Номер 6, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Какова вероятность того, что в вопросе 5 выборов «пойти направо» будет больше?

Для ответа на данный вопрос необходимо сделать предположение о его полном условии, так как предоставленный фрагмент может быть частью более крупной задачи. Наиболее вероятная и стандартная трактовка такова: проводится серия из 5 независимых испытаний (выборов), в каждом из которых есть два равновероятных исхода: «пойти направо» и «пойти налево». Необходимо найти вероятность того, что количество выборов «пойти направо» будет строго больше количества выборов «пойти налево».

Пусть $n=5$ — общее количество выборов. Пусть $k$ — количество выборов «пойти направо». Тогда количество выборов в другую сторону (условно «налево») составит $5-k$.

Нас интересует вероятность события, при котором выполняется неравенство:

$k > 5-k$

Решим это неравенство относительно $k$:

$2k > 5$

$k > 2.5$

Поскольку $k$ (количество выборов) может быть только целым неотрицательным числом, этому условию удовлетворяют значения $k=3$, $k=4$ и $k=5$.

Таким образом, задача сводится к нахождению суммарной вероятности того, что в 5 испытаниях событие «пойти направо» произойдет 3, 4 или 5 раз.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование формулы Бернулли

Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность «успеха» (в нашем случае — выбора «направо») равна $p$, произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

В нашем случае $n=5$, а вероятность выбора «направо» $p = 1/2$. Соответственно, вероятность альтернативного выбора $(1-p)$ также равна $1/2$. Формула упрощается до $P_5(k) = C_5^k \cdot (\frac{1}{2})^5$.

Рассчитаем вероятности для каждого из нужных нам значений $k$:

Для $k=3$: $P(k=3) = C_5^3 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32}$.

Для $k=4$: $P(k=4) = C_5^4 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{5!}{4!1!} \cdot \frac{1}{32} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$.

Для $k=5$: $P(k=5) = C_5^5 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{5!}{5!0!} \cdot \frac{1}{32} = 1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий:

$P(k>2.5) = P(k=3) + P(k=4) + P(k=5) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

Способ 2: Использование симметрии

Этот способ является более простым и элегантным для данного случая. Обозначим количество выборов «направо» как $N_П$, а «налево» — как $N_Л$.

Всего производится 5 выборов, то есть $N_П + N_Л = 5$. Поскольку общее число выборов нечетное, случай, когда количество выборов «направо» и «налево» одинаково ($N_П = N_Л$), невозможен. Следовательно, исходом может быть либо $N_П > N_Л$, либо $N_Л > N_П$.

По условию, выборы «направо» и «налево» равновероятны (вероятность каждого равна $1/2$). В силу этой симметрии, вероятность того, что выборов «направо» будет больше, в точности равна вероятности того, что выборов «налево» будет больше.

$P(N_П > N_Л) = P(N_Л > N_П)$

События ($N_П > N_Л$) и ($N_Л > N_П$) являются взаимоисключающими и в совокупности образуют полную группу событий (так как других исходов нет). Значит, сумма их вероятностей равна 1:

$P(N_П > N_Л) + P(N_Л > N_П) = 1$

Используя равенство вероятностей из соображений симметрии, получаем:

$P(N_П > N_Л) + P(N_П > N_Л) = 1$

$2 \cdot P(N_П > N_Л) = 1$

Отсюда находим искомую вероятность:

$P(N_П > N_Л) = \frac{1}{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $1/2$ (или 0.5).