Номер 8, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Если $k < 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

б) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0;

в) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

г) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений о функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ является верным, необходимо исследовать эту функцию на монотонность (возрастание или убывание). Самый надежный способ — проанализировать знак ее производной.

Нахождение производной

Функция задана формулой $y(x) = \frac{k}{x}$. Для удобства дифференцирования представим ее в виде степенной функции: $y(x) = k \cdot x^{-1}$.

Найдем производную функции по переменной $x$, используя правило дифференцирования степенной функции:

$y'(x) = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.

Анализ знака производной

Теперь определим знак производной $y'(x) = -\frac{k}{x^2}$ на всей области определения функции, которая исключает точку $x=0$.

1. По условию задачи, коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$). Следовательно, выражение $-k$ в числителе дроби будет положительным ($-k > 0$).

2. Знаменатель дроби, $x^2$, является квадратом действительного числа, поэтому он всегда положителен для любого ненулевого значения $x$ ($x^2 > 0$).

Таким образом, производная $y'(x)$ представляет собой частное от деления положительного числа ($-k$) на положительное число ($x^2$), а значит, сама производная всегда положительна:

$y'(x) = \frac{-k}{x^2} > 0$ для всех $x \neq 0$.

Вывод о монотонности

Если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает. Поскольку $y'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения, функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Это означает, что функция возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$.

Проверка предложенных утверждений

Сравним наш вывод с вариантами ответов:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;
Это утверждение неверно, поскольку наш анализ показал, что функция возрастает и при $x < 0$.

б) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$;
Это утверждение верно, так как оно полностью совпадает с нашим выводом.

в) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;
Это утверждение неверно. Такое поведение функции характерно для случая, когда $k > 0$.

г) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$?
Это утверждение неверно, поскольку функция возрастает и при $x > 0$.

Ответ: б) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$;