Номер 17, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

17. Перечислите свойства функции $y = kx^2$ при $k < 0$.

Рассмотрим свойства квадратичной функции $y = kx^2$ при условии, что коэффициент $k < 0$.

1. Область определения

Функция определена для любых действительных значений аргумента $x$, так как выражение $kx^2$ имеет смысл при любом $x$.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область (множество) значений

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а коэффициент $k$ по условию отрицателен ($k < 0$), то произведение $kx^2$ будет всегда неположительным, то есть $kx^2 \le 0$. Максимальное значение, равное нулю, достигается при $x=0$.
Ответ: область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Четность

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:
$y(-x) = k(-x)^2 = kx^2 = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
Ответ: функция является четной.

4. Нули функции

Найдем значения $x$, при которых $y=0$:
$kx^2 = 0$.
Поскольку $k \neq 0$, то $x^2 = 0$, откуда $x=0$.
Ответ: $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства

Функция равна нулю только в точке $x=0$. При всех остальных значениях $x \neq 0$, $x^2 > 0$. Так как $k < 0$, то произведение $y = kx^2$ будет отрицательным.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6. Промежутки монотонности

Вершина параболы находится в точке $(0;0)$. Так как $k < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до $0$ и убывает на промежутке от $0$ до $+\infty$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы функции

Поскольку функция возрастает до $x=0$ и убывает после, точка $x=0$ является точкой максимума. Максимальное значение функции (максимум) равно $y_{max} = y(0) = 0$.
Ответ: $x_{max} = 0$ — точка максимума; $y_{max} = 0$ — максимум функции.

8. График

Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат — точке $(0;0)$. Осью симметрии параболы является ось $Oy$. Ветви параболы направлены вниз.
Ответ: график — парабола с вершиной в точке $(0;0)$ и ветвями, направленными вниз.