Номер 15, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

15. Если $k < 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = kx^2$ выпукла вверх;

б) функция $y = kx^2$ выпукла вниз?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо проанализировать выпуклость функции $y = kx^2$ при заданном условии $k < 0$. Сделаем это двумя способами: через анализ графика и с помощью второй производной.

1. Анализ графика функции.
График функции $y = kx^2$ — это парабола. Знак коэффициента $k$ перед $x^2$ определяет направление ветвей параболы. По условию $k < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Парабола, ветви которой направлены вниз, по определению является выпуклой вверх.

2. Анализ с помощью второй производной.
Выпуклость функции определяется знаком её второй производной. Найдём вторую производную для функции $y(x) = kx^2$.
Первая производная: $y'(x) = (kx^2)' = 2kx$.
Вторая производная: $y''(x) = (2kx)' = 2k$.

Согласно правилу, если вторая производная $y'' < 0$, то функция является выпуклой вверх. Если $y'' > 0$, функция выпукла вниз.
Поскольку по условию задачи $k < 0$, то и вторая производная $y'' = 2k$ будет отрицательной ($y'' < 0$) на всей области определения. Это подтверждает, что функция $y = kx^2$ является выпуклой вверх.

Теперь, основываясь на проведенном анализе, рассмотрим каждое утверждение.

а) функция $y = kx^2$ выпукла вверх;
Как было показано обоими методами, при $k < 0$ функция $y = kx^2$ является выпуклой вверх. Следовательно, данное утверждение истинно.
Ответ: утверждение верно.

б) функция $y = kx^2$ выпукла вниз?
Функция является выпуклой вниз, когда её ветви направлены вверх, что соответствует условию $k > 0$. Так как по условию задачи $k < 0$, данное утверждение ложно.
Ответ: утверждение неверно.