Номер 11, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

11. Перечислите свойства функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$.

Функция $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ называется обратной пропорциональностью. Её основные свойства:

Область определения: Функция определена для всех действительных значений аргумента $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$, следовательно, $x \ne 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: Поскольку $k > 0$, числитель дроби никогда не равен нулю, значит и сама дробь не может быть равна нулю. Функция может принимать любые другие действительные значения, так как для любого $y_0 \ne 0$ можно найти соответствующий $x_0 = \frac{k}{y_0}$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Четность: Проверим значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$. Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$).
Ответ: Функция нечетная.

Нули функции: Функция обращается в ноль, если ее числитель равен нулю. В данном случае числитель равен $k$, а по условию $k > 0$. Следовательно, у функции нет нулей. График функции не пересекает ось абсцисс ($Ox$).
Ответ: Нулей нет.

Промежутки знакопостоянства: Знак функции зависит от знака $x$.
- Если $x > 0$, то, так как $k > 0$, значение функции $y = \frac{k}{x}$ будет положительным.
- Если $x < 0$, то, так как $k > 0$, значение функции $y = \frac{k}{x}$ будет отрицательным.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

Монотонность: Найдем производную функции: $y' = (\frac{k}{x})' = (k \cdot x^{-1})' = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$. Поскольку по условию $k > 0$ и $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то производная $y' < 0$ на всей области определения. Следовательно, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Экстремумы: Так как производная функции $y' = -\frac{k}{x^2}$ никогда не равна нулю и существует во всей области определения функции, у функции нет критических точек и, следовательно, нет точек экстремума (локальных максимумов и минимумов).
Ответ: Точек экстремума нет.

Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: при $x$, стремящемся к нулю, знаменатель дроби стремится к нулю, а значение функции стремится к бесконечности ($\lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x} = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} \frac{k}{x} = -\infty$). Прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.
- Горизонтальная асимптота: при $x$, стремящемся к бесконечности (как к $+\infty$, так и к $-\infty$), значение функции стремится к нулю ($\lim_{x \to \pm\infty} \frac{k}{x} = 0$). Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.
Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Непрерывность: Функция является непрерывной на всей своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.
Ответ: Функция непрерывна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ и имеет точку разрыва $x=0$.

График: Графиком функции является гипербола. Так как коэффициент $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Ответ: График — гипербола с ветвями в I и III четвертях.