Номер 4, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Обладает ли график функции $y = \frac{k}{x}$ симметрией? Какая точка является центром симметрии? Как называется такой вид симметрии?

Обладает ли график функции $y = \frac{k}{x}$ симметрией?
Да, график функции $y = \frac{k}{x}$, который называется гиперболой, обладает симметрией. Чтобы это доказать, проверим свойство четности данной функции.
Область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x}$
Сравнивая это выражение с исходной функцией $y(x) = \frac{k}{x}$, мы видим, что выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
Функция, для которой выполняется данное равенство, называется нечетной. График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Ответ: Да, график функции обладает симметрией.

Какая точка является центром симметрии?
Как было показано выше, функция $y = \frac{k}{x}$ является нечетной. Это означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, точка $(-x_0, -y_0)$ также будет принадлежать этому графику.
Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно точки с координатами $(0, 0)$. Эта точка является началом координат.
Ответ: Центром симметрии является начало координат, точка $(0, 0)$.

Как называется такой вид симметрии?
Симметрия геометрической фигуры относительно некоторой точки называется центральной симметрией. Точка, относительно которой фигура симметрична, называется центром симметрии.
Ответ: Такой вид симметрии называется центральной симметрией.