Номер 10, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

10. Если $k < 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0;

б) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

в) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

г) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для определения направления выпуклости графика функции необходимо исследовать знак ее второй производной. Если вторая производная $y'' > 0$ на некотором интервале, то функция на этом интервале выпукла вниз (вогнута). Если $y'' < 0$, то функция выпукла вверх.

Рассмотрим функцию $y = \frac{k}{x}$. Область определения функции: $x \ne 0$.

1. Найдем первую производную функции. Для этого представим ее в виде $y = kx^{-1}$:

$y' = (kx^{-1})' = k \cdot (-1)x^{-2} = -kx^{-2} = -\frac{k}{x^2}$

2. Теперь найдем вторую производную, продифференцировав первую:

$y'' = (-kx^{-2})' = -k \cdot (-2)x^{-3} = 2kx^{-3} = \frac{2k}{x^3}$

3. Проанализируем знак второй производной $y'' = \frac{2k}{x^3}$ на двух интервалах, учитывая заданное условие $k < 0$.

• Интервал $x > 0$
  В этом случае знаменатель $x^3$ положителен ($x^3 > 0$).
  По условию $k < 0$, значит, числитель $2k$ отрицателен ($2k < 0$).
  Следовательно, вторая производная является отношением отрицательного числа к положительному, то есть $y'' < 0$.
  $y'' = \frac{2k}{x^3} = \frac{(-)}{(+)} < 0$
  На интервале $(0, +\infty)$ функция выпукла вверх.

• Интервал $x < 0$
  В этом случае знаменатель $x^3$ отрицателен ($x^3 < 0$).
  Числитель $2k$ также отрицателен ($2k < 0$).
  Следовательно, вторая производная является отношением отрицательного числа к отрицательному, то есть $y'' > 0$.
  $y'' = \frac{2k}{x^3} = \frac{(-)}{(-)} > 0$
  На интервале $(-\infty, 0)$ функция выпукла вниз.

Таким образом, при $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$. Сравним этот вывод с предложенными вариантами.

а) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$

Данное утверждение полностью совпадает с результатами нашего анализа.

Ответ: а) функция $y = \frac{k}{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$.