Страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

19.32 a) $\begin{cases} y = \frac{1}{4}x^2, \\ y = x - 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -4|x|, \\ y = -2x^2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 0,5x^2, \\ y = 2x - 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -|3x|, \\ y = -x^2. \end{cases}$

a) Для нахождения точек пересечения графиков функций, заданных системой уравнений, необходимо решить эту систему. Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$\frac{1}{4}x^2 = x - 1$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4 \cdot \frac{1}{4}x^2 = 4 \cdot (x - 1)$

$x^2 = 4x - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - 2)^2 = 0$

Из этого следует, что уравнение имеет один корень:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Используем второе уравнение $y = x - 1$:

$y = 2 - 1 = 1$

Таким образом, графики функций имеют одну общую точку (точку касания).

Ответ: $(2, 1)$.

б) Приравняем правые части уравнений системы:

$-4|x| = -2x^2$

Разделим обе части уравнения на -2:

$2|x| = x^2$

Так как $x^2$ всегда неотрицательно, мы можем заменить его на $|x|^2$, поскольку $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$.

$2|x| = |x|^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$|x|^2 - 2|x| = 0$

Вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $|x| = 0 \implies x_1 = 0$

2) $|x| - 2 = 0 \implies |x| = 2 \implies x_2 = 2$ и $x_3 = -2$

Мы получили три значения $x$. Теперь найдем для каждого из них соответствующее значение $y$, подставив их в одно из уравнений, например, в $y = -2x^2$:

Для $x_1 = 0$: $y_1 = -2(0)^2 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

Для $x_2 = 2$: $y_2 = -2(2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$. Точка пересечения: $(2, -8)$.

Для $x_3 = -2$: $y_3 = -2(-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$. Точка пересечения: $(-2, -8)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(2, -8)$, $(-2, -8)$.

в) Для нахождения точек пересечения приравняем выражения для $y$:

$0.5x^2 = 2x - 2$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x^2 = 2(2x - 2)$

$x^2 = 4x - 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности:

$(x - 2)^2 = 0$

Отсюда находим единственный корень:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в уравнение прямой $y = 2x - 2$:

$y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$

Графики имеют одну общую точку.

Ответ: $(2, 2)$.

г) Приравняем правые части уравнений системы:

$-|3x| = -x^2$

Умножим обе части уравнения на -1:

$|3x| = x^2$

Используя свойство модуля $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$, получаем $|3x| = 3|x|$. Также, как и в пункте б), заменим $x^2$ на $|x|^2$.

$3|x| = |x|^2$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $|x|$:

$|x|^2 - 3|x| = 0$

$|x|(|x| - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $|x| = 0 \implies x_1 = 0$

2) $|x| - 3 = 0 \implies |x| = 3 \implies x_2 = 3$ и $x_3 = -3$

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя уравнение $y = -x^2$:

Для $x_1 = 0$: $y_1 = -(0)^2 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

Для $x_2 = 3$: $y_2 = -(3)^2 = -9$. Точка пересечения: $(3, -9)$.

Для $x_3 = -3$: $y_3 = -(-3)^2 = -9$. Точка пересечения: $(-3, -9)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, -9)$, $(-3, -9)$.

Определите с помощью графического метода число решений системы уравнений:

19.33 a) $\begin{cases} y = 2x^2, \\ y = x + 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x^2, \\ y = -\sqrt{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 0.5x^2, \\ y = 1.5x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \frac{1}{4}x^2, \\ y = |x|. \end{cases}$

а)

Чтобы определить число решений системы, построим графики функций $y = 2x^2$ и $y = x + 4$ в одной системе координат.

График функции $y = 2x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (1, 2), (-1, 2), (2, 8), (-2, 8).

График функции $y = x + 4$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• если $x = 0$, то $y = 4$. Точка (0, 4).
• если $x = -4$, то $y = 0$. Точка (-4, 0).

Построим эти графики. Прямая $y = x + 4$ пересекает ось OY в точке (0, 4), а ось OX в точке (-4, 0). Парабола $y = 2x^2$ выходит из начала координат и идет вверх. Видно, что прямая пересекает параболу в двух точках: одна в первой координатной четверти (с положительным $x$), другая — во второй (с отрицательным $x$).

Следовательно, графики пересекаются в двух точках, а значит, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б)

Чтобы определить число решений системы, построим графики функций $y = -\frac{1}{3}x^2$ и $y = -\sqrt{x}$ в одной системе координат.

График функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вниз. Она проходит через точки (3, -3) и (-3, -3).

График функции $y = -\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно оси OX и расположенной в четвертой координатной четверти. Область определения этой функции — $x \ge 0$. График начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, -1), (4, -2), (9, -3).

Оба графика проходят через начало координат (0, 0), значит, это одна из точек пересечения. Для $x > 0$ оба графика находятся в четвертой координатной четверти. Сравним значения функций: при $x=1$ имеем $y = -1/3$ для параболы и $y = -1$ для корня. При $x=9$ имеем $y = -27$ для параболы и $y = -3$ для корня. Это означает, что при $x>0$ графики пересекаются еще в одной точке (между $x=1$ и $x=9$).

Следовательно, графики пересекаются в двух точках, а значит, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

в)

Чтобы определить число решений системы, построим графики функций $y = 0,5x^2$ и $y = 1,5x$ в одной системе координат.

График функции $y = 0,5x^2$ (или $y = \frac{1}{2}x^2$) — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (2, 2) и (-2, 2).

График функции $y = 1,5x$ (или $y = \frac{3}{2}x$) — это прямая линия, проходящая через начало координат (0, 0) и точку (2, 3).

Поскольку и парабола, и прямая проходят через начало координат, точка (0, 0) является одним решением. Чтобы найти другие решения, приравняем правые части уравнений: $0,5x^2 = 1,5x$. Перенесем все в одну сторону: $0,5x^2 - 1,5x = 0$. Вынесем $0,5x$ за скобки: $0,5x(x - 3) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Мы получили два значения $x$, при которых графики пересекаются. Значит, существует две точки пересечения.

Следовательно, графики пересекаются в двух точках, а значит, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

г)

Чтобы определить число решений системы, построим графики функций $y = \frac{1}{4}x^2$ и $y = |x|$ в одной системе координат.

График функции $y = \frac{1}{4}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки (2, 1), (-2, 1), (4, 4), (-4, 4).

График функции $y = |x|$ — это "галочка", состоящая из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

Оба графика проходят через начало координат (0, 0), значит, это одна из точек пересечения. Оба графика симметричны относительно оси OY, поэтому достаточно рассмотреть случай $x > 0$.
При $x > 0$ система принимает вид: $y = \frac{1}{4}x^2$ и $y = x$. Приравниваем: $\frac{1}{4}x^2 = x$. Решаем уравнение: $\frac{1}{4}x^2 - x = 0 \implies x(\frac{1}{4}x - 1) = 0$. Корни $x = 0$ и $x = 4$.
Это дает нам две точки пересечения: (0, 0) и (4, 4).
В силу симметрии относительно оси OY, для $x < 0$ будет еще одна точка пересечения с абсциссой $x = -4$, то есть точка (-4, 4).

Следовательно, графики пересекаются в трех точках, а значит, система имеет три решения.

Ответ: 3 решения.

19.34 а) $\begin{cases} y = -4x^2, \\ y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{1}{3}x^2, \\ y = -|x|; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 3x^2, \\ y = x - 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -2x^2, \\ y = \sqrt{x}. \end{cases}$

а)

Чтобы найти точки пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -4x^2 \\ y = 1 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны (обе равны $y$):

$-4x^2 = 1$

Разделим обе части на -4:

$x^2 = -\frac{1}{4}$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, графики функций не пересекаются, и система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x^2 \\ y = -|x| \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{3}x^2 = -|x|$

Проанализируем это уравнение. Левая часть, $\frac{1}{3}x^2$, всегда неотрицательна (то есть $\ge 0$) для любого значения $x$. Правая часть, $-|x|$, всегда неположительна (то есть $\le 0$) для любого значения $x$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.

$\frac{1}{3}x^2 = 0 \implies x = 0$

$-|x| = 0 \implies x = 0$

Таким образом, единственное решение для $x$ - это $x=0$.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из исходных уравнений:

$y = \frac{1}{3}(0)^2 = 0$

Единственная точка пересечения графиков - $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.

в)

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 3x^2 \\ y = x - 3 \end{cases} $

Приравняем правые части:

$3x^2 = x - 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для этого уравнения, где $a=3$, $b=-1$, $c=3$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = -35$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики параболы и прямой не пересекаются.

Ответ: нет решений.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -2x^2 \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Область допустимых значений для уравнения $y = \sqrt{x}$ - это $x \ge 0$.

Приравняем правые части уравнений:

$-2x^2 = \sqrt{x}$

В области допустимых значений ($x \ge 0$) левая часть уравнения, $-2x^2$, всегда неположительна ($\le 0$). Правая часть, $\sqrt{x}$, всегда неотрицательна ($\ge 0$). Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю.

$-2x^2 = 0 \implies x = 0$

$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$

Единственное решение для $x$ - это $x=0$. Оно удовлетворяет области допустимых значений.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из уравнений:

$y = \sqrt{0} = 0$

Следовательно, графики функций пересекаются в одной точке $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.

С помощью графика функции $y = 3x^2$ найдите промежуток, которому принадлежит переменная $y$, если:

19.35 a) $0 \le x \le 1$;

б) $-2 < x \le 0$;

в) $1 < x < 2$;

г) $-1 < x \le 1$.

Функция $y = 3x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Это означает, что наименьшее значение функции равно 0 и достигается при $x=0$. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает.

а) $0 \le x \le 1$

На данном промежутке $[0, 1]$ функция $y = 3x^2$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает в левой граничной точке $x=0$, а наибольшее — в правой граничной точке $x=1$.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$.
При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$.
Поскольку оба конца промежутка для $x$ включены, значения $y$ будут находиться в промежутке от 0 до 3 включительно.
Ответ: $0 \le y \le 3$.

б) $-2 < x \le 0$

На данном промежутке $(-2, 0]$ функция $y = 3x^2$ является убывающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает в правой граничной точке $x=0$, а наибольшее значение будет достигаться при $x$, стремящемся к левой границе $x=-2$.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Так как $x \le 0$, это значение $y=0$ включается в промежуток.
При $x = -2$, $y = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Так как неравенство для $x$ строгое ($x > -2$), значение $y=12$ не достигается.
Таким образом, переменная $y$ принимает значения от 0 включительно до 12 не включительно.
Ответ: $0 \le y < 12$.

в) $1 < x < 2$

На данном промежутке $(1, 2)$ функция $y = 3x^2$ является возрастающей.
Вычислим значения функции на границах промежутка:
При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$.
При $x = 2$, $y = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.
Поскольку обе границы для $x$ не включены (строгие неравенства), соответствующие значения $y$ также не будут включены в искомый промежуток.
Ответ: $3 < y < 12$.

г) $-1 < x \le 1$

Данный промежуток $(-1, 1]$ содержит вершину параболы $x=0$. В этой точке функция достигает своего глобального минимума.
Минимальное значение функции: при $x=0$, $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Это значение достигается и входит в искомый промежуток.
Для нахождения максимального значения необходимо рассмотреть значения функции на границах промежутка. Максимальное значение будет в точке, наиболее удаленной от вершины $x=0$. Это точки $x=-1$ и $x=1$.
При $x = 1$, $y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Так как $x \le 1$, это значение достигается.
При $x = -1$, $y = 3 \cdot (-1)^2 = 3$. Так как $x > -1$, это значение не достигается в этой точке, но оно достигается при $x=1$.
Следовательно, максимальное значение функции на данном промежутке равно 3.
Таким образом, переменная $y$ принимает все значения от своего минимума (0) до максимума (3).
Ответ: $0 \le y \le 3$.

19.36 a) $x > 0$;

б) $x \le -1$;

в) $x \le 0$;

г) $x > 1$.

а)

Данное неравенство $x > 0$ означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые строго больше нуля. На числовой прямой это множество точек, расположенных правее нуля, причем сама точка 0 не включается. Для записи этого множества используется интервальная нотация.

В виде числового промежутка это записывается как $(0, +\infty)$. Круглая скобка возле нуля указывает на то, что ноль не является решением неравенства (так как неравенство строгое). Знак $+\infty$ (плюс бесконечность) показывает, что промежуток не ограничен справа.

Ответ: $(0, +\infty)$

б)

Неравенство $x \le -1$ означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые меньше или равны -1. На числовой прямой это множество точек, включающее -1 и все точки левее.

В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty, -1]$. Знак $-\infty$ (минус бесконечность) показывает, что промежуток не ограничен слева. Квадратная скобка возле -1 указывает на то, что число -1 является решением неравенства (так как неравенство нестрогое).

Ответ: $(-\infty, -1]$

в)

Неравенство $x \le 0$ означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые меньше или равны нулю. Это множество всех не положительных чисел. На числовой прямой оно включает точку 0 и все точки левее нее.

В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty, 0]$. Знак $-\infty$ (минус бесконечность) показывает, что промежуток не ограничен слева. Квадратная скобка возле 0 указывает на то, что число 0 является решением неравенства (неравенство нестрогое).

Ответ: $(-\infty, 0]$

г)

Неравенство $x > 1$ означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые строго больше единицы. На числовой прямой это множество точек, расположенных правее 1, не включая саму точку 1.

В виде числового промежутка это записывается как $(1, +\infty)$. Круглая скобка возле единицы указывает на то, что 1 не является решением неравенства (неравенство строгое). Знак $+\infty$ (плюс бесконечность) показывает, что промежуток не ограничен справа.

Ответ: $(1, +\infty)$

19.37 С помощью графика функции $y = \frac{1}{3}x^2$ найдите промежуток (промежутки), которому (которым) принадлежит переменная $x$, если:

а) $y \ge 3$;

б) $\frac{1}{3} < y < 3$;

в) $y < 3$;

г) $3 \le y \le 12$.

а) Для того чтобы найти промежутки для $x$, решим неравенство $y \ge 3$. Подставим в него выражение для функции $y = \frac{1}{3}x^2$:

$\frac{1}{3}x^2 \ge 3$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 \ge 9$

Это неравенство выполняется, когда модуль $x$ больше или равен 3, то есть $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Графически это соответствует поиску тех значений $x$, при которых график параболы $y = \frac{1}{3}x^2$ находится на или выше горизонтальной прямой $y=3$. Сначала найдем точки пересечения, решив уравнение $\frac{1}{3}x^2 = 3$, откуда $x^2 = 9$ и $x = \pm 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, ее график лежит выше прямой $y=3$ при $x$, находящихся левее $-3$ и правее $3$. Учитывая знак неравенства ($\ge$), сами точки $x=-3$ и $x=3$ включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

б) Найдем промежутки для $x$, соответствующие условию $\frac{1}{3} < y < 3$. Подставим выражение для $y$:

$\frac{1}{3} < \frac{1}{3}x^2 < 3$

Умножим все части двойного неравенства на 3:

$1 < x^2 < 9$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств: $x^2 > 1$ и $x^2 < 9$.

Из $x^2 > 1$ следует, что $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Из $x^2 < 9$ следует, что $x \in (-3; 3)$.

Пересечение этих двух множеств дает нам итоговый результат. Графически мы ищем те значения $x$, для которых парабола находится строго между горизонтальными прямыми $y = \frac{1}{3}$ и $y=3$. Точки пересечения с прямой $y=3$ это $x=\pm 3$. Точки пересечения с прямой $y=\frac{1}{3}$ находятся из уравнения $\frac{1}{3}x^2=\frac{1}{3}$, т.е. $x^2=1$, откуда $x=\pm 1$. Искомые значения $x$ находятся в интервалах между $-3$ и $-1$, а также между $1$ и $3$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.

в) Решим неравенство $y < 3$. Подставим выражение для $y$:

$\frac{1}{3}x^2 < 3$

Умножим обе части на 3:

$x^2 < 9$

Решением этого неравенства является интервал $-3 < x < 3$. Следует помнить, что значения функции $y=\frac{1}{3}x^2$ всегда неотрицательны ($y \ge 0$), но это условие выполняется для всех $x$ из найденного интервала.

Графически мы ищем значения $x$, для которых парабола лежит строго ниже горизонтальной прямой $y=3$. Как мы выяснили в пункте а), парабола пересекает эту прямую в точках $x=-3$ и $x=3$. Между этими точками график функции находится ниже прямой $y=3$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

г) Найдем промежутки для $x$ из двойного неравенства $3 \le y \le 12$. Подставим выражение для $y$:

$3 \le \frac{1}{3}x^2 \le 12$

Умножим все части неравенства на 3:

$9 \le x^2 \le 36$

Это неравенство равносильно системе: $x^2 \ge 9$ и $x^2 \le 36$.

Из $x^2 \ge 9$ следует, что $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

Из $x^2 \le 36$ следует, что $x \in [-6; 6]$.

Найдем пересечение этих множеств. Графически это означает, что мы ищем те значения $x$, для которых парабола находится между (или на) горизонтальными прямыми $y=3$ и $y=12$. Точки пересечения с $y=3$ это $x=\pm 3$. Точки пересечения с $y=12$ находим из $\frac{1}{3}x^2 = 12$, откуда $x^2=36$ и $x=\pm 6$. Искомые значения $x$ образуют два отрезка.

Ответ: $x \in [-6; -3] \cup [3; 6]$.

19.38 С помощью графика функции $y = -x^2$ найдите промежуток (промежутки), которому (которым) принадлежит переменная $x$, если:

а) $y < -4$;

б) $-4 \le y < -1$;

в) $y \ge -4$;

г) $-9 < y \le -4$.

Для решения задачи будем использовать функцию $y = -x^2$. График этой функции — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии параболы — ось $Oy$. Для каждого случая мы будем решать соответствующее неравенство относительно переменной $x$.

а) Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется условие $y < -4$. Подставим выражение для $y$ в неравенство:
$-x^2 < -4$
Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 > 4$
Это неравенство справедливо, когда $x$ по модулю больше 2. Таким образом, получаем два промежутка: $x < -2$ или $x > 2$.
Графически это соответствует частям параболы, которые лежат ниже горизонтальной прямой $y = -4$. Точки пересечения параболы с этой прямой — это $x = -2$ и $x = 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

б) Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется условие $-4 \le y < -1$. Подставим $y = -x^2$:
$-4 \le -x^2 < -1$
Умножим все части двойного неравенства на $-1$, меняя знаки неравенства на противоположные:
$4 \ge x^2 > 1$
Это можно записать в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} x^2 \le 4 \\ x^2 > 1 \end{cases}$
Решением первого неравенства, $x^2 \le 4$, является промежуток $[-2; 2]$.
Решением второго неравенства, $x^2 > 1$, является объединение промежутков $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Нам необходимо найти пересечение этих решений. Учитывая симметрию параболы относительно оси $Oy$, получаем два интервала: $[-2; -1)$ и $(1; 2]$.
Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (1; 2]$.

в) Нам нужно найти значения $x$, для которых $y \ge -4$. Подставляем $y = -x^2$:
$-x^2 \ge -4$
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:
$x^2 \le 4$
Решением этого неравенства является промежуток $-2 \le x \le 2$.
Графически это та часть параболы, которая находится не ниже прямой $y=-4$, то есть "шапка" параболы между точками с абсциссами $x=-2$ и $x=2$, включая сами точки.
Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) Нам нужно найти значения $x$, для которых $-9 < y \le -4$. Подставляем $y = -x^2$:
$-9 < -x^2 \le -4$
Умножим все части двойного неравенства на $-1$, меняя знаки неравенства на противоположные:
$9 > x^2 \ge 4$
Это эквивалентно системе неравенств:
$\begin{cases} x^2 < 9 \\ x^2 \ge 4 \end{cases}$
Решением первого неравенства, $x^2 < 9$, является интервал $(-3; 3)$.
Решением второго неравенства, $x^2 \ge 4$, является объединение промежутков $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
Находим пересечение этих множеств. Это будут два симметричных промежутка: $(-3; -2]$ и $[2; 3)$.
Ответ: $x \in (-3; -2] \cup [2; 3)$.