Номер 9, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

9. Какую функцию называют ограниченной сверху?

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве $X$ (которое является подмножеством области определения функции, $X \subset D(f)$), если существует такое число $M$, что для любого значения аргумента $x$ из множества $X$ выполняется неравенство:

$f(x) \le M$

Простыми словами, это означает, что значения функции никогда не превышают некоторую "планку", заданную числом $M$. Это число $M$ называют верхней гранью для функции $f(x)$ на множестве $X$. Важно отметить, что если у функции есть одна верхняя грань $M$, то у нее их бесконечно много (например, любое число, большее $M$, также будет верхней гранью).

Геометрическая интерпретация:

График функции, ограниченной сверху, целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Эта прямая служит "потолком" для графика функции.

Примеры:

• Функция $y = -x^2 + 3$. Ее значения никогда не превысят 3. Максимальное значение достигается при $x=0$ и равно $y(0)=3$. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $-x^2+3 \le 3$. В данном случае в качестве $M$ можно взять число 3 (или любое число больше 3, например, 4 или 10).
• Функция $y = \sin(x)$. Мы знаем, что для любого действительного $x$ выполняется $-1 \le \sin(x) \le 1$. Следовательно, $\sin(x) \le 1$. Эта функция ограничена сверху числом $M=1$.
• Контрпример (неограниченная сверху функция): Функция $y = x^2$ не является ограниченной сверху на всей числовой оси, так как ее значения могут быть сколь угодно большими (она "уходит в бесконечность").

Ответ: Функцию называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, которое больше или равно всем значениям этой функции на всей ее области определения (или на заданном множестве). Иными словами, все значения функции $f(x)$ удовлетворяют неравенству $f(x) \le M$.