Номер 1, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. История развития понятия числа.

Доисторический период: возникновение счета

История понятия числа начинается в глубокой древности, задолго до появления письменности. Первобытные люди столкнулись с необходимостью вести учет различных объектов: членов племени, убитых на охоте животных, собранных плодов, дней до определенного события. На этом этапе число еще не было абстрактной категорией, оно было неразрывно связано с предметами, которые считали. Самыми первыми инструментами для счета были пальцы рук и ног, что, вероятно, послужило основой для развития пятеричной, десятеричной и двадцатеричной систем счисления. Для фиксации количества использовались простейшие методы: зарубки на дереве или кости, узелки на веревках, группы камней. Этот процесс представлял собой установление взаимно-однозначного соответствия между множеством предметов и множеством элементов счетного эталона (например, зарубок). Постепенно, с развитием языка и мышления, слово, обозначающее количество, начало отделяться от конкретных предметов, что привело к рождению абстрактного понятия "число".

Ответ: На заре человечества понятие числа возникло из практической необходимости счета и представляло собой установление взаимно-однозначного соответствия между предметами и счетными эталонами (пальцами, зарубками), что со временем привело к формированию абстрактной идеи количества.

Древние цивилизации: натуральные и дробные числа

С возникновением государств в Древнем Египте, Месопотамии, Индии и Китае потребовались более сложные системы для записи чисел. Египтяне использовали иероглифическую непозиционную систему счисления, где были отдельные знаки для степеней десяти: 1, 10, 100 и т.д. Вавилоняне совершили прорыв, создав первую известную позиционную систему счисления — шестидесятеричную. Позиционный принцип, при котором значение цифры зависит от ее положения в записи числа, стал величайшим достижением, позволившим легко оперировать с большими числами и дробями. Именно в этот период прочно утверждается понятие натурального числа как числа, используемого для счета предметов: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Практические задачи, такие как раздел урожая или земли, привели к появлению дробных чисел. В Египте оперировали в основном аликвотными дробями (вида $1/n$), представляя остальные дроби как их сумму. Вавилоняне, благодаря своей позиционной системе, могли представлять дроби аналогично нашим десятичным, но с основанием 60.

Ответ: Древние цивилизации систематизировали понятие натурального числа и создали системы счисления (включая прорывную позиционную систему Вавилона), а также ввели в обиход дробные (рациональные) числа для решения практических задач измерения и деления.

Античность: иррациональные числа и кризис в математике

В Древней Греции математика превратилась из набора практических правил в строгую науку, основанную на логических доказательствах. Философская школа Пифагора провозгласила лозунг «Все есть число», полагая, что сущность любого явления можно выразить через натуральные числа и их отношения (дроби). Однако это мировоззрение потерпело крах, когда сами пифагорейцы обнаружили существование несоизмеримых отрезков. Классический пример — диагональ квадрата со стороной 1. Согласно теореме Пифагора, ее длина равна $\sqrt{2}$. Было строго доказано, что это число невозможно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ и $q$ — целые числа. Это открытие вызвало глубочайший кризис в античной математике. Числа, подобные $\sqrt{2}$, греки назвали «алогос» (невыразимые, иррациональные) и не считали их числами в полном смысле слова, работая с ними исключительно как с геометрическими величинами (длинами отрезков).

Ответ: Древнегреческие математики, в частности пифагорейцы, открыли существование иррациональных чисел (например, $\sqrt{2}$), которые не могли быть выражены как отношение целых чисел, что привело к первому крупному кризису в основаниях математики и разделению понятий числа и величины.

Средневековье и Новое время: отрицательные числа и ноль

Понятие нуля как числа, а не просто символа для обозначения пустой позиции, родилось в Индии примерно в VII веке. Индийские математики (в частности, Брахмагупта) ввели ноль как полноценное число и определили правила арифметических операций с ним (сложение, вычитание, умножение, деление). Вместе с нулем в Индии и Китае начали активно использовать отрицательные числа, которые трактовались как долг. Через арабских ученых, которые переняли и развили индийские достижения (включая позиционную десятичную систему), эти концепции проникли в Европу. Однако европейская математика долгое время относилась к отрицательным числам с недоверием, называя их «ложными» или «абсурдными». Полное признание они получили лишь в XVII–XVIII веках, когда была найдена их наглядная интерпретация на числовой оси. Это привело к расширению множества натуральных чисел до множества целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ и далее до множества всех рациональных чисел $Q = \{p/q \mid p \in Z, q \in N\}$.

Ответ: В Средние века в Индии были введены ноль и отрицательные числа как полноценные математические объекты, которые, несмотря на долгое неприятие в Европе, в конечном итоге расширили систему чисел до множества целых и рациональных чисел.

Развитие математики в XVII-XIX веках: комплексные числа

Следующий шаг в развитии понятия числа был связан с решением алгебраических уравнений. В XVI веке при решении кубических уравнений по формуле Кардано математики столкнулись с ситуацией, когда для нахождения вполне реальных корней приходилось в промежуточных вычислениях извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Итальянский математик Рафаэль Бомбелли показал, что если обращаться с этими «мнимыми» величинами по определенным правилам, то можно прийти к верному вещественному результату. В XVIII веке Леонард Эйлер ввел для мнимой единицы $\sqrt{-1}$ символ $i$ (так что $i^2 = -1$). Однако полноценными числами выражения вида $a + bi$ (комплексные числа) стали считаться лишь в XIX веке после того, как Карл Фридрих Гаусс и другие математики предложили их геометрическую интерпретацию в виде точек на комплексной плоскости. Гаусс также доказал Основную теорему алгебры, согласно которой любой многочлен имеет корень в поле комплексных чисел $C$. Это показало, что множество комплексных чисел является алгебраически замкнутым, и для решения алгебраических уравнений больше не требуется вводить новые типы чисел.

Ответ: Необходимость решения кубических уравнений привела к введению мнимых и, как следствие, комплексных чисел ($a + bi$), которые получили полное признание после их геометрической интерпретации и доказательства их алгебраической замкнутости.

Современный этап: трансцендентные числа и аксиоматизация

В XIX веке произошло дальнейшее углубление понимания природы чисел. Все числа, являющиеся корнями многочленов с целыми коэффициентами, назвали алгебраическими. В 1844 году Жозеф Лиувилль доказал существование чисел, не являющихся алгебраическими — их назвали трансцендентными. Позже была доказана трансцендентность таких фундаментальных констант, как $e$ (Шарль Эрмит, 1873) и $\pi$ (Фердинанд фон Линдеман, 1882). Доказательство трансцендентности $\pi$ окончательно решило античную задачу о квадратуре круга, показав ее невозможность при помощи циркуля и линейки. Множество всех рациональных и иррациональных (как алгебраических, так и трансцендентных) чисел образовало континуум вещественных чисел $R$. Конец XIX века ознаменовался строгой формализацией и аксиоматизацией всей системы чисел. Джузеппе Пеано сформулировал аксиомы для натуральных чисел, а Рихард Дедекинд и Георг Кантор разработали строгие теории построения множества вещественных чисел на основе рациональных. В результате была выстроена четкая и логически обоснованная иерархия числовых множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$.

Ответ: На современном этапе было введено различие между алгебраическими и трансцендентными числами (такими как $e$ и $\pi$) и создана строгая аксиоматическая основа для всей системы чисел, от натуральных до комплексных, что завершило формирование классического понятия числа.