Номер 6, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Если $k < 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = kx^2$ возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

б) функция $y = kx^2$ возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, проанализируем свойства квадратичной функции $y = kx^2$ при заданном условии $k < 0$.

График функции $y = kx^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, в точке $(0, 0)$. Поскольку по условию коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), ветви этой параболы направлены вниз. Это означает, что в точке $x = 0$ функция достигает своего максимального значения, равного $0$.

Определим промежутки возрастания и убывания функции, основываясь на этом свойстве и определении монотонности.

г) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$

Данное утверждение является верным. Докажем это.

1. Рассмотрим промежуток $x \le 0$ (левая ветвь параболы).

Функция называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2 \le 0$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ неположительные, то при возведении в квадрат знак неравенства изменится: $x_1^2 > x_2^2$. Теперь умножим обе части неравенства на коэффициент $k$. Так как по условию $k < 0$, знак неравенства снова изменится на противоположный: $k x_1^2 < k x_2^2$. Это означает, что $y(x_1) < y(x_2)$. Таким образом, функция $y = kx^2$ возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.

2. Рассмотрим промежуток $x \ge 0$ (правая ветвь параболы).

Функция называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ такие, что $0 \le x_1 < x_2$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ неотрицательные, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится: $x_1^2 < x_2^2$. Умножим обе части неравенства на коэффициент $k$. Так как $k < 0$, знак неравенства изменится на противоположный: $k x_1^2 > k x_2^2$. Это означает, что $y(x_1) > y(x_2)$. Таким образом, функция $y = kx^2$ убывает на промежутке $[0, \infty)$.

Вывод: Утверждение в пункте г) полностью и верно описывает поведение функции $y = kx^2$ при $k < 0$. Остальные утверждения являются неверными, так как противоречат проведенному анализу.

Ответ: г