Номер 16, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

16. Перечислите свойства функции $y = kx^2$ при $k > 0$.

Функция $y=kx^2$ при $k > 0$ является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Перечислим ее основные свойства.

1. Область определения:

Функция определена для любого действительного значения $x$, так как выражение $kx^2$ имеет смысл при любом $x$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений:

Поскольку по условию коэффициент $k > 0$, а $x^2$ всегда принимает неотрицательные значения ($x^2 \ge 0$), то произведение $y = kx^2$ также будет всегда неотрицательным. Минимальное значение достигается при $x=0$ и равно $0$.

Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции:

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Решим уравнение $kx^2 = 0$. Так как $k > 0$, единственным решением является $x^2 = 0$, откуда $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

4. Четность:

Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$. Подставим $-x$ в функцию: $y(-x) = k(-x)^2 = kx^2 = y(x)$. Равенство выполняется, следовательно, функция является четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (OY).

Ответ: функция четная.

5. Промежутки монотонности:

Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции: $y' = (kx^2)' = 2kx$.

• Если $x < 0$, то $y' = 2kx < 0$ (так как $k > 0$), значит, на этом промежутке функция убывает.
• Если $x > 0$, то $y' = 2kx > 0$ (так как $k > 0$), значит, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

6. Экстремумы функции:

Производная $y' = 2kx$ обращается в ноль в точке $x=0$. При переходе через эту точку производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, $x=0$ является точкой минимума. Минимальное значение функции: $y_{min} = y(0) = k \cdot 0^2 = 0$.

Ответ: $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

7. Промежутки знакопостоянства:

Так как $k > 0$ и $x^2 \ge 0$, то $y = kx^2 \ge 0$ для всех $x$. Значение функции равно нулю только при $x=0$. При всех остальных значениях $x$ ($x \neq 0$) функция принимает положительные значения.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; $y=0$ при $x=0$.

8. Непрерывность:

Функция является полиномом (многочленом), а любой полином является непрерывной функцией на всей своей области определения.

Ответ: функция непрерывна на $D(y)$.

9. График:

Графиком функции является парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0,0)$. Так как коэффициент $k > 0$, ветви параболы направлены вверх. Осью симметрии параболы является ось OY.

Ответ: парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.