Страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

19.22 Изобразите схематически график функции:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху и снизу;

в) ограниченной сверху;

г) не ограниченной ни сверху, ни снизу.

а) ограниченной снизу;

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на своей области определения, если существует такое число $m$, что для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Геометрически это означает, что весь график функции расположен выше некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Эта прямая является нижней границей для графика.

Классическим примером функции, ограниченной снизу, является квадратичная функция $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, для этой функции выполняется неравенство $y \ge 0$. Таким образом, число 0 является ее нижней гранью.

Схематический график функции, ограниченной снизу:

На рисунке показан график функции (парабола), который не опускается ниже некоторого уровня. Пунктирная красная линия $y=m$ — это одна из возможных нижних границ.

Ответ: Схематический график представлен выше.

б) ограниченной сверху и снизу;

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Это означает, что существуют два числа $m$ и $M$ такие, что для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$. Геометрически это значит, что график функции полностью заключен в горизонтальной полосе между прямыми $y=m$ и $y=M$.

Примером ограниченной функции является тригонометрическая функция $y = \cos(x)$. Ее значения всегда находятся в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(x) \le 1$.

Схематический график функции, ограниченной сверху и снизу:

График (волнообразная кривая) целиком находится между двумя горизонтальными пунктирными линиями $y=m$ (нижняя граница) и $y=M$ (верхняя граница).

Ответ: Схематический график представлен выше.

в) ограниченной сверху;

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на своей области определения, если существует такое число $M$, что для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $f(x) \le M$. Геометрически это означает, что весь график функции расположен ниже некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Эта прямая является верхней границей для графика.

Примером может служить парабола с ветвями, направленными вниз, например, $y = -x^2+1$. Максимальное значение этой функции равно 1, поэтому для нее выполняется неравенство $y \le 1$.

Схематический график функции, ограниченной сверху:

На рисунке показан график функции (перевернутая парабола), который не поднимается выше некоторого уровня. Пунктирная красная линия $y=M$ — это одна из возможных верхних границ.

Ответ: Схематический график представлен выше.

г) не ограниченной ни сверху, ни снизу.

Функция называется неограниченной (или неограниченной ни сверху, ни снизу), если она не является ограниченной ни сверху, ни снизу. Это означает, что для любого сколь угодно большого числа $M$ найдется такое значение $x$, что $f(x) > M$, и для любого сколь угодно малого (отрицательного) числа $m$ найдется такое $x$, что $f(x) < m$. Геометрически график такой функции уходит бесконечно вверх и бесконечно вниз.

Примерами таких функций являются любые линейные функции $y=kx+b$ (при $k \ne 0$), а также кубическая парабола $y = x^3$.

Схематический график функции, не ограниченной ни сверху, ни снизу:

График (кубическая парабола) уходит как в положительную, так и в отрицательную бесконечность по оси $y$, поэтому его нельзя заключить в горизонтальную полосу.

Ответ: Схематический график представлен выше.

19.23 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = 2x^2$:

а) на отрезке $[-2; 2];$

б) на полуинтервале $(-3; 1);$

в) на отрезке $[-3; -1];$

г) на луче $[1; +\infty).$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 2x^2$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0; 0)$. Это означает, что своё глобальное наименьшее значение функция принимает в точке $x=0$, и это значение равно $y(0)=0$. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция является убывающей, а на промежутке $[0; +\infty)$ — возрастающей.

а) на отрезке [-2; 2]

1. Наименьшее значение. Вершина параболы, точка $x=0$, принадлежит отрезку $[-2; 2]$. Так как это точка глобального минимума функции, то она будет и точкой минимума на данном отрезке.
$y_{наим} = y(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$.

2. Наибольшее значение. Поскольку функция симметрична относительно оси $Oy$ и на концах отрезка аргумент имеет одинаковое абсолютное значение, наибольшее значение будет достигаться в этих точках. Вычислим значения функции в точках $x=-2$ и $x=2$.
$y(-2) = 2 \cdot (-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
$y(2) = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно 8.
$y_{наиб} = 8$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 8.

б) на полуинтервале (-3; 1]

1. Наименьшее значение. Вершина параболы, точка $x=0$, принадлежит полуинтервалу $(-3; 1]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом полуинтервале достигается в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$.

2. Наибольшее значение. Сравним значение функции на правом конце полуинтервала $x=1$ и поведение функции на левом конце, при $x \to -3$.
$y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.
Точка $x=-3$ не принадлежит полуинтервалу, поэтому мы находим значение, к которому стремится функция, когда $x$ приближается к $-3$ (предел):
$y(-3) = 2 \cdot (-3)^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Так как $x$ может быть сколь угодно близким к $-3$, но не равным ему, значения функции на полуинтервале могут быть сколь угодно близки к 18, но никогда его не достигают. Таким образом, наибольшего значения у функции на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [-3; -1]

Данный отрезок целиком лежит на промежутке $(-\infty; 0]$, где функция $y=2x^2$ монотонно убывает.

1. Наименьшее значение. Поскольку функция убывает на этом отрезке, наименьшее значение будет достигаться на его правом конце, то есть в точке $x=-1$.
$y_{наим} = y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Наибольшее значение. Поскольку функция убывает на этом отрезке, наибольшее значение будет достигаться на его левом конце, то есть в точке $x=-3$.
$y_{наиб} = y(-3) = 2 \cdot (-3)^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшее значение 18.

г) на луче [1; +∞)

Данный луч целиком лежит на промежутке $[0; +\infty)$, где функция $y=2x^2$ монотонно возрастает.

1. Наименьшее значение. Так как функция возрастает на этом луче, наименьшее значение будет достигаться на его левом конце, то есть в точке $x=1$.
$y_{наим} = y(1) = 2 \cdot 1^2 = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Наибольшее значение. Так как $x$ может принимать сколь угодно большие значения ($x \to +\infty$), значение функции $y=2x^2$ также будет неограниченно возрастать. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 2, наибольшего значения не существует.