Номер 12, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

12. Перечислите свойства функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$.

Область определения

Функция $y = \frac{k}{x}$ является дробно-рациональной. Её область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель $x$ равен нулю при $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений

Так как $k < 0$, числитель дроби не равен нулю, следовательно, значение функции $y$ никогда не может быть равно нулю. Для любого другого ненулевого значения $y$ можно найти соответствующее значение $x$ из уравнения $x = \frac{k}{y}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Уравнение $\frac{k}{x} = 0$ не имеет решений, поскольку $k \neq 0$.

Ответ: нулей у функции нет.

Четность и нечетность

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -y(x)$. Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: функция нечетная.

Промежутки знакопостоянства

Знак функции зависит от знака переменной $x$, так как по условию коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$).
Если $x > 0$, то $y$ является частным отрицательного и положительного чисел, то есть $y < 0$.
Если $x < 0$, то $y$ является частным двух отрицательных чисел, то есть $y > 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

Промежутки монотонности

Найдем производную функции: $y' = (\frac{k}{x})' = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.Поскольку $k < 0$, то $-k > 0$. Знаменатель $x^2$ положителен для любого $x$ из области определения.Следовательно, производная $y' = -\frac{k}{x^2}$ всегда положительна.

Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения, то есть на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Точки экстремума

Поскольку производная $y' = -\frac{k}{x^2}$ нигде не обращается в ноль, у функции нет стационарных точек, а значит, нет и точек экстремума (локальных максимумов и минимумов).

Ответ: точек экстремума нет.

Асимптоты

Вертикальная асимптота: при $x \to 0$ знаменатель стремится к нулю, а функция — к бесконечности. Так как $k < 0$, то $\lim_{x \to 0^-} \frac{k}{x} = +\infty$ и $\lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x} = -\infty$. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.
Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ значение функции стремится к нулю: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{k}{x} = 0$. Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота — $x=0$; горизонтальная асимптота — $y=0$.

График функции

Графиком функции является гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй ($x < 0, y > 0$) и четвертой ($x > 0, y < 0$) координатных четвертях.

Ответ: график — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.