Страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

13. Какова область значений функции $y = kx^2$, если $k < 0$?

Область значений функции – это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$.

Рассмотрим данную функцию $y = kx^2$ при условии $k < 0$.

1. Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда является неотрицательным. То есть, для любого значения $x$ выполняется неравенство: $x^2 \ge 0$.

2. По условию задачи коэффициент $k$ является отрицательным числом: $k < 0$.

3. Значение функции $y$ получается умножением неотрицательного числа ($x^2$) на отрицательное число ($k$).

- Если $x=0$, то $x^2=0$, и тогда $y = k \cdot 0 = 0$.

- Если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$. При умножении положительного числа $x^2$ на отрицательное число $k$, результат всегда будет отрицательным: $y < 0$.

Объединяя эти два случая, мы видим, что значение $y$ может быть равно нулю или любому отрицательному числу. Таким образом, $y \le 0$.

Следовательно, область значений функции — это все действительные числа от минус бесконечности до нуля включительно.

Ответ: $(-\infty, 0]$

15. Если $k < 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = kx^2$ выпукла вверх;

б) функция $y = kx^2$ выпукла вниз?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо проанализировать выпуклость функции $y = kx^2$ при заданном условии $k < 0$. Сделаем это двумя способами: через анализ графика и с помощью второй производной.

1. Анализ графика функции.
График функции $y = kx^2$ — это парабола. Знак коэффициента $k$ перед $x^2$ определяет направление ветвей параболы. По условию $k < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Парабола, ветви которой направлены вниз, по определению является выпуклой вверх.

2. Анализ с помощью второй производной.
Выпуклость функции определяется знаком её второй производной. Найдём вторую производную для функции $y(x) = kx^2$.
Первая производная: $y'(x) = (kx^2)' = 2kx$.
Вторая производная: $y''(x) = (2kx)' = 2k$.

Согласно правилу, если вторая производная $y'' < 0$, то функция является выпуклой вверх. Если $y'' > 0$, функция выпукла вниз.
Поскольку по условию задачи $k < 0$, то и вторая производная $y'' = 2k$ будет отрицательной ($y'' < 0$) на всей области определения. Это подтверждает, что функция $y = kx^2$ является выпуклой вверх.

Теперь, основываясь на проведенном анализе, рассмотрим каждое утверждение.

а) функция $y = kx^2$ выпукла вверх;
Как было показано обоими методами, при $k < 0$ функция $y = kx^2$ является выпуклой вверх. Следовательно, данное утверждение истинно.
Ответ: утверждение верно.

б) функция $y = kx^2$ выпукла вниз?
Функция является выпуклой вниз, когда её ветви направлены вверх, что соответствует условию $k > 0$. Так как по условию задачи $k < 0$, данное утверждение ложно.
Ответ: утверждение неверно.

17. Перечислите свойства функции $y = kx^2$ при $k < 0$.

Рассмотрим свойства квадратичной функции $y = kx^2$ при условии, что коэффициент $k < 0$.

1. Область определения

Функция определена для любых действительных значений аргумента $x$, так как выражение $kx^2$ имеет смысл при любом $x$.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область (множество) значений

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а коэффициент $k$ по условию отрицателен ($k < 0$), то произведение $kx^2$ будет всегда неположительным, то есть $kx^2 \le 0$. Максимальное значение, равное нулю, достигается при $x=0$.
Ответ: область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Четность

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:
$y(-x) = k(-x)^2 = kx^2 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
Ответ: функция является четной.

4. Нули функции

Найдем значения $x$, при которых $y=0$:
$kx^2 = 0$.
Поскольку $k \neq 0$, то $x^2 = 0$, откуда $x=0$.
Ответ: $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства

Функция равна нулю только в точке $x=0$. При всех остальных значениях $x \neq 0$, $x^2 > 0$. Так как $k < 0$, то произведение $y = kx^2$ будет отрицательным.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6. Промежутки монотонности

Вершина параболы находится в точке $(0;0)$. Так как $k < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до $0$ и убывает на промежутке от $0$ до $+\infty$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы функции

Поскольку функция возрастает до $x=0$ и убывает после, точка $x=0$ является точкой максимума. Максимальное значение функции (максимум) равно $y_{max} = y(0) = 0$.
Ответ: $x_{max} = 0$ — точка максимума; $y_{max} = 0$ — максимум функции.

8. График

Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат — точке $(0;0)$. Осью симметрии параболы является ось $Oy$. Ветви параболы направлены вниз.
Ответ: график — парабола с вершиной в точке $(0;0)$ и ветвями, направленными вниз.

12. Какова область значений функции $y = kx^2$, если $k > 0$?

Для нахождения области значений функции $y = kx^2$ при условии $k > 0$ необходимо определить, какие значения может принимать переменная $y$.

1. Рассмотрим выражение $x^2$. Независимо от значения переменной $x$ (положительное, отрицательное или ноль), ее квадрат $x^2$ всегда будет неотрицательным числом. Это можно записать в виде неравенства: $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

2. Минимальное значение выражения $x^2$ достигается при $x=0$ и равно $0^2 = 0$. Максимального значения у $x^2$ нет, так как при $x$, стремящемся к бесконечности ($x \to \pm\infty$), $x^2$ также стремится к бесконечности ($x^2 \to +\infty$).

3. По условию задачи, коэффициент $k$ является положительным числом, то есть $k > 0$.

4. Теперь проанализируем всю функцию $y = kx^2$. Она представляет собой произведение положительного числа $k$ и неотрицательного числа $x^2$.

- Наименьшее значение $y$ будет тогда, когда $x^2$ принимает свое наименьшее значение, то есть 0. Таким образом, минимальное значение функции $y_{min} = k \cdot 0 = 0$.

- Поскольку $x^2$ может принимать сколь угодно большие положительные значения, а $k$ — это положительная константа, то произведение $kx^2$ также может принимать сколь угодно большие положительные значения.

Следовательно, функция $y$ может принимать любое значение от 0 (включительно) до положительной бесконечности.

Графически функция $y = kx^2$ при $k > 0$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Самая нижняя точка графика соответствует вершине, где $y = 0$. Ветви параболы уходят вверх бесконечно, покрывая все положительные значения по оси $y$.

Таким образом, область значений функции — это промежуток от 0 до $+\infty$.

Ответ: $[0, +\infty)$

14. Если $k > 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = kx^2$ выпукла вверх;

б) функция $y = kx^2$ выпукла вниз?

Для определения направления выпуклости графика квадратичной функции $y = kx^2$ необходимо проанализировать знак коэффициента $k$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

Направление ветвей параболы и её выпуклость зависят от знака коэффициента $k$ следующим образом:

• Если коэффициент $k > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Такая парабола по определению является выпуклой вниз (иногда также говорят "вогнутая").
• Если коэффициент $k < 0$, то ветви параболы направлены вниз. Такая парабола является выпуклой вверх.

В условии задачи дано, что $k > 0$. Исходя из этого, мы можем заключить, что функция $y = kx^2$ является выпуклой вниз.

Проанализируем предложенные утверждения на основе этого вывода.

а) функция $y = kx^2$ выпукла вверх;

Данное утверждение было бы верным при условии $k < 0$. Однако, согласно условию задачи, $k > 0$. Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) функция $y = kx^2$ выпукла вниз?

Данное утверждение является верным. Как было показано выше, условие $k > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх, и функция является выпуклой вниз.

Ответ: верно.

16. Перечислите свойства функции $y = kx^2$ при $k > 0$.

Функция $y=kx^2$ при $k > 0$ является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Перечислим ее основные свойства.

1. Область определения:

Функция определена для любого действительного значения $x$, так как выражение $kx^2$ имеет смысл при любом $x$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений:

Поскольку по условию коэффициент $k > 0$, а $x^2$ всегда принимает неотрицательные значения ($x^2 \ge 0$), то произведение $y = kx^2$ также будет всегда неотрицательным. Минимальное значение достигается при $x=0$ и равно $0$.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции:

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Решим уравнение $kx^2 = 0$. Так как $k > 0$, единственным решением является $x^2 = 0$, откуда $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

4. Четность:

Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$. Подставим $-x$ в функцию: $y(-x) = k(-x)^2 = kx^2 = y(x)$. Равенство выполняется, следовательно, функция является четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (OY).

Ответ: функция четная.

5. Промежутки монотонности:

Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции: $y' = (kx^2)' = 2kx$.

• Если $x < 0$, то $y' = 2kx < 0$ (так как $k > 0$), значит, на этом промежутке функция убывает.
• Если $x > 0$, то $y' = 2kx > 0$ (так как $k > 0$), значит, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

6. Экстремумы функции:

Производная $y' = 2kx$ обращается в ноль в точке $x=0$. При переходе через эту точку производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=0$ является точкой минимума. Минимальное значение функции: $y_{min} = y(0) = k \cdot 0^2 = 0$.

Ответ: $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

7. Промежутки знакопостоянства:

Так как $k > 0$ и $x^2 \ge 0$, то $y = kx^2 \ge 0$ для всех $x$. Значение функции равно нулю только при $x=0$. При всех остальных значениях $x$ ($x \neq 0$) функция принимает положительные значения.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; $y=0$ при $x=0$.

8. Непрерывность:

Функция является полиномом (многочленом), а любой полином является непрерывной функцией на всей своей области определения.

Ответ: функция непрерывна на $D(y)$.

9. График:

Графиком функции является парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0,0)$. Так как коэффициент $k > 0$, ветви параболы направлены вверх. Осью симметрии параболы является ось OY.

Ответ: парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

1 a) Запишите $ \frac{4}{15} $ в виде десятичной периодической дроби.

б) Запишите $ 1,2(34) $ в виде обыкновенной дроби.

а) Чтобы записать обыкновенную дробь $\frac{4}{15}$ в виде десятичной периодической дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Делим 4 на 15 в столбик:

1. Делим 4 на 15. Так как 4 меньше 15, в частном пишем 0 и ставим запятую.
2. К 4 приписываем 0, получаем 40. Делим 40 на 15. Ближайшее произведение, не превышающее 40, это $15 \times 2 = 30$. В частном после запятой пишем 2. Находим остаток: $40 - 30 = 10$.
3. К остатку 10 приписываем 0, получаем 100. Делим 100 на 15. Ближайшее произведение, не превышающее 100, это $15 \times 6 = 90$. В частном пишем 6. Находим остаток: $100 - 90 = 10$.
4. К новому остатку 10 снова приписываем 0, получаем 100. Деление повторяется: $100 \div 15$ дает в частном 6 и в остатке 10.

Мы видим, что остаток 10 будет постоянно повторяться, а значит, в частном будет бесконечно повторяться цифра 6. Число 2 не повторяется, а 6 — это повторяющийся период.

Таким образом, $\frac{4}{15} = 0,2666... = 0,2(6)$.

Ответ: $0,2(6)$.

б) Чтобы записать смешанную периодическую дробь $1,2(34)$ в виде обыкновенной дроби, воспользуемся алгебраическим методом.

1. Пусть искомое число равно $x$:

$x = 1,2(34) = 1,2343434...$

2. Умножим это уравнение на $10$ так, чтобы часть до периода стала целой. В нашем случае до периода стоит одна цифра (2), поэтому умножаем на $10^1 = 10$.

$10x = 12,343434...$

3. Теперь умножим исходное уравнение на такое число, чтобы сдвинуть запятую вправо на одну длину периода. Период (34) состоит из двух цифр. Значит, нам нужно сдвинуть запятую на $1+2=3$ знака от исходного положения. Умножаем $x$ на $10^3 = 1000$.

$1000x = 1234,343434...$

4. Теперь у нас есть два уравнения с одинаковой дробной частью. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x = 1234,3434...$
− $10x = 12,3434...$
--------------------------
$990x = 1222$

5. Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{1222}{990}$

6. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель — четные числа, поэтому их можно разделить на 2.

$x = \frac{1222 \div 2}{990 \div 2} = \frac{611}{495}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{611}{495}$.

2 Вычислите без помощи калькулятора $\sqrt{54 756}$.

Для вычисления квадратного корня из числа 54756 без калькулятора можно использовать метод оценки и анализа его цифр.

Сначала оценим величину искомого корня. Найдем квадраты ближайших "круглых" чисел (сотен):
$200^2 = 40000$
$300^2 = 90000$
Поскольку число 54756 находится между 40000 и 90000, то его квадратный корень должен находиться между 200 и 300. Это значит, что искомое число является трехзначным и его первая цифра — 2.

Далее посмотрим на последнюю цифру числа 54756. Она равна 6. Квадрат целого числа может оканчиваться на 6 только в двух случаях: если само число оканчивается на 4 (так как $4^2=16$) или на 6 (так как $6^2=36$). Таким образом, последняя цифра искомого корня — это либо 4, либо 6.

Теперь сузим диапазон поиска. Мы уже знаем, что корень находится между 200 и 300. Проверим, где именно, возведя в квадрат числа, оканчивающиеся на 0 из этого промежутка:
$230^2 = 23^2 \cdot 100 = 529 \cdot 100 = 52900$
$240^2 = 24^2 \cdot 100 = 576 \cdot 100 = 57600$
Так как $52900 < 54756 < 57600$, то корень из 54756 находится в интервале от 230 до 240.

Объединив все полученные сведения, приходим к выводу, что искомое число больше 230, но меньше 240, и при этом оканчивается на 4 или 6. Этим условиям удовлетворяют всего два числа: 234 и 236.
Осталось выполнить проверку, возведя эти числа в квадрат. Начнем с 234:
$234^2 = 234 \times 234 = 54756$
Результат совпал с подкоренным числом. Следовательно, мы нашли верный ответ.

Ответ: 234

3. Сравните числа $a = \frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{1}{2-\sqrt{5}}$ и $b = 4,5$.

Для того чтобы сравнить числа $a$ и $b$, сперва необходимо упростить выражение для числа $a$:

$a = \frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{1}{2-\sqrt{5}}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})$. Воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$a = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} - \frac{1 \cdot (2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{(2-\sqrt{5}) - (2+\sqrt{5})}{-1}$

Упростим числитель полученной дроби:

$2 - \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5} = -2\sqrt{5}$

Теперь найдем значение $a$:

$a = \frac{-2\sqrt{5}}{-1} = 2\sqrt{5}$

Теперь нам нужно сравнить $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 4,5$.

Так как оба числа являются положительными, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат одного числа больше квадрата другого, то и само число будет больше.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (4,5)^2 = 20,25$.

Сравним полученные квадраты:

$20 < 20,25$, следовательно $a^2 < b^2$.

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, из неравенства $a^2 < b^2$ следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

4 Упростите выражение:

a) $5\sqrt{18} + 7\sqrt{50} - 30\sqrt{2};$

б) $\frac{\sqrt{5a^3b^{12}}}{\sqrt{125a^7b^5}}$, если $a > 0$, $b > 0$.

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все слагаемые к одному виду, вынеся множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

Упростим первое слагаемое $5\sqrt{18}$:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Тогда $5\sqrt{18} = 5 \cdot 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.

Упростим второе слагаемое $7\sqrt{50}$:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Тогда $7\sqrt{50} = 7 \cdot 5\sqrt{2} = 35\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$5\sqrt{18} + 7\sqrt{50} - 30\sqrt{2} = 15\sqrt{2} + 35\sqrt{2} - 30\sqrt{2}$.

Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{2}$, поэтому мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:

$(15 + 35 - 30)\sqrt{2} = (50 - 30)\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.

Ответ: $20\sqrt{2}$.

б) Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$ (при $x \ge 0, y > 0$) и объединим два корня в один:

$\frac{\sqrt{5a^3b^{12}}}{\sqrt{125a^7b^5}} = \sqrt{\frac{5a^3b^{12}}{125a^7b^5}}$.

Теперь упростим (сократим) дробь под знаком корня. Сокращаем числовые коэффициенты, а также степени переменных, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

• Числа: $\frac{5}{125} = \frac{1}{25}$
• Переменная $a$: $\frac{a^3}{a^7} = a^{3-7} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}$
• Переменная $b$: $\frac{b^{12}}{b^5} = b^{12-5} = b^7$

Собрав все вместе, получаем выражение под корнем: $\frac{1 \cdot b^7}{25 \cdot a^4} = \frac{b^7}{25a^4}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt{\frac{b^7}{25a^4}}$.

Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя по отдельности. Учитывая, что по условию $a > 0$ и $b > 0$, нам не нужно использовать знаки модуля при извлечении корней из четных степеней.

Корень из знаменателя: $\sqrt{25a^4} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^4} = 5a^2$.

Корень из числителя: $\sqrt{b^7} = \sqrt{b^6 \cdot b} = \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{b} = b^3\sqrt{b}$.

Объединяем полученные результаты в дробь:

$\frac{\sqrt{b^7}}{\sqrt{25a^4}} = \frac{b^3\sqrt{b}}{5a^2}$.

Ответ: $\frac{b^3\sqrt{b}}{5a^2}$.

5 Сократите дробь:

a) $\frac{p\sqrt{p} + q\sqrt{q} - p\sqrt{q} - q\sqrt{p}}{p\sqrt{p} - q\sqrt{q} + p\sqrt{q} - q\sqrt{p}}$

б) $\frac{4x - 12\sqrt{xy} + 9y}{\sqrt{4x^3} - \sqrt{9x^2y}}$

а)

Чтобы сократить данную дробь, преобразуем ее числитель и знаменатель. Для удобства введем замены: пусть $a = \sqrt{p}$ и $b = \sqrt{q}$. Тогда $p = a^2$ и $q = b^2$. Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$ \frac{p\sqrt{p} + q\sqrt{q} - p\sqrt{q} - q\sqrt{p}}{p\sqrt{p} - q\sqrt{q} + p\sqrt{q} - q\sqrt{p}} = \frac{a^3 + b^3 - a^2b - ab^2}{a^3 - b^3 + a^2b - ab^2} $$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби, используя метод группировки.

Числитель:

$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = (a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3) = a^2(a-b) - b^2(a-b) = (a^2-b^2)(a-b) = (a-b)(a+b)(a-b) = (a-b)^2(a+b)$.

Знаменатель:

$a^3 - b^3 + a^2b - ab^2 = (a^3 + a^2b) - (b^3 + ab^2) = a^2(a+b) - b^2(b+a) = (a^2-b^2)(a+b) = (a-b)(a+b)(a+b) = (a-b)(a+b)^2$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{(a-b)^2(a+b)}{(a-b)(a+b)^2} $$

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)(a+b)$, при условии что $a \neq b$ и $a \neq -b$ (что соответствует $p \neq q$, так как $a, b \ge 0$).

$$ \frac{a-b}{a+b} $$

Теперь выполним обратную замену $a = \sqrt{p}$ и $b = \sqrt{q}$:

$$ \frac{\sqrt{p} - \sqrt{q}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} $$

Ответ: $ \frac{\sqrt{p} - \sqrt{q}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} $.

б)

Рассмотрим числитель дроби: $4x - 12\sqrt{xy} + 9y$. Это выражение является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Действительно, если $a = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$ и $b = \sqrt{9y} = 3\sqrt{y}$, то $a^2 = 4x$, $b^2 = 9y$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot 3\sqrt{y} = 12\sqrt{xy}$.

Таким образом, числитель можно записать как:

$$ 4x - 12\sqrt{xy} + 9y = (2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2 $$

Теперь преобразуем знаменатель: $\sqrt{4x^3} - \sqrt{9x^2y}$. Упростим корни и вынесем общий множитель за скобки. Принимая во внимание, что из ОДЗ следует $x \ge 0$ и $y \ge 0$, имеем:

$$ \sqrt{4x^3} = \sqrt{4x^2 \cdot x} = 2x\sqrt{x} $$

$$ \sqrt{9x^2y} = \sqrt{9x^2 \cdot y} = 3x\sqrt{y} $$

Тогда знаменатель равен:

$$ 2x\sqrt{x} - 3x\sqrt{y} = x(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}) $$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$$ \frac{(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})^2}{x(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})} $$

Сократим дробь на общий множитель $(2\sqrt{x} - 3\sqrt{y})$, при условии, что он не равен нулю (иначе знаменатель обращается в нуль).

$$ \frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{x} $$

Ответ: $ \frac{2\sqrt{x} - 3\sqrt{y}}{x} $.

6 Постройте график функции и найдите её наименьшее и наибольшее значения на отрезке $[0; 8]$:

а) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = -|x|$.

а)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$ на отрезке $[0; 8]$.

Построение графика:
График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x = y^2$. Область определения функции $x \ge 0$. Для построения графика на отрезке $[0; 8]$ найдем координаты нескольких точек:
При $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0; 0)$.
При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
При $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4; 2)$.
При $x = 8$, $y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$. Точка $(8; 2\sqrt{2})$.
Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график. График выходит из начала координат и монотонно возрастает.

Нахождение наименьшего и наибольшего значений:
Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, включая отрезок $[0; 8]$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
Следовательно, наименьшее значение функция достигает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(8) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 8]$ равно 0, а наибольшее — $2\sqrt{2}$.

б)

Рассмотрим функцию $y = -|x|$ на отрезке $[0; 8]$.

Построение графика:
Раскроем модуль на заданном отрезке. Поскольку для всех $x \in [0; 8]$ выполняется неравенство $x \ge 0$, то $|x| = x$. Таким образом, на данном отрезке функция эквивалентна $y = -x$.
График функции $y = -x$ — это прямая линия. На отрезке $[0; 8]$ ее графиком будет отрезок, соединяющий точки, соответствующие концам этого отрезка:
При $x = 0$, $y = -0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
При $x = 8$, $y = -8$. Точка $(8; -8)$.
Таким образом, график функции на отрезке $[0; 8]$ — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0; 0)$ и $(8; -8)$.

Нахождение наименьшего и наибольшего значений:
На отрезке $[0; 8]$ функция, заданная как $y = -x$, является монотонно убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
Следовательно, наибольшее значение функция достигает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -|0| = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(8) = -|8| = -8$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 8]$ равно -8, а наибольшее — 0.

7 Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = 0,5x. \end{cases} $

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждой функции, входящей в систему, в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков и будут являться решениями системы.

Данная система состоит из двух уравнений:

$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 0,5x \end{cases} $

1. Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Это график функции квадратного корня. Его область определения — все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в первой координатной четверти.

Для построения графика найдем несколько точек, составив таблицу значений:

Если $x = 0$, то $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0; 0)$.
Если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
Если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4; 2)$.
Если $x = 9$, то $y = \sqrt{9} = 3$. Точка $(9; 3)$.

2. Построение графика функции $y = 0,5x$

Это линейная функция вида $y=kx$. Ее график — прямая, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент $k=0,5$. Для построения прямой достаточно двух точек. Одна точка — это начало координат $(0; 0)$. Найдем вторую точку:

Если $x = 4$, то $y = 0,5 \cdot 4 = 2$. Точка $(4; 2)$.

3. Нахождение решения системы

Теперь построим оба графика в одной системе координат. График функции $y = \sqrt{x}$ — это плавная кривая. График функции $y = 0,5x$ — это прямая. На графике видно, что кривая и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решением системы. Из найденных нами ранее точек видно, что точки $(0; 0)$ и $(4; 2)$ принадлежат обоим графикам.

Выполним проверку, подставив координаты этих точек в оба уравнения системы.

Проверка для точки $(0; 0)$:
$0 = \sqrt{0}$ (верно)
$0 = 0,5 \cdot 0$ (верно)

Проверка для точки $(4; 2)$:
$2 = \sqrt{4}$ (верно)
$2 = 0,5 \cdot 4$ (верно)

Обе точки удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, решения найдены верно.

Ответ: $(0; 0)$, $(4; 2)$.

8 Упростите выражение

$\left(\frac{\sqrt{c}-7\sqrt{d}}{\sqrt{cd}-d} - \frac{7\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{cd}-c}\right) : \frac{c+d}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): из-за наличия корней и знаменателей, переменные должны удовлетворять условиям $ c > 0 $, $ d > 0 $ и $ c \neq d $.

Упрощение выражения в скобках:

Рассмотрим первую часть выражения: $ \frac{\sqrt{c}-7\sqrt{d}}{\sqrt{cd}-d} - \frac{7\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{cd}-c} $.

Преобразуем знаменатели дробей, вынеся общий множитель за скобки:

$ \sqrt{cd}-d = \sqrt{c}\sqrt{d} - (\sqrt{d})^2 = \sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d}) $

$ \sqrt{cd}-c = \sqrt{c}\sqrt{d} - (\sqrt{c})^2 = \sqrt{c}(\sqrt{d}-\sqrt{c}) = -\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d}) $

Подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение:

$ \frac{\sqrt{c}-7\sqrt{d}}{\sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} - \frac{7\sqrt{c}+\sqrt{d}}{-\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} $

Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно вынести перед дробью, что изменит знак вычитания на сложение:

$ \frac{\sqrt{c}-7\sqrt{d}}{\sqrt{d}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} + \frac{7\sqrt{c}+\sqrt{d}}{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sqrt{cd}(\sqrt{c}-\sqrt{d}) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ \sqrt{c} $, а второй — на $ \sqrt{d} $:

$ \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-7\sqrt{d}) + \sqrt{d}(7\sqrt{c}+\sqrt{d})}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ c - 7\sqrt{cd} + 7\sqrt{cd} + d = c + d $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{c+d}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}-\sqrt{d})} $

Выполнение умножения:

Теперь умножим результат на вторую часть исходного выражения:

$ \left(\frac{c+d}{\sqrt{cd}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}\right) \cdot \frac{\sqrt{c}-\sqrt{d}}{c+d} $

Сократим одинаковые множители $ (c+d) $ и $ (\sqrt{c}-\sqrt{d}) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{c+d}}{\sqrt{cd}(\cancel{\sqrt{c}-\sqrt{d}})} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{c}-\sqrt{d}}}{\cancel{c+d}} = \frac{1}{\sqrt{cd}} $

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{cd}} $.

9 Упростите выражение

$ \sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 10x + 25} $, если $ \sqrt{10} < x < \sqrt{20} $.

Для начала заметим, что подкоренные выражения являются полными квадратами.

Первое выражение: $x^2 - 6x + 9$. Это квадрат разности $(x-3)$, так как $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Второе выражение: $x^2 - 10x + 25$. Это квадрат разности $(x-5)$, так как $(x-5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$\sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(x-5)^2}$

Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа a). Применив это свойство, получим:
$|x-3| + |x-5|$

Теперь нам нужно раскрыть модули, используя данное в условии неравенство $\sqrt{10} < x < \sqrt{20}$. Для этого сравним $x$ с числами 3 и 5.

1. Сравним $x$ с числом 3. Мы знаем, что $3 = \sqrt{9}$. Так как по условию $x > \sqrt{10}$, а $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, то $x > 3$. Следовательно, выражение $x-3$ является положительным, и $|x-3| = x-3$.

2. Сравним $x$ с числом 5. Мы знаем, что $5 = \sqrt{25}$. Так как по условию $x < \sqrt{20}$, а $\sqrt{20} < \sqrt{25}$, то $x < 5$. Следовательно, выражение $x-5$ является отрицательным, и $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.

Подставим полученные выражения обратно в сумму модулей:
$(x-3) + (5-x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x - 3 + 5 - x = (x-x) + (5-3) = 0 + 2 = 2$.

Ответ: 2

10 Значение переменной $n$ случайно выбирают среди чисел 0, 1, 2, ..., 8, 9. Какова вероятность того, что при этом значение выражения $\sqrt{n}$ будет меньше 1,5?

По условию задачи, значение переменной $n$ случайно выбирают из набора целых чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Всего в этом наборе 10 чисел. Следовательно, общее число равновероятных исходов равно 10.

Нам необходимо найти вероятность события, при котором значение выражения $\sqrt{n}$ будет меньше 1,5. Запишем это условие в виде неравенства: $\sqrt{n} < 1,5$

Чтобы решить это неравенство относительно $n$, возведем обе его части в квадрат. Так как $n$ — неотрицательное число, знак неравенства при этом не изменится: $(\sqrt{n})^2 < (1,5)^2$ $n < 2,25$

Теперь найдем, какие из возможных значений $n$ (от 0 до 9) удовлетворяют этому неравенству. Это целые числа, которые меньше 2,25. Такими числами являются: 0, 1, 2.

Таким образом, у нас есть 3 благоприятных исхода.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{3}{10} = 0,3$

Ответ: 0,3

1 а) Запишите $ \frac{7}{30} $ в виде десятичной периодической дроби.

б) Запишите $ 0,2(31) $ в виде обыкновенной дроби.

а) Чтобы записать обыкновенную дробь $\frac{7}{30}$ в виде десятичной периодической дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель, то есть 7 на 30. Выполним деление столбиком.

1. Так как 7 меньше 30, целая часть частного равна 0. Ставим запятую: $0,...$

2. Делим 70 на 30. Ближайшее произведение, не превосходящее 70, это $30 \times 2 = 60$. Записываем 2 после запятой. Остаток равен $70 - 60 = 10$. Результат: $0.2...$

3. К остатку 10 приписываем 0, получаем 100. Делим 100 на 30. Ближайшее произведение, не превосходящее 100, это $30 \times 3 = 90$. Записываем 3 в частное. Остаток равен $100 - 90 = 10$. Результат: $0.23...$

4. Снова к остатку 10 приписываем 0 и делим 100 на 30. Мы видим, что остаток 10 будет повторяться, а значит, в частном будет бесконечно повторяться цифра 3.

Таким образом, деление даёт бесконечную периодическую дробь $0.2333...$, которую записывают, заключая повторяющуюся цифру (период) в скобки.

Ответ: $0.2(3)$

б) Чтобы записать смешанную периодическую дробь $0.2(31)$ в виде обыкновенной дроби, можно использовать следующий алгебраический метод.

1. Обозначим число через $x$:

$x = 0.2(31) = 0.2313131...$

2. Умножим обе части уравнения на $10$, чтобы "отделить" непериодическую часть:

$10x = 2.313131...$

3. Умножим исходное уравнение на $1000$ (на $10$ в степени, равной общему числу цифр после запятой в непериодической части и в периоде, то есть $1+2=3$), чтобы сдвинуть запятую за первый период:

$1000x = 231.313131...$

4. Теперь вычтем из второго полученного уравнения первое. Это позволит избавиться от бесконечной периодической части:

$1000x - 10x = 231.313131... - 2.313131...$

$990x = 229$

5. Найдём $x$, решив полученное уравнение:

$x = \frac{229}{990}$

Чтобы убедиться, что дробь несократима, проверим числитель и знаменатель. Число 229 является простым. Разложим знаменатель на простые множители: $990 = 10 \times 99 = (2 \times 5) \times (9 \times 11) = 2 \times 3^2 \times 5 \times 11$. Поскольку 229 не делится ни на один из этих множителей, дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{229}{990}$