-4)^2) - 24 = (2 \cdot 16) - 24 = 32 - 24 = 8$.
$8=8$, равенство выполняется.

Ответ: -2.