Номер 7, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Если $k > 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

б) функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0;

в) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

г) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений о функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является верным, необходимо исследовать ее на монотонность. Для этого найдем производную функции и определим ее знак.

1. Нахождение производной

Функция $y(x) = \frac{k}{x}$ может быть записана как $y(x) = k \cdot x^{-1}$.

Ее производная находится по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y'(x) = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-2} = - \frac{k}{x^2}$.

2. Анализ знака производной

Проанализируем знак производной $y'(x) = -\frac{k}{x^2}$ на области определения функции, то есть при $x \neq 0$.

• По условию задачи, $k > 0$ (положительное число).
• Знаменатель $x^2$ всегда положителен для любого ненулевого $x$.

Таким образом, дробь $\frac{k}{x^2}$ всегда положительна. Из-за знака "минус" перед дробью вся производная $y'(x)$ будет всегда отрицательной:

$y'(x) < 0$ при всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

3. Вывод о монотонности

Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

Поскольку $y'(x) < 0$ для всех $x$ в области определения, функция $y = \frac{k}{x}$ убывает как при $x > 0$, так и при $x < 0$.

Следовательно, верным является утверждение, которое гласит, что функция убывает на обоих этих промежутках. Это соответствует варианту в).

Ответ: в) функция $y = \frac{k}{x}$ убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;